第六章 电磁感应与暂态过程习题及答案.doc

第六章第六章 电磁感应与暂态过程电磁感应与暂态过程 一 判断题一 判断题 1 若感应电流的方向与楞次定律所确定的方向相反 将违反能量守恒定律 2 楞次定律实质上是能量守恒定律的反映 3 涡电流的电流线与感应电场的电场线重合 4 设想在无限大区域内存在均匀的磁场 想象在这磁场中作一闭合路径 使路径的平面与 磁场垂直 当磁场随时间变化时 由于通过这闭合路径所围面积的磁感通量发生变化 则 此闭合路径存在感生电动势 5 如果电子感应加速器的激励电流是正弦交流电 只能在第一个四分之一周期才能加速电 子 6 自感系数I L 说明通过线圈的电流强度越小 自感系数越大 7 自感磁能和互感磁能可以有负值 8 存在位移电流 必存在位移电流的磁场 9 对一定的点 电磁波中的电能密度和磁能密度总相等 10 在电子感应加速器中 轨道平面上的磁场的平均磁感强度必须是轨道上的磁感强度的 两倍 11 一根长直导线载有电流 I I 均匀分布在它的横截面上 导线内部单位长度的磁场能量 为 16 2 0I 12 在真空中 只有当电荷作加速运动时 它才可能发射电磁波 13 振动偶极子辐射的电磁波 具有一定方向性 在沿振动偶极子轴线方向辐射最强 而 与偶极子轴线垂直的方向没有辐射 14 一个正在充电的圆形平板电容器 若不计边缘效应 电磁场输入的功率是 C q dt d AdSP 2 2 式中 C 是电容 q 是极板上的电量 dA 是柱例面上取的面元 二 选择题二 选择题 1 一导体棒 AB 在均匀磁场中绕中点 O 作切割磁感线的转动 AB 两点间的电势差为 A 0 B 1 2OA B C 1 2AB B D OA B A 2 如图所示 a 和 b 是两块金属板 用绝缘物隔开 仅有一点 C 是导通的 金属板两端接 在一电流计上 整个回路处于均匀磁场中 磁场垂直板面 现设想用某种方法让 C 点绝缘 而同时让 C 点导通 在此过程中 A 电路周围的面积有变化 B 电路周围的面积的磁通量有变化 C 电路中有感生电流出现 D 电路中无感生电流出现 D 3 在一长直螺线管中 放置 ab cd 两段导体 一段在直 径上 另一段在弦上 如图所示 若螺线管中的电流从 零开始 缓慢增加 则 a b c d 各点电势有如下关系 A a 点和 b 点等电势 c 点电势高于 d 点电势 B a 点和 b 点等电势 c 点电势低于 d 点电势 C a 点电势高于 b 点电势 c 点和 d 点等电势 D a 点电势低于 b 点电势 c 点和 d 点等电势 A 4 如图所示 在一圆筒上密绕两个相同的线圈 a b 和 a b a b 用细线表示 a b 用 粗线表示 如何连接这两个线圈 才能使这两个线圈组成的系统自感系数为零 A 联接 a b B 联接 a b C 联接 b b D 联接 a b C C 5 一体积为 V 的长螺线管的自感系数为 L Vn2 0 则半个螺线管的自感系数是 A Vn2 0 B Vn2 0 2 1 C Vn2 0 4 1 D 0 C C 6 如图所示 导体 ABC 以速度 V 在匀强磁场中作切割磁力线运动 如果 AB BC L 杆中的 动生电动势大小为 A BLV B BLV 1 cos C BLV cos D BLV sin B B 7 一细导线弯成直径为 d 的半圆形状 位于水平面内 如图 均匀磁场B 竖直向上通过 导线所在平面 当导线绕过 A 点的竖直轴以匀速度 逆时针方向旋转时 导体 AC 之间的 电动势 AC 为 A Bd 2 B 2 2d C 1 2 Bd 2 D 1 2 2 d B C C 8 一根无限长直导线中通以电流 I 其旁的 