圆中有关的角.doc

年 级初三学 科数学编稿老师田一鹏课程标题圆中有关的角一校张琦锋二校林卉审核孙永涛一、考点突破 1. 掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角的定义及其度量。 2. 掌握圆内接四边形的性质定理。3. 了解弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能运用这些关系解决有关问题。二、重难点提示重点：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系。难点：圆周角定理的应用和分类讨论的思想在解题中的应用。一、圆中有关的角1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。把整个圆周等分成360份，每一等份弧是1的弧，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们相对应的其余各组量都相等。2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之也成立。直径所对的圆周角是直角。3. 圆内角：顶点在圆内（两边自然和圆相交）的角叫圆内角。圆内角的度数等于它所对的弧的度数与它的对顶角所对的弧的度数的和的一半。4. 圆外角：顶点在圆外，并且两边都和圆相交（或相切）的角叫圆外角。 圆外角的度数等于它所夹的两弧度数的差（较大弧的度数减去较小弧的度数）的一半。5. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。推论弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。二、圆的内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。（对圆内接四边形的性质的考查，在竞赛题目中出现较多。等后面我们学习了直线和圆的相关知识后，还要学到圆的外切四边形及其性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等）。三、圆中有关的角的应用根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来。在运用圆中角时，要关注弧的中介作用，即弧把圆心角、圆周角联系起来。能力提升类例1 已知：如图，锐角ABC内接于O，ABC60，BAC36，作OEAB交劣弧于点E，连结EC。求OEC的度数。一点通：在圆中求角的大小，经常需要用到与圆有关的角的定理。解：OEAB，E为劣弧的中点BCEACEACB又ABC60，BAC36，BCA180603684。BCE42。由OECEHFBECB，知OEC906042，OEC12评析：（1）在三角形中求角的大小经常需要考虑用三角形的内角和定理及其推论。（2）在圆中求角的到大小经常需要用与圆有关的角的定理。例2 如图，O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想与之间的关系，并证明你的猜想一点通：连结OC，OD，设COP，则OPD2，AOD33BOC解：连结OC、OD，设COP，OP=PC，COPOCPOPDCOPOCP2OC=OD，OCPODC。AODOPDODC33。综合运用类例3 已知：如图，ABC内接于O，AM平分BAC交O于点M，ADBC于D求证：MAO=MAD一点通：延长AO交O于N，连结BN，证BANDAC即可解：延长AO交O于N，连结BN，ANB和ACB所对的弧都是，ANBACB。即ANBACD。AN为直径，ABN90。ANBBAN90，ACDDAC90，BANDAC。AM平分BAC交O于点M，BAMCAM。BAMBANCAMDAC。MANMAD，即MAOMAD评析：去掉圆后，这是一道典型的三角形题，在三角形中曾多次见到，你还记得有哪些结论吗？例4 已知：如图，AB是O的直径，CD为弦，且ABCD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交O于M求证：AMD=FMC一点通：连结MB，证DMBCMB解：证法一：连结MB，AB是O的直径，AMBFMB90。AB是O的直径，CD为弦，且ABCD于E，。DMBCMB。AMBDMBFMBCMB。AMD=FMC证法二：连结MB，ADADCM是圆内接四边形，FMCFDA。AB是O的直径，AMB90。AMD90DMB。ABCD于E，FDA90DABDMB和DAB所对的弧都是，DMBDAB。90DMB90DAB。AMD=FMC思维拓展类例5 已知：如图，在定圆O内有两条互相垂直的弦AC、BD。求证：AB2BC2CD2DA2定值。