数学专题22抛物线.doc

高中数学高考总复习 专题二十二 抛物线一、 知识网络 二、高考考点1.抛物线定义的应用；2.抛物线的标准方程及其几何性质；焦点、准线方程；3.抛物线的焦点弦引出的问题；4.直线与抛物线相交（或相切）引出的求法或范围问题；5.抛物线与三角形（或四边形）问题。三、知识要点（一）定义与推论1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.这一定义为抛物线上任意一点M的焦点半径与水平线段（或垂直线段）的等价转换奠定理论基础.2.推论：抛物线的焦点半径公式设 为抛物线 上任意一点，则 设 为抛物线 上任意一点，则 其它情形从略。（二）标准方程与几何性质1.标准方程设抛物线的焦点F到准线l的距离为p（焦参数），则在特定直角坐标系下导出抛物线的标准方程： 认知：上述标准方程中的一次项的功能：一次项本身决定抛物线的形状与位置.其中，一次项所含变元对应的数轴为对称轴（焦点所在数轴）；一次项系数的符号决定焦点所在半轴（或开口方向）：系数为正，焦点在相应的正半轴上（或开口朝着对称轴正向），反之，焦点在负半轴上（或开口朝着对称轴负向）；一次项系数的绝对值决定抛物线开口大小（形状）：恰等于焦点参数的2倍.2.几何性质对于抛物线 （1）范围： 这条抛物线在y轴右侧，且向右上方和右下方无限延伸；（2）对称性：关于x轴对称 轴为这条抛物线的轴.认知：抛物线的准线与其对称轴垂直（抛物线主要共性之一）（3）顶点：原点O（0，0）（抛物线方程为标准方程的必要条件之一）（4）离心率： （抛物线主要共性之二）（三）挖掘与引申1.抛物线方程的统一形式（1）顶点在原点，以x轴为对称轴的抛物线方程为 ，其焦点参数 （一次项系数绝对值的一半）；焦点 ，准线 ；顶点在原点，以y轴为对称轴的抛物线方程为 ，其焦点参数 （一次项系数绝对值的一半）；焦点 ，准线 ；（2）顶点在 ，对称轴垂直y轴的抛物线方程为： ，其焦点参数 ；顶点在 ，对称轴垂直x轴的抛物线方程为： ，其焦点参数 ；2.抛物线的焦点弦设 且PQ为抛物线 的一条经过焦点的弦.（1）弦端点同名坐标的关系 （课本P119） （推导上述命题的副产品： ，其中k为直线PQ的斜率）（2）焦点弦长公式（） （课本P118例3引申）。（）设直线PQ的倾斜角为 ，则 故有： （3） 的面积公式： ；（4）焦点半径 与 的关系 （定值）（5）平行与垂直关系的其它定值结论请读者通过课本习题去认知：P123 6，P133 2。（四）直线与抛物线直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式的考察：直线与抛物线交于不同两点 直线与抛物线交于一点 （相切）或直线平行于抛物线的对称轴；直线与抛物线不相交 四、抛物线经典例题例1、（1）抛物线 的焦点坐标为 ；（2）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F的距离为5，则抛物线方程为 ；（3）经过抛物线 的对称轴上一点 作直线l与抛物线交于A、B两点，若A点纵坐标为 ，则B点纵坐标为 .分析：（1）将抛物线方程化为标准方程切入当 时，抛物线标准方程为 ，此时，焦参数 ，焦点 ；当 时，抛物线标准方程为 ，此时，焦参数 ，焦点 ；综上可知，不论a的正负如何，总有焦点坐标为 .（2）这里 .注意到焦点半径 在不同标准方程下的不同形式，运用抛物线标准方程的统一形式也不能避开讨论，故而爽直地从标准方程的讨论入手。注意到点A在x轴下方，因此，（）当抛物线焦点在x轴正半轴上时，设抛物线方程为 ，则 又点A在抛物线上，则 由，得： 或 由得：p=9或p=1抛物线方程为： 或 （）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设抛物线方程为 ，则 ，且 仿（）解得 p=1或p=9抛物线方程为 或 （）当抛物线焦点在y轴负半轴上时，设抛物线方程为 ，则 ， p=4此时抛物线方程为 于是综合（）、（）、（）抛物线方程为 或 或 .（3）为推导出其普通性的结论，我们将所给问题定义升级经过抛物线 的对称轴上一定点 作抛物线的弦AB，若设 ，寻找点A、B的同名坐标之间的联系。