U 形导体上有根可滑动的导线 ab 如图所示 设三者在同一平面内 今使 ab 向右以等速度 V 运动 线框中的感应电动势 A 2ln 2 0 vI 方向由 a 到 b a b c d a b c d a b a b a b a b BA C v BA C v B C A B C A I 0 2L 0 L b a v I 0 2L 0 L b a v a c c b a c c b a b B n e x u a b B n e x u B 2ln 2 0 vI 方向由 b b 到 a C 3ln 2 0 vI 方向由 a 到 b D 3ln 2 0 vI 方向由 b 到 a D D 9 一个分布在圆柱形体积内的均匀磁场 磁感应强度为 B 方向沿圆柱的轴线 圆柱的半 径为 R B 的量值以 dt dB 的恒定速率减小 在磁场中放置一等腰形金属框 ABCD 如图 所示 已知 AB R CD R 2 线框中总电动势为 A KR 2 16 33 顺时针方向 B KR 2 16 33 逆时针方向 C KR 2 4 3 顺时针方向 D KR 2 4 3 逆时针方向 A A 10 均匀磁场与导体回路法线 n e 的夹角为3 磁感应强度 B 随时间按正比的规律增加 即 B Kt K O ab 边长为 L 且以速度 u 向右滑动 t 0 时 X 0 导体回路内任意时刻 感应电动势的大小和方向为 A 2LKut 逆时针方向 B 1 2Lut 顺时针方向 C LKut 顺时针方向 D Lkut 逆时针方向 C C 11 在电子感应加速器中 如果在任意半径处场 B K r 则轨道平 面上的平均磁感应强度与轨道上的磁感应强度之比是 A 1 1 B 1 2 C 2 3 D 2 1 D D 12 已知两共轴细长螺线管 外管线圈半径为1 r 内管线圈半径为2 r 匝数分别为21 NN 它们的互感系数是 A 21 2 1 LL r r M B 21 1 2 LL r r M C 21L LM D 21L LM R A B CD O 60 R A B CD O 60 B B 13 两线圈顺接后总自感为 1 00H 在它们的形状和位置都不变的情况下 反接后的总自 感为 0 40H 则它们之间的互感系数为 A 0 63H B 0 35H C 0 15H D 1 4H C C 14 有两个完全相同的线圈 其自感系数为 L 互感系数为 M 顺接并联后其等效自感系 数为 A 2 L M B 2 L M C 2 ML D 2 ML D D 15 已知两个共轴的螺线管 A 和 B 完全耦合 若 A 的自感为1 L 载有电流1 I B 的自感为 2 L 载有电流2 I 则此两个线圈内储存的总磁能 A 2 1 2 22 2 11 ILIL B 2121 IILL C 2121 2 22 2 11 2 2 1 IILLILIL D 2121 2 22 2 11 2 2 1 IILLILIL D D 16 在 t 0 时 沿 Z 轴加速一个原先静止在坐标系原点的点电荷 则辐射电场在 Y 轴方 向 Z 轴方向和在与 Z 轴成 0 30角的方向上 辐射强度之比是 A 1 1 1 B 0 2 1 C 2 0 1 D 2 1 0 C C 17 设电磁波中的坡印廷矢量的大小 2 100mWS 则电磁场能量密度为 A 3 100mJ B 3 10mJ C 37 103 3mJ D 33 103 3mJ C C 18 在与磁感应强度为 B 的均匀恒定磁场垂直的平面内 有一长为 L 的直导线 ab 导线绕 a 点以匀角速度 转动 转轴与 B 平行 则 ab 上的动生电动势为 A 2 2 1 BL B 2 BL C 2 