一点通：可设O的半径为R，特殊地，AC、BD为两条互相垂直的直径时，显然有ABBCCDDAR，所以只需证明它们的平方和为定值8R2即可。证明：作直径DE，连结BE、EC，并设O的半径为R。DE是直径，DBE90BEDB。ACBD，ACBE。ABCE。DC2CE2DE2，DC2AB2（2R）2。同理AD2BC2（2R）2。AB2BC2CD2DA22（2R）28R2定值。评析：在处理探索性问题时，除了常用特殊位置来探求结果外，还经常考虑一些极端情形，以求获得探求结果。 例6 已知如图所示，AD是半圆的直径，AB=BC=1cm，AD=4cm，求CD的长。解：连结AC、OB，OB交AC于点P，AB=BC，AP=CP，BPAC。设BP为xcm，则OP=OBBP=2在RtABP中，AB2BP2=AP2，在RtAPO中，AO2OP2=AP2，AB2BP2=AO2OP2，1=4（2）2，解得：，即，。AD是直径，ACD=90在RtACD中，由勾股定理，得，故CD长为评析：构造直径所对的圆周角，产生直角三角形，利用勾股定理（或后面学到的三角函数）等知识解题。对于含平分弧的题目，经常连接分点和圆心，利用垂径定理或它的推论解题。 1. 由弧找角、由角找弧是证明相等或角相等的常用思想方法。 2. 应注意分类讨论的思想方法的运用，如求弦所对的圆周角度数问题，求圆内两条平行线之间的距离问题及同弧所对的圆周角与圆心角之间关系的得出等，都需要进行分类讨论。 3. “见直径，构造圆周角，必为直角”，这是圆中一种常见的作辅助线的方法。问题1 如图所示，在O中，弦ABCD，OMAB，ONCD，M，N为垂足，那么OM，ON的关系是（ ） A. OMON B. OM=ON C. OMON D. 无法确定答案：C评析：本题易错之处在于没有正确理解圆心角与弦之间的关系，在同圆或等圆中，弦越长，它所对的圆心角就越大。我们连接OA，OC，根据勾股定理，得，。因为OA=OC，AM=MB=AB，CN=DN=CD（垂直于弦的直径平分弦），且ABCD，即AMCN，所以，所以OMON。问题2 圆的弦长等于半径，那么这条弦所对的弧所对的圆周角大小为 。答案：30或150评析：本题易错在忽略了这条弦把圆分成的两条弧中的优弧所对的圆周角，因为AB=OA=OB，所以AOB是等边三角形，所以AOB=60，劣弧所对的圆周角为60=30，而优弧所对的圆周角为（36060）=150。（答题时间：60分钟）一、选择题 1. 下列说法错误的是（ ）A. 垂直于弦的直线平分弦，平分弦所对的两条弧B. 经过圆心的直线是圆的对称轴C. 弦的垂直平分线平分弦所对的两条弧D. 过圆心，平分一条弧的直线平分弧所对的弦 2. 一条直线经过圆心且平分弦所对的劣弧，那么这条直线（ ）平分弦平分弦所对的优弧垂直于弦是圆的对称轴A. B. C. D. 3. 圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和5，则两条平行弦间的距离为（ ）A. 2B. 3C. 7D. 7或3二、填空题 1. 已知：如图，AB、CD是O的两条弦，OEAB于E，OFCD于F。 （1）如果ABCD，那么_； （2）如果，那么_； （3）如果AOBCOD，那么_；（4）如果OEOF，那么_。 2. 如图，在O中，如果，那么AB_2AC。（填“”、“”或“”）3. 一条弦把圆中的一条直径分为2cm，6cm两部分，若弦与直径的夹角为45，则圆心到该弦的距离为_。4. 圆内一条弦与直径相交成30角，且分直径为1cm，5cm两部分，则该弦的弦心距为_。 5. 在半径为1的圆中，长度为的弦所对的圆心角是_度。三、解答题1. 已知：如图，AB为O的直径，C，D为O上的两点，且C为的中点，若BAD=20，求ACO的度数2. 如图，O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在上滑动（点C与A，点D与B不重合），CFCD交AB于F，DECD交AB于E（1）求证：AE=BF；（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求出这个定值；若不是，请说明理由3. 已知：如图，ABC内接于圆O，ADBC于D，弦BHAC于E，交AD于F求证：FE=EH4. 已知：如图，O的直径AE=10cm，B=EAC求AC的长一、选择题1. A2. D3. D二、填空题 1.（1） AOBCOD OEOF （2）ABCD AOBCOD OEOF （3）ABCD OEOF （4）ABCD AOBCOD 2. “”3 4 15. 90三、解答题1. 55 解：连结OD， DAB=20， DOB=40， AOD=140， 又C是的中点， AOC=70 又AO=OC OCA=（180AOC）=55。2. 解