设弦AB所直线方程为 由与 联立，消去x ： （）应用上述结论，当a=p， 时，由得 B的纵坐标为4p例2 、已知抛物线 ，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点到A、F的距离之和的最小值为 ，求抛物线方程.分析：在解析几何中，关于到两个定点的距离之和的最小值（或距离之差的最大值）问题，运用纯代数方法解，导致复杂运算，因而常运用几何方法与相关曲线的定义。解：注意到抛物线开口大小的不确定性（1）当点A和焦点F在抛物线的异侧时，由三角形性质得 ，解得p=2或p=6。注意到p=6时，抛物线方程为 ，此时若x=2，则 ，与点A所在区域不符合；当p=2时，抛物线方程为 ，当x=2时， ，符合此时的情形。（2）当点A和焦点F在抛物线的同侧时（如图），作MN准线l于点N， ，得 ，解得 易验证抛物线 符合此时情形。于是综合（1）、（2）得所求抛物线方程为 或.点评：求解此题有两大误区：一是不以点A所在的不同区域分情况讨论，二是在由（1）（或（2）导出抛物线方程后不进行检验。事实上，在这里不论是A在什么位置，总得 成立，本题进行的检验是必要的.例3、经过抛物线 的焦点作弦AB.（1）若弦AB被焦点F分成的线段之比为3：1；求该弦所在直线的方程；（2）求证：直线AB不会是这条抛物线任意一条弦CD的垂直平分线.分析：对于比较复杂的抛物线的焦点问题，常采用对交点坐标“设而不解”的策略.解：（1）设 由题意知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB方程为 将代入 消去x得： 由韦达定理得： 又由题意得 （或 ） 由得： 将代入解得： 所求直线方程为： 或 .（2）证明：由题意抛物线焦点 ，准线 ；假设直线AB为弦CD的垂直平分线.则 注意到C，D两点在抛物线上 过C，D分别作 于G， 于H则又有 由 、知 ，即四边形CDHG为矩形 轴 轴这与直线AB与抛物线有两个交点矛盾。于是可知，直线AB不是弦CD的垂直平分线。点评：（）本例（1）的求解特色，一是利用三角形相似转化已知条件；弦AB被焦点F分成的线段比为3：1（或 ）；二是以 为基础构造并寻觅出 和 的关系式，从而为利用式创造了条件.（）对于（2）等否定性命题，常常用反证法证明.请大家在解题过程中注意领会和感悟反证法的思路与策略.例4、如图，已知抛物线 的焦点为F，直线l过定点A(4,0)，且交抛物线于P、Q两点。（1）若以PQ为直径的圆经过原点，求p的值；（2）在（1）的条件下，若 ，求动点R的轨迹方程。分析：注意到直线l过定点A(4,0)，引入新参数k，故考虑对P、Q坐标“既设又解”。解：（1）当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为 把代入抛物线方程 得 由题意： 恒成立且 由题设得 、代入得： 此时p=2当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=4，将x=4代入抛物线方程 得： .由 得 此时亦p=2于是综合以上讨论得p=2.（2）解法一（既设又解）：设动点R坐标为（x,y），由（1）知p=2，F(1,0) 由 得： 由、得： 由、消去参数得： 当直线l垂直于x轴时，有 ，从而点 满足 因此，所求动点R的轨迹方程为 .解法二（设而不解）：由（1）所设 . 得： 又 两式组合得： ，即 当 时得： 注意到 得 四边形PRQF为平行四边形.线段PQ与FR互相平分设FR中点为M，由得 再注意到P、Q、M、A四点共线 由、得： 而当 时， 适合式于是可知，所求动点R的轨迹方程为 .点评：对于（2）解法一“既设又解”的思路，过程简略，不需认知条件 几何意义，便可导出动点R的条件， 的几何意义以及P、Q、M、A四点共线的特殊性质，解题具有较高的技术含量。例5、直线l与抛物线 交于A、B两点，O为原点，且有 .（1）求证：直线l恒过一定点；（2）若 ，求直线l的斜率的取值范围.（3）设抛物线焦点为F， ，试问：角 能否等于 ？若能，求出相应的直线l的方程；若不能，试说明理由。分析：鉴于问题的复杂性，考虑对A、B坐标“既设又解”，注意到大前提有三个小题，故从大前提的认知与延伸切入.解：（1）设 ，则有 由 得 注意到这里 ，由得： ，故由得 ， （）当直线l与x轴不垂直时，设其方程为 ，将其与抛物线方程 联立，消去x得： 由题意： 且 由，得： 直线l的方程为 ，可见直线l过定点(2,0)。