欧拉公式e_ix_cosx_isinx的几种证明及其在高等数学中的.pdf

1 欧拉公式的历史渊源及其意义1 世纪中叶产生了明确的复数概念 在世纪 已有的初等数学包括三角函数 指数函数和对数函数则被推广到1618 了复数领域 这也是受到了积分计算的激发 1 这些数学成果 为欧拉公式的产生奠定了基础 年 英国数学家科兹 首先发表了定理1714CotesRoger16821716 1 17年月日 瑞士数学家欧拉 在给瑞士数学家约翰 伯努利 401018EulerLeonard17071783John Bernoulli 的信中说 和都是同一个微分方程的解 因此它们应该相等 年他16671748 1743 又发表了这个结果 即 2 年欧拉重新发现了科兹所发现的结果 式 它也可以由 式导出 174812 2 年 欧拉在递交给圣彼得堡科学院的论文 微分公式 中首次使用 来表示 但很少有人注意它 直到1777 18年 德国数学家高斯 系统地使用了这个符号 以后渐渐流行 沿用至今 01GaussCarl Friedrich17771855 3 由和上述 两式得 12 3 这就是著名的欧拉公式 指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系 而在复数域中却发现了它们可以相互转化 并被欧拉公式这个非 常简单的关系式联系在一起 特别是当时 欧拉公式便写成了 这个等式将数中最富特色的五个数 0 绝妙地联系在一起 是正整数也是实数的基本单位 是虚数的基本单位 是唯一的中性数 它们都具有1 1 0 独特的地位 最具代表性 可以说 来源于代数 来源于几何 来源于分析 与在超越数之中都独具特色 这 5 个看来似乎是互不相干的数 居然如此和谐地统一在一个式子中 4 因而 公式 成为人们公认的优美公式 被视为数学美的一个象征 这充分地揭示了数学的统一性 简洁性 奇异性等美学特性 了解这些丰富的数学文化内容 对于通过高等数学学习提高大学生的综合素质 提高数学教育的质量具有重要意义 欧拉公式的几种证明及其在高等 数学中的应用 李劲 河西学院数学系 甘肃张掖 734000 摘要 在复数域上给出欧拉公式的几种证明 举例说明欧拉公式在高等数学中的几 类应用 关键词 欧拉公式 证明 高等数学 应用 举例 中图分类号 文献标识码 文章编号 O13 A 16720520200805000106 收稿日期 2008 04 22 作者简介 李劲 男 甘肃临潭人 河西学院数学系副教授 主要从事数学教育教学研究 1957 第卷第期 河西学院学报 2452008 Vol 24 No 52008 cossin ix ex ix cossin ix exix 1log cos1sin e 2cosyx 11xx yee 11 cos 2 ss ee s 11 sin 21 ss ee s i 1 1i cossin ix exix xR x 10 i e ie i i i ee 10 i e 2 欧拉公式的证明2 欧拉公式有广泛而重要的应用 但在相关文献中未见到对这个公式比较系统和完整的多种 证 明 为了进一步挖掘欧拉公式的应用及其数学教育方的重要意义 以下在复数域上给出欧拉公式的几种比较系统的证明 证法一 复指数函数定义法 因为对任何复数 复指数函数定义为 5 所以 当复数 的 实部时 就得到欧拉公式 证完 证法二 分离变量积分法 设复数 两边对求导数 得 分离变量并对两边积分 得 即 取得 故 有 即 证完 证法三 复数幂级数展开式法 因为 所以 证完 证法四 变上限积分法 考虑变上限积分 因为 又因为 再设 由此得 所以有 即 令 得 即有 证完 证法五 极限法 李劲 欧拉公式的几种证明及其在高等数学中的应用 cossin ix exix cossin ix exix zxiy x yR cossin zx iyx eeeyiy 0 x cossin iy eyiy cossinzxix xR x sincos dz xix dx 2 sincosixix cossin ixixi z 1 dzidx z ln zi xC 0 x 0C ln zi x cossin ix exix 0 n ix n ix e n 2 0 1 cos 2 nn n x x n 121 1 1 sin 21 nn n x x n xR cossinxix 2 0 1 2 nn n x n 121 1 1 21 nn n x i n 0 n ix n ix e n 2 0 1 1 y dt t 2 0 0 1 arctanarctan 1 y y dtty t 2 00 1111 12 yy dtdt ti titi 0 ln ln 2 y i titi 2 2 lnln 21 iyi y 1 arctan y tany 2 2 lnln 21 iyi y 1 2 2 tan lnln 2tan1 ii 1 22 cos tan ln 21 ii 22 ln cos2 sincossin 2 i i 2 ln cos sin 2 i i ln cos sin ii ln cos sin ii x ln cossin ixxix cossin ix exix z 3 当时 欧拉公式显然成立 当时 考虑极限 一方面 令 则有 4 另一方面 将化为三角式 得 由棣莫夫公式得 而 所以有 5 由 两式得 证完 45 欧拉公式在高等数学中的应用3 欧拉公式在初等数学中有广泛的应用 特别是在三角函数恒等式证明中有十分重要的应用 在高等数学中欧拉公式也 有极为广泛的应用 下面举例说明 计算3 1 例计算下列各式的值1 1 2 解 因为由欧拉公式得 所以 这说明不是虚数 1 在欧拉公式中 取 得 2 所以 6 求高阶导数3 2 例设 其中为常数 求 2 解构造辅助函数 及 则由欧拉公式得 于是 河西学院学报年第期 20085 0 x 0 x lim 1 n n ix n xR nN n t ix lim 1 n n ix n 1 lim 1 tix n t ix e 1 ix n 1 ix n 2 1 cos arctan sin arctan xxx i nnn 2 2 1 1 cos arctan sin arctan n n ixxxx nin nnnn 2 2 lim 1 1 n n x n limcos arctan n x nx n limsin arctan n x nx n lim 1 cossin n n ix xix n cossin ix exix i iln 1 2 i ie 22 i ii iee i i 2xn 0 1 2 n 2 cos 2 sin 2 1 in enin ln 1 2 in 0 1 2 n cos