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线性代数常考知识点总复习第一章行列式一 二阶行列式 二 三阶行列式三 n阶行列式 1余子式： 去掉这个元素所在的行，去掉所在的列，其它元素构成的行列式 2代数余子式：。（考试的时候千万不要拉了前面的(-1)i+j）。3行列式按行（列）展开：行列式的值等于行列式的任意一行（列）与其对应元素代数余子式乘积之和。例如四 行列式性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同 例如 性质2： 行列式某行（列）有公因子可将其提出例如： （第一行有公因子2，可将其提出）性质3：行列式某行（列）的k倍加到另一行（列）上行列式的值不变。 例如： （将第一行的-2倍加到第二行上行列式的值不变）性质4：互换行列式的任意两行（列）行列式改变符号。例如： （第一行与第二行交换，行列式前面加一个负号）性质5：行列式有两行相同，行列式的值=0 例如： （行列式第一行与第二行相同，值=0）性质6：行列式对应元素成比例，行列式的值=0例如： （第一行与第二行对应元素成比例，行列式的值等于0）性质7： 行列式可按行（列）拆开例如： 定理：行列式一行与另外一行对应元素的代数余子式成绩之和为0 对于：根据该定理可得，行列式的第一行元素与第二行的对应元素的代数余子式乘积之和应该等于0，即：五 行列式的计算：（考试必考，一定要会） 1 化为上三角（利用行列式某行的k倍加到另一行上，行列式的值不变的性质，将其化为阶梯型矩阵。）。三角行列式的值等于主对角线元素的乘积。 例如 2 按行（列）展开 例如 六 范德蒙行列式 七 克拉默法则 对于n个未知数n个方程的方程组，它们的系数矩阵可以组成方阵行列式如果 对于齐次线性方程组 只有0解对于非其次线性方程组 只有唯一解第二章 矩阵一 数乘kA 例如: 二 乘法例如三 转置AT（将A的第一行变成第一列，第二行变成第二列 -第n行变成第n列，所得到的矩阵）。 例如：，则A的转置 性质：1 性质：2 性质：3 性质：4 对称矩阵A=AT 反对称矩阵A=-AT四 方阵行列式（考试必考），n为方阵A的阶数|AB|=|A|B|AT|=|A|五 逆矩阵 1 伴随矩阵 A*(A的第一行元素的代数余子式写成第一列，第二行的代数余子式写成第二列。第n行的代数余子式写成第n列，组成的矩阵为A*。 （1） 则 （2） 2逆矩阵 AB=BA=E （A乘以谁等于E则谁就是A的逆矩阵）（1） （2） （3）（记住，考试直接用）（4）A为分块矩阵且为准对角矩阵，即，则，六 初等方阵（单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵）一共有三种初等方阵（1）交换两行（列）得到的初等方阵（将第一行与第二行交换即可得到，或者交换第一列与第二列），即交换两行或者两列得到的初等方阵的逆矩阵就等于它本身。（2）将某行（列）乘上一个非零常数得到的矩阵（将第二行乘以3，或者第二列乘以3），即将某行乘以k得到的初等方阵的逆矩阵相当于把原来的k变成了1/k得到的矩阵。（3）将某行（列）的k倍加到另一行（列）上得到的初等方阵（将第一行的3倍加到第三行，或将第三列的3倍加到第一列），它的逆矩阵等于本身中的3变为-3得到的矩阵。