（）当 轴时可得 ，直线l方程为 ，亦过定点(2,0)。综上可得，直线l恒过定点(2,0)。（2）由（1）得： 由 得： 所求k的取值范围为 （3）设 ，则有 又 而由抛物线定义知： ， 将，代入解得： ，这与 且 矛盾。并注意到当 轴时， 综上可知， 。点评：若直线与抛物线 交于不同两点A、B，且 ，则弦AB具有与焦点弦相似的性质：（）弦端点同名坐标之积为定值： （）直线AB经过抛物线的轴上一定点.例6、已知抛物线 .设AB是抛物线上不重合的两个任意点，且 ， （O为坐标原点）（1）若 ，求点M的坐标；（2）试求动点M的轨迹方程。分析：注意到这里解题头绪的繁多，故考虑对A、B坐标“既设又解”或“解而不设”，以“求解”来化解解题的难度。解：设 ，则 且 .由 得 解法一（既设又解）：由 得 又 故得 由、得 （或 ） 于是再由已知条件得 此时点M坐标为(4p,0).（2）设动点M(x,y)，则由 得 又由得： 由、得： 整理得： 所求动点M的轨迹方程为 .解法二（对A、B坐标解而不设）：由题意，设直线OA的方程为 ，则直线OB ： .设M(x,y)，得由 解得 由 解得 由 得 （1）由 得： ，即 当 时或 时，均由得点 ；（2）注意到 ，由得 消去参数k，得 即 所求动点M的轨迹方程为 .点评：（1）本题已知条件： ， 四边形OAMB为矩形.（2）对解法一、解法二进行比较：（）对交点坐标“解而不设”思路简捷，过程明朗，通俗易懂。因此，当直线方程或曲线方程比较简单时，要注意适时运用这一策略。（）细细品味，解法一中对A、B坐标的“既设又解”，与前面解决直线与椭圆（或双曲线）相交问题时，对交点坐标的“只设不解”有着明显不同。其中，前面解决直线与椭圆（或双曲线或抛物线）相交问题时，设出交点坐标之后，解“直线方程与曲线方程联立的方程组”，解题中途运用韦达定理；而本题中设出A、B坐标之后，解的是“关于所设交点坐标的等式所成的方程组”，而且是一解到底，直到解出所设交点坐标，前后的“既设又解”，一样说法，两种风情，其中的区别与缘由，需要我们细细品味。五、高考真题（一）选择题（1）（2005全国卷）已知双曲线 （ ）的一条准线与抛物线 的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 分析：抛物线 的准线为 对于双曲线有： 由，得： 由得 于是： ，应选D.（2）（2004全国卷）设抛物线 的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（ ）A. B. -2，2 C. -1，1 D. -4，4分析：抛物线 的准线方程为 点Q坐标为（-2，0）由题意，设直线l的方程为 代入 得： 可知，k=0符合已知条件； 当 时，由得 由，得 应选C.（3）（2005上海卷）过抛物线 的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A.有且只有一条 B.有且只有两条 C.有无穷多条 D.不存在分析：抛物线 的焦点F（1，0）.若直线 轴，则A、B横坐标之和等于2，与题意不合，故AB不垂直于x轴，于是由抛物线关于x轴的对称性知，这样的直线有两条，故选B.（二）解答题1.（2005全国卷）设 两点在抛物线 上，l是AB的垂直平分线.（1）当且仅当 取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围.分析：从线段AB的垂直平分线的性质切入（1）直线l经过F又l为弦AB的垂线平分线 ，问题由此可以突破（2）以A、B关于直线l对称的条件突破难点。解：（1）抛物线 焦点 即 ， ， ，即当且仅当 时，直线l经过抛物线的焦点F.（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程为 可设直线AB的方程为 代入 得： 由题意得： 且 又设弦AB的中点为 ，解得： ， ，即： 注意到 ， 由得： 由得： 即直线l在y轴上的截距的取值范围为 点评：利用 解出的范围，再利用直线l经过弦AB的中点导出b与m的关系式，则由导出b的取值范围便呼之欲出了。2.（2005天津卷）抛物线C的方程为 ，过抛物线C上一点 作斜率为 的两条直线分别交抛物线C于 两点（P、A、B三点互不相同），且满足 （ ，且 ）.