第9 章结构向量自回归模型.doc

1第9章 结构向量自回归SVAR模型 本章内容 1 SVAR模型初步 2 SVAR模型的基本识别方法 3 SVAR模型的三种类型 4 SVAR模型的估计方法总结 5 SVAR与缩减VAR模型的脉冲响应及方差分解比较 Macroeconometricians do four things: describe and summarize macroeconomic data make macroeconomic forecasts quantify what we do or do not know about the true structure of the macroeconomy and advise macroeconomic policymakers. -James H. Stock and Mark W. Watson Journal of Economic Perspectives Vol. 15 2001 导读上面这段话是时序分析领域的两位著名专家斯坦福大学的James Stock和哈佛大学的Mark Watson在一篇关于VAR模型综述性的文章中的一段评语从中读者可能会洞悉出关于多维模型的计量方法在“经济结构”等方面分析的重要性。实际上多维时间序列模型的另一个重要的模型是结构向量自回归模型本章将一般的VAR 模型拓展到经济金融领域经常用到的结构性Structural动态模型即“结构向量自回归模型” SVAR并介绍了缩减式的VAR模型与结构式的VAR之间的本质联系。通过本章的学习读者能够掌握多元时间序列分析的更多核心方法、理论和实际应用等内容。本章内容较多地涉及到矩阵代数这方面基础薄弱的读者可以跳过矩阵推导等内容而主要掌握SVAR模型的基本概念和应用步骤。但是对于基础较好的读者还是建议仔细研读本章的内容因为SVAR模型在经济计量分析中应用相当广泛。 2 9.1 SVAR模型初步 9.1.1 SVAR模型的基本概念 严格地说第8章介绍的VAR模型只是描述了多个变量之间的动态关系的统计描述虽然在脉冲响应分析中我们曾经提到过VAR模型设立中各个变量的排序不同对脉冲响应分析可能影响很大但我们始终没有对卷入VAR模型系统中的内生变量所谓内生变量就是指由系统内的方程式决定的变量而与之相对的是外生变量即那些不是由系统内的关系决定的、独立于模型系统之外的变量之间的经济结构含义进行明确的刻画。 从一方面看这是VAR模型的一个典型优点因为经济变量之间的结构性关系有时候很难界定因此使用VAR技术建模可以有利地规避这个问题。而从另外一个方面看经济变量之间没有给以明确的结构性关系却又是VAR模型特别是无约束条件VAR模型的一个不足。因此VAR模型实质上应该视为一个缩减式reduced form的模型系统在这个系统内各个变量的之间不存在当期的contemporaneous关系而只是存在滞后期与当期之间的互动。 那么是否能够将一定的基于经济、金融理论的变量之间的结构性关系引入VAR模型呢结构向量自回归模型SVAR的出现从一定程度上解决了这一难题。所谓结构向量自回归模型正如其名称所表明的它可以捕捉模型系统内各个变量之间的即时的instantaneous结构性关系。而如果仅仅建立一个VAR模型这样的结构关联性却被转移或者说掩藏到了随机扰动向量的方差-协方差矩阵中了。也正是基于这个原因VAR模型实质上是一个缩减形式没有明确体现变量间的结构性关系。 回顾SVAR的发展历史在SVAR研究领域Amisano and Giannini 1997的专著从某种程度上说是具有里程碑式的意义的。因为这两位意大利的计量经济学家在他们的这本专著中比较透彻地总结了SVAR模型的设立、识别、估计以及应用等内容。不过阅读该书需要较高的计量理论基础所以对于一般读者来说可读性并不高。我们在本章将使用更为通俗易懂的方式介绍与SVAR模型相关的知识而在第3小节对Amisano and Giannini 1997的精髓内容做了归纳和系统的诠释以期读者能够比较顺利地理解SVAR的相关知识。同时因为EViews软件内嵌的SVAR分析机理以Amisano and Giannini 1997的理论模型为基础本章对相关内容的介绍也可能对使用EViews软件从事实证研究的人员有一定帮助。 