七 求逆矩阵 (将A与E组成一个新的矩阵，利用初等行变换使A变成E（单位矩阵），则E变为A的逆矩阵) ，用公式表示则为： 只能进行行变换八 解矩阵方程 1 解法（共有两种方法）：（）两边同时左乘以，则只能进行行变换（）将与组成新的矩阵（，），利用行变换（只能进行行变换）将变成则变为即： 2 解法（共有两种方法）：（）两边同时右乘以，则 （）将与组成新的矩阵（，），将（，）利用行变换将变成则变为T，X=(T)T 即：，X=(T)T九 矩阵的秩：非零子式的最高阶数求法：1将其化为阶梯型矩阵2求非零行的行数。第三章 向量一 线性相关性判断 1线性相关：至少有一个向量可以用其它向量表示例如：，所以它们线性相关。2线性无关：任何一个向量都不能用其他向量表示。（谁也不能表示谁）例如：谁也不能表示谁，所以它们线性无关。3 即：如果该方程组有非零解则线性相关如果该方程组只有零解则线性无关 （a）对于单个向量 线性相关 线性无关 只要含有零向量的向量组肯定线性相关。 （b）对于两个非零向量。 如果相关，则它们的对应元素成比例。 （c）当向量的个数大于向量的维数必线性相关。二 相关定理：1 线性无关，增加后线性相关则可以推出可以用，且表示方法唯一。2 线性相关，则也线性相关。3 ， 它们线性无关则可以推出，也线性无关与线性相关则与也线性相关三 向量组的秩：向量组中线性无关的个数。 等价向量组有相同的秩（1）向量个数大于向量维数必线性相关例如：。向量个数为3个，向量的维数为2维，所以它们必定线性相关。（2）向量个数=向量维数，它们可构成行列式。 线性相关 线性无关一般情况下：（a）向量个数大于向量组的秩必相关 （b）向量个数等于向量组的秩必无关四 求向量组的极大线性无关组与秩并用其表示其它向量。（已知，求它们的极大线性无关组与秩，并用找出的极大线性无关组表示其它向量） 解：（1）将向量组按列排成矩阵A（2）将A其化为阶梯型矩阵（非零行的行数即为向量组的秩）B（3）将B其化为行最简C（每行的第一个非零元的上面下面全部都是0，且本身是1）（4）找C的极大无关组并表示其它向量。五 维数：自由未知量的个数第四章 线性方程组二 齐次线性方程组 AX=0（A为系数矩阵）1解得情况： 有非零解：nr A的列数（未知数个数） A的秩（或者A的列向量线性相关） 只有零解：n=r A的列数（未知数个数）=A的秩（或者A的列向量线性无关）特别情况有n个未知数n个方程的齐次线性方程组（这时系数矩阵A是一个方阵） 齐次线性方程组有非零解 齐次线性方程组只有零解2基础解系 1 线性无关（谁也不能表示谁） 2 解向量的个数：(A的列数（未知数个数）-A的秩)（必须记住） 3 均为AX=0的解3齐次线性方程组的解法 （1）写出系数矩阵A （2）将A化为行最简（每行的第一个非零元的上面下面全部都是0，且本身是1）（3）写同解方程组（4）选定自由未知量（解出同解方程组中每一个方程的第一个未知数，等号后面的取为自由未知量并设为k，有几个未知量设几个k）（5）写通解三 非齐次线性方程组AX=b（A为系数矩阵） 1解的情况 ：（必会）（1）有解的条件：r(A,b)=r(A) 有唯一解： r(A,b)=r(A)= n A的列数（或者未知数个数）有无穷多解：r(A,b)=r(A)n A的列数（未知数个数）（2）无解：r(A,b)r(A)（3）解的表示：（4）特别情况：n个未知数n个方程（系数矩阵是方阵，可以组成方阵行列式） 非齐次线性方程组有唯一解r(A,b)=r(A)且 非齐次线性方程组有无穷多解2非齐次线性方程组的解法（必会） （1）写出增广矩阵 （2）将其化为阶梯型矩阵（3）判断解的情况r(A,b)=r(A)（4）在有解时化为行最简（每行的第一个非零元的上面下面全部都是0，且本身是1）（5）写出同解方程组（6）选定自由未知量（解出同解方程组中每一个方程的第一个未知数，等号后面的取为自由未知量并设为k，有几个未知量设几个k）（7）写出通解第四章 