（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（2）设直线AB上一点M，满足 ，证明：线段PM的中点在y轴上；（3）当 时，若点P坐标为（1，-1），求 为钝角时，点A的纵坐标 的取值范围.分析：（）对于（2），为采用向量的坐标公式，通过直线方程去求解或表示点A、B坐标。因此，解（2）由写出斜率为 的直线方程切入，从求解A、B坐标突破（对A、B坐标既设又解）；（）对于（3）， 为钝角 ，故仍从推导A、B以及入手.解：（1）抛物线方程 这里的焦点参数 ，焦点坐标为 ，准线方程为 （2）由题设知 直线 的方程为 与抛物线方程 联立解得 当 时， ， ， 同理， 设点M坐标为 ，则由 以及、得 又 ， ， ，即线段PM的中点在y轴上.（3）当 时， 由点P（1，-1）在抛物线 上得 .由（2）得 ， ， 注意到 为钝角 而 ，当 时， ，从而 ； 当 时， ，从而 于是综合、得所求 的取值范围为 点评：对于本题而言，第（2）小题的处理至关重要，在这里，利用点P坐标和斜率 ，首先建立起直线 的方程，而后与抛物线方程联立，导出 与 的关系式，则获知 与 的关系式，便一蹴而就，于是再利用题设条件推导点M的横坐标与 的关系便有八分胜算了。 3.（2005广东卷）在平面直线坐标系 中，抛物线 上异于坐标原点O的不同两点A、B满足 （如图）（1）求 的重心G的轨迹方程；（2） 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.分析：注意到抛物线方程 的简单以及 重心公式的结构，容易首先对A、B坐标“设而不解”；其次是“解而不设”.其实，若注意到 的表达式，则“解而不设”会更胜一筹。解：（1）设直线OA的方程为 ，将其与抛物线方程 联立，解得 又由 ，设直线OB的方程为 ，同理解得 设 的重心为 ，则由三角形重心坐标公式（推导从略）得 注意到 ，由，消去参数 得 即 所求 的重心G的轨迹方程为 （2）设 的面积为S，由 得 当且仅当 时取等号. （当且仅当 时取得） 的面积存在最小值，且最小值为1.点评：对有关直线与曲线的交点“解而不设”，使解题的脉胳清晰，前途明朗，解题的技术含量较低。因此，对于方程简单的抛物线与直线相交问题，应注意适时的运用这一策略。4.（2005江西卷）如图，设抛物线 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过点P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求 的重心G的轨迹方程；（2）证明： 分析：注意到这里的PA、PB为切线，并且抛物线方程简单，故考虑对A、B坐标“设而不解”；对于（2），由于（1）中已经设出并表示出A、B、P的坐标，故首选以证明两角的余弦值相等突破。解：（1）设切点 由 得：切线PA的方程为 切线PB的方程为 由，联立解得点P坐标 。设 的重心坐标为 ，解得： 即 注意到点P在直线l上， 代入得： ，即： 所求 的重心G的轨迹方程为 .（2）由（1）知 ，又 ， ，且 ， 点评：在此证明习题的过程中，将有关点的坐标或向量的坐标分别代入目标式两边，乃是为了在变形之后暴露出左右两边的相同之处。因此，当目标式两边中有同一量时，可考虑暂时保持这一量不变，而率先变化其余部分；“保留相同部分，变形不同部分”，这是用计算的方法证明等式成立的基本技巧。请同学们在上述解答中品悟这一技巧的应用。5.（2005山东卷）已知动圆过定点 且与直线 相切，其中p0.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当、变化且+为定值 时，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。分析：（1）定点 ，直线 ，得由直线与圆相切的充要条件知，动圆圆心M到定直线l的距离等于圆的半径 ，据此，可运用“直接法”，也可运用“定义法”求动圆圆心轨迹方程。（2）注意到这里最终须写出直线AB的方程，又直线OA、OB的方程易求，从而A、B坐标易解，故可优先选择对点A、B的坐标 “解而不设”。解：（1）设动圆圆心 ，定点 ，由动点M到定点F和定直线l距离相等，且定点