cos sin x f xex n fx cos sin sin x g xex F xf xi g x cos cos sin sin sin x F xexix cossin cossin i xixxixe eeee i ninxe Fxee cos cossin cos sin sin sin x ninexix cos cos sin sin sin x enxinx 4 分离其实部和虚部 即可得所求 求函数的级数展开式3 3 例求函数的麦克劳林展式 3 解构造辅助函数 及 则的麦克劳林展式为 分离其实部和虚部得 所以 积分计算3 4 例计算和 其中 为常数 4 解设 则有 分离其实部和虚部得 求三角级数的和函数3 5 例求三角级数在收敛域 上的和函数 6 7 解设所求为 构造在 上收敛的三角级数 并设其和函数为 于是有 李劲 欧拉公式的几种证明及其在高等数学中的应用 cossin ix exix n fx cos cos sin x enx 3 3cos2sin x f xexx 3 1 cos x f xex 3 2 sin x fxex 3 3 12 xixi x F xf xi fxeee F x 0 1 3 n n F xi x n 6 0 1 2 i n n ex n 0 2 cossin 66 n n n nn ix n 1 0 2 cos 6 n n n n f xx n 2 0 2 sin 6 n n n n fxx n 12 0 2 3 2 3cos2sin 66 n n n nn f xf xfxx n cos x exdx sin x exdx 1 cos x f xexdx 2 sin x fxexdx 12 f xi fx cossin x exix dx xi xix e edxedx 1 ix eC i 22 x i x e ieC 22 cossin sincos x e xxixxC 1 cos x f xexdx 1 22 cossin x e xxC 2 sin x fxexdx 2 22 sincos x e xxC 0 3 sin n n nx n s x 0 3 cos n n nx n t x t xis x 0 3 cossin n n nxinx n 5 分离其实部和虚部得三角级数在收敛域 上的和函数为 求复数形式的傅立叶级数3 6 例根据实数形式的傅里叶级数求复数形式的傅立叶级数 6 7 解若函数以为周期 在 上连续或至多有第一类间断点 且在 上至多有有限个单 2 调区间 则其实数形式的傅里叶级数为 其中傅里叶系数为 012 6 因为 所以有 在 式中 若以 代替 则有6 记 于是 函数的复数形式的傅里叶级数为 012 其中系数计算公式为 求微分方程的通解3 7 例求微分方程的通解 7 8 解原方程的特征方程为 河西学院学报年第期 20085 33 cossin 00 31 3 xi n nxixinex ix nn eeee nn 3cos cos 3sin sin 3sin x exix 0 3 sin n n nx n 3cos sin 3sin x s xex f x 0 1 cossin 2 nn n a anxbnx 1 cos n af xnxdx 1 sin n bf xnxdx n 1 cos 2 inxinx nxee 1 sin 2 inxinx nxee 0 1 cossin 2 nn n a anxbnx 0 1 11 22222 inxinx nnnn n aii abeab e nn nn aa nn bb 1 22 nnn i cab n f x inx n n c e 1 2 nnn caib 1 cossin 2 f xnxinx dx 1 2 inx f x edx 4 250yyy 6 即 由此可知 该特征方程的特征根为 0 于是 由欧拉公式及微分方程解的叠加原理得原方程的通解为 结束语4 以上证明和几个方面的实例表明 欧拉公式可以将高等数学中的许多知识点联系起来 形成知 识链 掌握欧拉公式及其广泛应用 对于掌握有关数学思想 增强数学审美意识 提高高等数学的学习质量具有重要意 义 有必要对欧拉公式的应用进行更深入的探讨 参考文献 李文林 数学史教程 北京 高等教育出版社 1 M 2000 美 克莱因 古今数学思想 第二册 上海 科学技术出版社 2 M M 1979 杜瑞芝 数学史辞典 济南 山东教育出版社 3 M 2000 张楚廷 数学文化 北京 高等教育出版社 4 M 2000 钟玉泉 复变函数论 第三版 北京 高等教育出版社 5 M 2004 陈仁政 不可思议的 北京 科学出版社 6 M 2005 龚成通 高等数学起跑第一步 上海 华东理工大学出版社 7 M 2004 同济大学数学教研室 高等数学 第四版 北京 高等教育出版社 8 M 1996 责任编辑 张飞羽 李劲 欧拉公式的几种证明及其在高等数学中的应用 cossin ix exix 12 3 4 12i 1234 cos2sin2 x yCC xe CxCx cossin ix exix 432 250 22 25 0 The Proof and Application of Ewler s Formula in Higher Mathematics Li Jin Department of MathematicsHexi UniversityZhangyeGansu734000 Abstract This paper presents a few proofs of Euler s formu la in the field of complex number and shows several applications of Eulev s formula in higher mathematics Key words Euler s formula Proof Higher mathematics ApplicationExamples cossin ix exix Analysis of Chemical Constituents of Volatile Oil from Artemisia Argyi with Different Methods Xu Xin Jian Song Hai Xue Guo qin An Hong gang Wu Dong qing Key Laboratory of Resources and Environment Chemistry of West China Zhangye Gansu 734000 Department of Chemistry Hexi University Zhangye Gans