3要理解SVAR模型首先要明确SVAR的建立一般都是基于一定的经济理论基础。例如现代货币政策传导机制的一条途径是通过欧拉等式即IS等式、菲利普斯曲线和货币政策反应方程 Taylor规则的动态系统实现的。如果令 tx表示真实总产出缺口t表示通货膨胀ti表示短期利率那么这样一个货币传导机制系统就可以写成以下模型形式 即 1112211231123ttttxtttttttttitxcxiucxuicixu61616161 9.1 其中xtu、tu和itu分别表示需求冲击、供给冲击和货币政策冲击项。我们暂时假定这些随机冲击项都不存在序列相关性。 从以上模型系统我们可以看到IS等式描述了真实经济产出缺口与真实利率tti61之间的线性关系菲利普斯曲线将通货膨胀定义为历史的通胀率和真实经济产出缺口的函数而货币政策反应方程则说明了货币政策工具即短期利率本身具有一定的平滑性特征利率滞后项的出现同时受到经济产出缺口和通胀压力的影响。 所以9.1这个模型系统每个等式都是基于一定的经济理论基础而建立起来的并且这三个变量之间通过三个等式形成一个有机地动态系统。这就是一个典型的SVAR模型在整个系统中每个变量除了受各自的滞后项的影响同时还包含了其它变量的即时当期的影响。 注意对于9.1这样的SVAR模型系统每个等式不再能够使用OLS进行回归而获得无偏的估计结果了。这就是计量经济学科经常提到的联立方程偏倚问题simultaneous equation bias。之所以会出现整个问题就是因为每个等式中的解释变量通过整个系统的联系或者称为传导实际上是与各自等式中的随机扰动项具有相关性。而这违背了OLS估计的根本假设要求之一。 有关联立方程偏倚问题这里不再深入讨论。我们这里继续介绍SVAR模型的相关内容。 为进一步分析SVAR模型我们尝试将模型系统9.1中的等式写成向量的形式。所以首先定义向量 ttttxYi65686669666966696760 9.2 这样就可以将9.1重新写成如下形式即 4 011tttYYu61 9.3 其中 22022311016165686669616669666961616760 9.4 111100000065686669666966696760 9.5 123ccc65686669666966696760 9.6 以及 xtttituuuu65686669666966696760 9.7 基于以上定义9.3就是一个SVAR1模型的形式其中各个变量的结构性关系体现在了非单位矩阵的0上。而以前我们介绍的简单VAR型无一例外地都假设了当期变量tY的系数矩阵为单位阵。 9.1.2 SVAR与缩减式VAR模型 进一步推导可以帮助我们认识到SVAR与VAR的内在联系和区别。假设矩阵0有定义并且可逆那么在9.3左右同乘以1061得到下面的等式即 11100110tttYYu61616161 9.8 此时我们看到由SVAR经过变换后的模型9.8至少从形式上看与VAR模型一致。所以VAR模型从某种程度上说是SVAR模型的缩减形式。所以9.8还可以写成 5 1122ttttYcYY6161 9.9 当然如果我们将SVAR1模型9.8拓展到高阶的形式即SVARp模型即 01122tttptptYYYYu616161 9.10 其中p表示滞后期数tu仍然代表随机扰动项向量。与9.8类似我们还可以得到相应的缩减VAR形式即 1122tttptptYcYYY616161 9.11 其中 10kk61 9.12 10c61 9.13 10ttu61 9.14 以及 1100ttuE6161 9.15 模型9.10就是一个典型的SVARp模型。在下面研究中为简单起见我们暂时假定在SVAR模型中tY包含的所有变量均为内生变量。 对于缩减形式的VAR模型9.11如果其对应的扰动项向量被假设为服从多维高斯分布multivariate Gaussian distribution就可以使用 OLS或者MLE方法估计这个模型系统。 可见通过将SVAR模型转化成VAR模型我们可以规避联立方程偏倚问题。而在估计VAR模型之后原始的SVAR模型可以通过SVAR与对应的VAR模型之间的内在联系而获得。 