特征值与特征向量一 求解特征值与特征向量(AP=P)1写出特征方程并化简求得特征值 求解特征值的方法（如何化简特征多项式） (1)若某行（列）0比较多可按其展开 (2)若每行（列）之和相同可将后几列加到第一列上并提取公因子(3)将某行（列）的k倍加到另一行（列）上使其能够提取公因子2将特征值带入齐次线性方程组求齐次线性方程组通解（通解里面的k不全为0），通解即为A的全部特征向量二（1）n个特征值之和=A的主对角元素的和 即 n个特征值之积=即 （2）求关于A的多项式的特征值 原则：把所有的A换成，把所有的E换成1。即 例如：三阶方阵A的特征值为 1, 3, 4。 则可以求出E+2A2的特征值为1+2（把A换成，把E换成1）。 即 （3）n阶方阵A与它的转置AT有相同的特征值。三 对于方阵A与方阵B，如果存在可逆矩阵P使得 则称A与B相似。四 如果A 与B相似则可以推出： （1）A 与B有相同的特征值（A的特征值是多少那么B的特征值也是多少） （2）矩阵A与矩阵B的主对角元素的和相同。即： 例如：如果与相似，则可以推出1+a+4=3+b+6 （3）A的行列式的值=B的行列式的值，。五 方阵A的秩=特征值中非0元的个数。例如：三阶方阵A的三个特征值为 0， 1 ，2 则它的秩为2（非零元的个数为2个）六 求可逆矩阵P使一个方阵A相似于对角矩阵，即求可逆矩阵P，使 解：（1）写出特征方程并化简求得n个特征值 （2）将特征值带入齐次线性方程组求基础解系 将（）化为行最简 写出同解方程组 选定自由未知量 写通解 写基础解系 （3）可逆矩阵 对角矩阵(4) 8 （1）内积 已知 则内积为 （2）正交 如果它们的内积等于0，即 则称它们正交。（3）长度 向量的长度为 （4）单位化如果，则它的单位化向量为10正交矩阵 AAT=E （1）判定方法：A的任意两列（行）都是正交的并且它们的长度都是1 （2）为A的特征值，则可以推出为A-1的特征值 （3） （4）A-1=AT(5) 均为正交矩阵，且6）A 与B均为正交矩阵，可以推出AB也为正交矩阵11 用正交变换将对称矩阵化为对角矩阵（求正交矩阵P，使） (1)写出特征方程并化简求得特征值 (2)将特征值代入齐次线性方程组求它的基础解系 (3)将相同特征值的特征向量正交化（对于对称矩阵，属于不同特征值的特征向量本身就是正交的，所以不需要正交化） (4)单位化 (5)正交矩阵 对角矩阵第五章 二次型一 写出二次型矩阵A（必会） 先写平方项，平方项的系数就是矩阵A对角元上的元素，交叉项的系数是矩阵A对应元素的2倍。 例如： 它的二次型矩阵为，2a13=1，a13=1/2 2a23=2, a23=1.二 标准型：只含有平方项不含交叉项的二次型。具体形式为三 将二次型化为标准型的方法（已知二次型，求一正交变换x=Py，将其化为标准型，）（1）写出二次型矩阵A(2) 写出特征方程并化简求得n个特征值 (3) 将特征值代入齐次线性方程组求它的基础解系 (4) 将相同特征值的特征向量正交化 (5)将单位化 (6)正交矩阵 做正交变换x=Py，可得四 用配方法求标准型 （1）没有平方项 令 产生平方项 （2）有平方项：凑完全平方，消掉交叉项。五 合同 如果存在可逆矩阵C 使得，称A B 合同。如果方阵A与方阵B合同则A的特征值有几个正的，B的特征值也有几个正的，A的特征值有几个负的，B的特征值也有几个负的。A B合同则必等价。五 规范型：只含有平方项且平方项的系数为1或者-1的二次型。 惯性定理：任何一个二次型都可以经过可逆线性变换x=Py转化为一个规范型 在转换成的规范型中：平方项的个数一