4 1 BL D 0 A A 三 填空题三 填空题 1 通过回路所圈围的面积的磁通量发生变化时 回路中就产生感应电动势 引起磁通量 变化的物理量是 磁感应强度磁感应强度B 圈围的面积 圈围的面积S 及二者夹角及二者夹角 2 设想存在一个区域很大的均匀磁场 一金属板以恒定的速度 V 在磁场中运动 板面与 a b B a b B 磁场垂直 1 金属板中 感应电流 磁场对金属板的运动 阻尼作用 2 金属板中 电动势 3 若用一导线连接金属两端 导线中 电流 括号 内填 无 或 有 无无 有有 有有 有有 3 有一金属环 由两个半圆组成 电阻分别为21 RR 和 一均匀磁场垂直于圆环所在的平 面 当磁场强度增加时 如果 BA RR 21 如果 BA RR 21 如果 21 RR BA 括号内填 或 4 某一时刻回路 1 的磁场对回路 2 的磁感通量正比于同一时刻回路 1 中的电流即 12121 IM 这个结论成立的条件是 1 I 应为似稳电流应为似稳电流 5 设一均匀磁场的磁感强度为 B 方向与 N 匝线圈回路所圈围的面积垂直 各回路圈围的 面积均匀正方形 边长为 1 n N a n 0 1 2 3 N 1 则磁场对 N 匝线圈回路 的磁通匝链数为 当 B 随时间而变时 导线中的感应电动势是 N N NBa 6 17 12 2 dt dB N N Na 6 17 12 2 6 有两个相距不太远的线圈 使互感系数为零的条件是 二个线圈的轴线彼此垂直 其中心在一条直线上二个线圈的轴线彼此垂直 其中心在一条直线上 7 对于似稳电流 通过无分支的电路的各个截面的电流相等 这个结论成立的条件是 t Tt T 8 如图所示 一平面线圈由两个用导线折成 的正方形线圈联接而成 一均匀磁场垂直于 线圈平面 其磁感应强度按 tBB sin 0 的 规律变化 则线圈中感应电动势的最大值是 22 0 baB m 9 只有一根辐条的轮子在磁感应强度为B 的均匀外磁场中转动 轮轴与B 平行 B 正好充满转轮的区域 如图所示 轮子和辐 条都是导体 辐条长为 R 轮子每秒转 N 圈 两根导线 a 和 b 通过 各自的刷子分别与轮轴和轮边接触 1 a b 间的感应电动势 a b ba a b ba a b B R a b B R A B 1 R 2 R bb a bb a 2 在 a b 间一个电阻 若使辐条中的电流为 I 这时磁场作用在辐条上的力矩的大小为 2 BRN eBIR 2 1 2 10 一金属细棒 OA 长为 L 与竖直轴 OZ 的夹角为 放在磁感 应强度为 B 的均匀磁场中 磁场方向如图所示 细棒以角速度 绕 OZ 轴转动 与 OZ 轴的夹角不变 O A 两端间的电势差 22 sin 2 1 BL 11 如图所示 AB CD 为两均匀金属棒 各是 1m 放在均匀稳 恒磁场中 磁感应强度 B 2T 方向垂直纸面向外 两棒电阻为 4 CDAB RR 当两棒在导轨上分别以 smvsmv 2 4 21 向左作匀速运动时 忽略导轨的电阻 且不计导轨与棒之间的 摩擦 则两棒中点21 OO 之间的电位差为 0 OO V 12 如图所示 边长为 L 的正方形回路 置于分布在虚线圆内的 均匀磁场中 B 的方向垂直于导体回路 且以 K dt dB 的变化率 减小 图中 b 为圆心 ac 沿直径 1 ce 段的电动势 2 回路中的感生电动势 K l 4 2 Kl 2 13 电子在电子感应加速器中沿半径为 0 4m 的轨道作圆周运动 如果每转一周它的动 能增加 160eV 1 轨道内磁感应强度 B 的平均变化率 2 欲使电子获得 16MeV 的能量需转 周 共走 路程 3 18 sT 10 2 5 