当然在大多数情况下SVAR模型的估计并不一定像上面陈述的那样简单经常用到的估计方法也不一定是OLS而更多的用到所谓的全信息最大似然估计Full Information Maximum Likelihood Estiomator: FIMLE。FIMLE估计是MLE在多维模型情况下的拓展我们将在下面的小节中介绍。 6但是在估计SVAR模型之前还要涉及一个问题就是SVAR模型的识别identification。所谓SVAR模型的识别就是指通过限制一定的条件使得能够利用样本信息估计出待估计的统计量。 9.2 SVAR模型的基本识别方法 9.1.1 SVAR模型的识别问题 对于SVAR模型的识别问题其基本思想就是如果通过一定的约束条件使得估计出的VAR模型对应的系数矩阵、对应的方差矩阵等统计量的个数不少于SVAR模型中待求的未知量的个数。 我们知道SVAR模型与VAR模型有着内在的联系而SVAR模型的识别正是基于这种联系的基础上欲通过对VAR模型的估计结果估计出SVAR模型中的待估计未知量。 要想获得SVAR模型中的结构性系数首先需要考虑所谓的“排序”order问题。什么是order问题呢简单地解释order问题就是对比SVAR模型中待估计量的个数与VAR模型中可以估计出来的对应量的个数。 例如我们知道对于一个包含n个变量的VARp模型如9.11系数矩阵12iip中含有2pn个元素另外在VAR模型9.11中扰动项的方差-协方差矩阵1100u6161含有1/2nn个元素。但是对于与这个VARp模型对应的SVARp模型而言系数矩阵01iip含有21pn元素并且SVAR模型的扰动项的方差-协方差矩阵u含有 1/2nn个元素待估计。 比较含有n个变量的VARp与SVARp模型的这些数字关系我们看到SVARp模型要比VARp模型多2n个未知量待估计。因此如果希望通过估计VAR模型然后利用VAR与SVAR的内在联系再估计出SVAR模型的所有系数那么就必须对SVAR模型施加 2n个约束条件。 常见的一个约束条件是令矩阵0A的对角线上的元素都为1例如在开始使用的货币政策传导机制模型的例子即模型9.3。但是这个约束只能获得n限制条件所以如果要保证SVAR模型能够被识别就还需要至少1nn61个限制条件。当然如果约束条件多于这个标准则称为“过度识别”over-identified反之则称为“不足识别”under-identified。 那么一般来讲要保证SVAR能够被识别的约束条件如何确定呢Watson 1994提出约束条件应该由模型背后的经济含义来确 7定。所以如果不甄别所建立的SVAR模型的经济含义那么任何讨论可能都没有什么实际意义。 9.1.1 识别SVAR模型的约束条件 在设立约束条件的过程中下面几种情况是实证研究可以考虑采用的方法。 第一:对结构冲击项structural shocks的方差-协方差矩阵约束。 与Watson 1994的讨论相似我们使用一个2元的SVARp模型对这种约束方法进行介绍。假定SVAR模型中包含的两个变量分别式真实GDP增长率和货币供应量的增长率分别使用1ty和2ty来表示这两个变量。这样我们就可以获得由总供给和货币供给反应方程组成的SVAR模型即 01122111122111ppiitttititiiyyyyu6161 9.16 02211211222211ppiitttititiiyyyyu6161 9.17 模型9.16可以解释为总供给等式因为当期的经济增长率是当期和滞后的货币供给增长率以及滞后的经济增长率的函数。这样1 tu就具有一定的经济含义它表示总供给或者生产率冲击。 模型9.17是一个货币需求反应函数它刻画了当期的货币总量变量率如何受到当期的经济产出增长率和这两个变量的历史观测值的影响。在这个方程中2tu就可以解释为货币供给冲击。 就上面介绍的这个SVAR模型如果把它看成9.10的形式那么对应的矩阵0的对角线上的元素都为1从前面的介绍我们知道这个约束给出了n个限制条件。而如果要保证SVAR模型能够被识别还需要至少12nn61个限制条件。 其中一个约束条件可以考虑对该SVAR模型中的扰动项的方差-协方差矩阵u进行限制而实现。对这个矩阵的限制一般采用的形式是令对称矩阵u为对角矩阵。