高等数学第一章课件-因式分解定理.pdf

1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 5 5 5 因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理因式分解定理 422422422422 422422422422xxxxxxxxxxxx 2 2 2 2 222222222222xxxxxxxxxxxx 2222222222222222xxxixixxxixixxxixixxxixi 问题的引入问题的引入问题的引入问题的引入 因式分解与多项式系数所在数域有关 因式分解与多项式系数所在数域有关 4 4 4 4 4 4 4 4x x x x 的因式分解 的因式分解 在 在 上 上 在 在 上 上 在 在 上 上 一 不可约多项式一 不可约多项式一 不可约多项式一 不可约多项式 定义定义定义定义1 1 1 1 设设设设 且且且且 若若若若 不能不能不能不能 p xP xp xP xp xP xp xP x 1 1 1 1 p xp xp xp x p xp xp xp x 不能表示成数域不能表示成数域不能表示成数域不能表示成数域 上两个次数比上两个次数比上两个次数比上两个次数比 低的多项低的多项低的多项低的多项 p xp xp xp x P P P P 乘积 则称乘积 则称乘积 则称乘积 则称 为数域为数域为数域为数域 上的上的上的上的不可约多项式不可约多项式不可约多项式不可约多项式 p xp xp xp x P P P P 否则 称否则 称否则 称否则 称 为数域为数域为数域为数域 上的可约多项式上的可约多项式上的可约多项式上的可约多项式 p xp xp xp x P P P P 1 1 1 1 定义 定义 定义 定义 说明 说明 说明 说明 说明 说明 说明 说明 一个多项式是否不可约一个多项式是否不可约一个多项式是否不可约一个多项式是否不可约依赖于系数域依赖于系数域依赖于系数域依赖于系数域 不不不不 可约多项式前提是次数大等于可约多项式前提是次数大等于可约多项式前提是次数大等于可约多项式前提是次数大等于1 1 1 1 问题 问题 问题 问题 数域数域数域数域 上 不是不可约的多项式是否必是上 不是不可约的多项式是否必是上 不是不可约的多项式是否必是上 不是不可约的多项式是否必是 可约多项式 可约多项式 可约多项式 可约多项式 P P P P 一次多项式总是不可约多项式一次多项式总是不可约多项式一次多项式总是不可约多项式一次多项式总是不可约多项式 P P P P上多项式上多项式上多项式上多项式 常值多项式常值多项式常值多项式常值多项式 零多项式零多项式零多项式零多项式 非零常值多项式 即非零常值多项式 即非零常值多项式 即非零常值多项式 即 零次多项式零次多项式零次多项式零次多项式 次数大等次数大等次数大等次数大等1 1 1 1 不可约多项式不可约多项式不可约多项式不可约多项式 可约多项式可约多项式可约多项式可约多项式 例例例例1 1 1 1 设设设设 是数域是数域是数域是数域 上的不可约多项式 上的不可约多项式 上的不可约多项式 上的不可约多项式 p xp xp xp x P P P P a bPa bPa bPa bP 且且且且 判断判断判断判断 在在在在 上是否可约上是否可约上是否可约上是否可约 0 0 0 0 a a a a f yp aybf yp aybf yp aybf yp ayb P P P P 证证证证 假设假设假设假设 在在在在 上可约上可约上可约上可约 f yf yf yf yP P P P则存在则存在则存在则存在 g y h yP yg y h yP yg y h yP yg y h yP y 12121212 f ygy gyf ygy gyf ygy gyf ygy gy 使使使使 其中其中其中其中 1 2 1 2 1 2 1 2 i i i i gyf yigyf yigyf yigyf yi 令令令令 则则则则 xbxbxbxb y y y y a a a a 12121212 xbxbxbxbxbxbxbxbxbxbxbxb fggfggfggfgg aaaaaaaaaaaa 其中其中其中其中 且且且且 i i i i xbxbxbxb gP xgP xgP xgP x a a a a iiiiiiii xbxbxbxb ggyf yp xggyf yp xggyf yp xggyf yp x a a a a i i i i p xp xp xp x 首首1 1不可约多项式不可约多项式 min 1 2 min 1 2 min 1 2 min 1 2 iiiiiiiiiii