10 251km 14 半径为11 NR 总匝数为 的圆形线圈 A 与半径为22 NR 匝数为 的线圈 C 相距为 d c 的中心在 A 的轴线上 如图所示 两线圈的轴线交角为1 R 设 2 R 则两者的互 感系数为 cos 2 2 3 2 2 1 2 221 2 10 dR RNNR 15 如图所示 一矩形线圈 放在一很长的直导线旁边与之共面 线 圈与长直导线之间的互感系数是 2ln 2 0 a 16 一线圈的自感 L 5 0H 电阻 R 20 把 U 100V 的不变电压加到 它的两端 当电流达到最大值R U I 0 时 线圈所储存的磁能是 1 v 2 v A BD C 1 o 2 o 1 v 2 v A BD C 1 o 2 o a b c a b c A C A C o A B z 62 5J62 5J 17 一个同轴圆柱形电容器 半径为 a 和 b 长度为 L 假定两板间的电压 tUu m sin 且电场随半径的变化与静电的情况相同 则通过半径为 r a r b 的 任一圆柱面的总位移电流是 t a b LUm cos ln 2 18 一带电量为 q 的粒子 以 f 的频率作圆周运动 半径为 R 则运动一周的过程中 辐射的总能量为 3 0 2323 3 8 c Rfq 19 一矩形闭合导线回路放在均匀磁场中 磁场方向与回路平 面垂直 如图所示 回路的一条边 ab 可以在另外的两条边上滑 动 在滑动过程中 保持良好的电接触 若可动边的长度为 L 滑动速度为 V 则回路中的感应电动势大小 方向 BLVBLV ab 20 一个长为 L 单位匝数为 n 体积为 V 的长螺线管的自感系数 Vn2 0 四 问答题四 问答题 1 把一条形永久磁铁从闭合螺线管中的左端插入 由右端抽出 试用图表示在此过程中感 应电流的方向 答 由楞次定律判别感应电流方向 当磁场 N 极左端插入时 感应电流方向如图 1 所 示 当磁铁 S 极左端插入时 感应电流方向如图 2 所示 当磁铁 N 极从右端抽出时 感应电流方向如图 3 所示 当磁铁 S 极从右端抽出时 感应电流方向如图 4 所示 1 2 3 4 2 如果要使悬挂在均匀磁场中并在平衡位置左右来回转动的线圈很快停止振动 可将此线 圈的两端与一开关相连 只要按下开关 称为阻尼开关 使线圈闭合就能达到此目的 试 解释之 答 用开关使线圈闭合后 由于线圈左右来回转动 穿过它的磁通量在不断变化 在线圈 中产生感生电流 反过来载流闭合线圈在磁场又要受到力矩作用阻碍线圈转动 所以线圈 很快停止振动 3 将电路中的闸刀闭合时不见跳火 而当扳断电路时 常有火花发生 为什么 答 通路时 回路电流为 t L R e R i1 R 为通路时的总电阻 接口处电压 a b v a b v t L R t L R ee L R R L dt di LU1 由于当 t 0 通路瞬间 U 由于电压较低 不发生火花 断路时 原电路与开关处的气隙组成回路 回路电流为 t L R e R i 0 0 R 为原回路的 电阻 R 为考虑气隙电阻后的总电阻 接口处的电压 t L R e R R dt di LiRU 0 当 t 0 时 U RR 0 0 所以因为 R R U 可以击穿空气产生火花放电 4 一无限长螺线管的导线中通有变化的电流 螺线管附近有 一段导线 ab 两端未闭合 如图 问 ab 两端是否有电压 若 用一交流电压表按图中的实线联接 ab 两点 电压表的读数为 何 若按图中的虚线联接 a b 两点 电压表的读数又为何 怎样解释这一现象 答 1 变化的电流在螺线管内部产生均匀变化磁场 在螺线管外部不产生磁场 变化磁场 产生感生电场 在感生电场力的作用力 