如果限制了这个条件那就意味着我们假设SVAR模型中的结构扰动项之间彼此互不相关。对于上面的例子这个约束条件的含义是总供给冲击与货币扰动因素彼此不相关。这个假设经常被认为是比较合理的假设因为这两个扰动因素之间在很多情况下确实并没有很强的关联性。 8注意这里限制u为对角矩阵只给出了 1/21nn61个约束条件还需要至少1/21nn61个额外的约束条件。这另外的约束条件如何获得呢通常可以考虑采用下面介绍的方法即对矩阵0A的限制条件。 第二对A0矩阵的约束。 上面已经提到尚缺的1个额外约束条件可以考虑通过对矩阵0进行适当的限制来获得。当然对0的限制也应该有一定的经济含义解释。以上面的“产出-货币”SVAR模型为例 必须找到对012或者021的限制条件。 从经济理论角度出发我们可以考虑货币政策对现实经济影响普遍存在的时滞特点从而假定当期的货币政策冲击对当期的经济产出并不马上产生影响。这样2tu对1ty的影响乘数impact multiplier应该为0即 120ttyu6868 9.18 如果限制了这个条件那么考查9.16和9.17就知道这个假设要求实质上要求0120。如果有了这个限制条件加上前面介绍的对矩阵u的限制条件对应的SVAR模型就可以被识别了。 虽然上面的讨论以2变量的SVAR模型为例但是容易拓展到对n变量情况下矩阵0的约束。在这种情况下对0进行类似的约束所经常被称为“伍德因果链”Wold Causal ChainWCC约束即 /0 itjtyuij6868lt 9.19 从实质上看WCC给出了一个递归的SVAR系统其中0为下三角矩阵从而就给出了1/2nn61个约束条件。 举例来说如果n3即一个3变量SVAR模型WCC约束给出的模型可以写成如下形式即 9111112213311110221121122223321110033113223113223331 pppiiittitititiiipppiiitttitititiiipiiittttititiyyyyuyyyyyuyyyyyy616161616161616161311 ppitiiu 9.20 这个例子中矩阵0的形式为 002100313210010165686669666966696760 9.21 当然如果拓展到n个变量的SVAR系统WCC约束条件对应的矩阵0就变成如下形式即 02100012100101nn656866696669666966696760 9.22 这个约束条件的形式可以回溯到Wold 1954的文献后来在Sims 1980的重要研究中重新获得新生。 第三长期关系约束。 在SVAR的识别过程中还有一种著名的约束条件被称为长期关系long-run relationship约束条件。这种约束的实质可以通过下面的公式说明即 011pii61 9.23 长期关系约束条件限制矩阵1是一个下三角矩阵从而就可以获得1/2nn61个约束条件。这就是Blanchard and Quah 1989最初提出的长期关系约束条件。Watson 1994以及其他研究人员对这种约束条件的理论和应用做了进一步的讨论下面的内容将会 继续介绍这种方法。 10实际上以上介绍的识别SVAR模型要求的约束条件的方法是一般性地讨论实践研究者可以根据这里介绍的方法并必须结合手中研究的具体问题来制定识别系统的约束条件。很多时候这些约束条件需要利用计量软件编制一定的程序实现。当然前人的研究出来的一些既定呈现可能也会提高实际分析SVAR模型的效率。例如WinRATS学习群经常会提供一些已有的处理SVAR模型的WinRATS程序。当然不同的计量软件在处理问题的灵活程度上还是存在一定差别的例如GAUSS编程工具在处理SVAR问题时就具有更大的灵活性功能也更加强大。 我们在本章开始还提到过EViews软件以Amisano and Giannini 1997的专著为蓝本分析SVAR模型。所以下面一个小节集中介绍Amisano and Giannini归纳的三种模型即AB-模型C-模型和K-模型。这些模型的识别和估计方法与以上介绍的内容既有重叠的地方又有其独特的方面希望读者认真比较。 9.3 SVAR模型的三种类型 应该指出模型9.10只是SVAR模型的一种类型它对应的是Amisan