第三届全国大学生数学竞赛非数学类预赛试卷评分标准.pdf

1 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 参考答案及评分标准 非数学类 2011 参考答案及评分标准 非数学类 2011 一 本题共 4 小题 每题 6 分 共 24 分 计算题 1 一 本题共 4 小题 每题 6 分 共 24 分 计算题 1 2 2 0 1 1 ln 1 lim x x xex x 解 解 因为 2 2 1 1 ln 1 x xex x 2ln 1 2 1 ln 1 x x eex x 2 2 0 ln 1 lim x ex e x 3 分 22 ln 1 ln 1 2 2 2 00 1 limlim xx xx xx eee e xx 2 0 2 ln 1 2 lim x x x e x 222 2 00 1 1 ln 1 1 2lim2lim 2 xx xx x eee xx 5 分 所以 2 2 0 1 1 ln 1 lim x x xex x 0 6 分 2 设2 设 2 coscoscos 222 n n a 求求lim n n a 解 解 若0 则lim1 n n a 1 分 若0 则当n充分大 使得2 n k 时 2 coscoscos 222 n n a 2 1 coscoscossin 2222 sin 2 nn n 211 11 coscoscossin 22222 sin 2 nn n 4 分 2222 11 coscoscossin 22222 sin 2 nn n sin 2 sin 2 n n 这时 lim n n a lim n sinsin 2 sin 2 n n 6 分 2 3 求3 求sgn 1 D xydxdy 其中 其中 02 02 Dx yxy 解 解 设 1 1 0 02 2 Dx yxy 2 11 2 0 2 Dx yxy x 3 11 2 2 2 Dx yxy x 2 分 12 2 1 2 112ln2 DD dx dxdy x 3 32ln2 D dxdy 4 分 323 sgn 1 24ln2 DDDD xydxdydxdydxdy 6 分 4 求幂级数4 求幂级数 22 1 21 2 n n n n x 的和函数 并求级数的和函数 并求级数 21 1 21 2 n n n 的和 解 的和 解 令 22 1 21 2 n n n n S xx 则其的定义区间为 2 2 2 2 x 1 212 22 2 111 00 21 22222 n xx n n nn nnn nxxxx S t dttdt x 2 分 于是 2 222 2 2 2 xx S x xx 2 2 x 4 分 22 21 11 21211110 22922 n nn nn nn S 6 分 二 本题 2 两问 每问 8 分 共 16 分 设二 本题 2 两问 每问 8 分 共 16 分 设 0 nn a 为数列 为数列 a 为有限数 求证 1 如果 为有限数 求证 1 如果lim n n aa 则 则 12 lim n n aaa a n 2 如果存在正整数 2 如果存在正整数p p 使得 使得lim npn n aa 则 则 lim n n a np 证明 1 由lim n n aa 0M 使得 n aM 且 1 0 N 当 n N1 时 2 n aa 4 分 因为 21 NN 当 n N2 时 1 2 N Ma n 于是 111 22 n aaN ManN a nnn 3 所以 12 lim n n aaa a n 8 分 2 对于0 1 1ip 令 1 i nnp inp i Aaa 易知 i n A为 npn aa 的子列 由lim npn n aa 知 lim i n n A 从而 12 lim iii n n AAA n 而 12 1 iii nnp ip i AAAaa 所以 1 lim np ip i n aa n 由lim0 p i n a n 知 1 lim np i n a n 12 分 从而 1 1 limlim 1 1 np inp i nn aa n npinpinp mn p i 01 ip 使得mnpi 且当m 时 n 所以 lim m m a mp 16 分 三 15 分 设函数三 15 分 设函数 f x在闭区间在闭区间 1 1 上具有连续的三阶导数 且上具有连续的三阶导数 且10f 11f 00 f 求证 在开区间 求证 在开区间 1 1内至少存在一点内至少存在一点 0 x 使得 使得 0 3fx 证 证 由马克劳林公式 得 3 11 0 23 f xffxfx 2 0 介于 0 与x之间 1 1x 3 分 在上式中分别取1x 和1x 得 11 11 11 0 01 23 ffff 0 5 分 22 11 01 0 0 10 23 ffff 7分 两式相减 得 12 6ff 10 分 由于 f x 在闭区间 1 1 上连续 因此 fx 在闭区间 21 上有最大值 M 最小值 m 从而 12 1 2 mffM 13 分 再由连续函数的介值定理 至少存在一点 0 x 21 1 1 使得 012 1 3 2 fxff 15 分 4 四 15 分 在平面上 有一条从点四 15 分 在平面上 有一条从点 0 a向右的射线 线密度为向右的射线 线密度为 在点 在点 0 h处处 其中 其中 h 0 有一质 量为 有一质 量为m的质点 求射线对该质点的引力 解 的质点 求射线对该质点的引力 解 在x轴的x处取一小段dx 其质量是dx 到质点的距离为 22 xh 这一小段与质点的引力是 22 Gm dx dF hx 其中 G 为引力常数 5 分 这个引力在水平方向的分量为 22 3 2 x Gm xdx dF hx 从而 22 2 122 2 322 2 2 322 2 ah Gm xhGm xh xdGm xh xdxGm F a a a x 10 分 而dF在竖直方向的分量为 22 3 2 y Gm hdx dF hx 故 h a h Gm tdt h Gm th dthGm xh hdxGm F h a h a a y arctansin1cos sec sec 2 arctan 2 arctan 33 22 2 322 所求引力向量为 xy F F F 15分 五 15 分 设五 15 分 设z z z z x yx y 是由方程 是由方程 11 0F zz xy 确定的隐函数 且具有连续的二阶偏导数 求 证 确定的隐函数 且具有连续的二阶偏导数 求 证 22 0 zz xy xy 和 和 222 33 22 0 zzz xxy xyy xx yy 解 解 对方程两边求导 12 2 1 0 zz FF xxx 12 2 1 0 zz FF yyy 5 分 由此解得 22 1212 11 zz xyxFFyFF 所以 22 0 zz xy xy 10 分 将上式再求导 22 22 2 2 zzz xyx y xxx 22 22 2 2 zzz xyy x yyy 相加得到 222 33 22 0 zzz xxy xyy xx yy 15 分 5 六 15 分 设函数六 15 分 设函数 xf连续 连续 cba 为常数 为常数 是单位球面 是单位球面 1 222 zyx 记第一型曲面积分 记第一型曲面积分 dSczbyaxfI 求证 求证 1 1 222 2duucbafI 解 解 由 的面积为 4 可见 当 cba 都为零时 等式成立 2 分 当它们不全为零时 可知 原点到平面 0 dczbyax 的距离是 222 cba d 5 分 设平面 222