导线 ab 两边将有电荷积累 故 ab 两端有电压 2 用实线联接 ab 两点后 电压表的读数为零 因为穿过它们组成的回路磁通量为零 在回路中不产生电动势 3 用虚线联接 ab 两点后 有变化的磁通量穿过它们组成的回路 产生感生电动势 即 2 R dt dB dS dt dB dt d 故电压表的读数 2 R dt dB U 5 在 LC 电路中 当电容器放电完毕时 这电路中的振荡为什么还不停止 答 当电容器放电完毕时极板上的电量 q 0 但 q 的变化率dt dq i 不等零 并达到最大值 电容器贮存的全部电能转变为电感器中的磁能 由于线圈电流不能突变 它将继续从电容 左板经线圈流入电容右板 对电容反充电 随着电场的重新建立 能量又从线圈向电容器 流回 最后全部磁能又转变成电能 接着电容又开始放电 不过方向相反 因此电路中的 振荡将继续进行下去 五 证明五 证明 1 有一根横截面为正方形 长为 L 质量为 m 电阻为 R 沿着两条平行的 电阻可忽略 的长导电轨道无磨擦地滑下 这两根平行轨道的底端由另一根与这导线平行的无电阻的轨 道连接因而形成一个矩形的闭合导电回路 见图 1 1 该闭合回路所在的平面与水平面成 角 而且在整个区域中存在着磁感强度为 B 的沿竖直方向的均匀磁场 1 求证 这根导线下滑时所达到的稳定速度的大小为 222 cos sin LB mgR v 2 试证这个结果与能量守恒定律是一致的 图 1 1 图 1 2 a b a b B F mg v B F mg v 证明 1 导线在重力作用下沿框架下滑将切割磁力线 在导线中产生感应电动势 其大 小由图 1 2 可知 cos 2 sinvBllvB l d Bv 在回路中有感应电流i 即 R vBl i cos 此载流导线在磁场中又受到磁场力F 即 F ilB 该力的方向为水平 见如图 1 2 所示 导线下滑时速度达到稳定时有 cossinilBmg R lvB mg 222 cos sin 所以 222 cos sin lB mgR v 2 根据能量守恒定律 当金属棒达到稳定速度时 回路中感应电流所产生的焦耳热 热 功率 等于重力所做的功 功率 即 sin cos sin 2 2 mgvR R vBl vmgRi 所以 222 cos sin lB mgR v 2 设图中的回路电阻为 R 处于非均匀磁场中 若回路的自感可以忽略 试证明 使回路 在磁场中以恒定的速度运动过程中 外力在时间间隔 dt 内做的功与在该时间内电阻所消耗 的能量相等 证明 假设t时刻切割磁感线的两个边所在处的磁感应强度分别为1 B 2 B 其中21 BB 如图所示 回路在磁场中运动时 产生感应电动势为 2121 BBvllvBlvB 则回路中的电流为 R BBvl I 21 回路所受磁力为 R BBvl BBIlF 2 21 2 21 当回路以恒定速度运动时 外力与磁力大小相等 方向相反 即 R BBvl FF 2 21 2 再设dt时间内 回路发生的位移x 则外力所做的功为 x R BBvl FxA 21 2 在dt时间内回路中电阻所消耗的焦耳热为 1 B 2 B dt dt x R BBvl dtR R BBlv RdtiQ 2 21 2 2 2 21 22 2 x R BBvl 2 21 2 由 式与 式相比较知 QA 3 在长为l 半径为 b 匝数为 N 的细长螺线管轴线的中部放置一个半径为 a 的导体圆环 并使环平面法线与轴线夹角固定成 45角 如图 已知环的电阻 r 螺线管的电阻为 R 电 源的电动势为 内阻为零 当开关 K 合上后 试证圆环受到的最大力矩为 2 2 0 4 8 rRlb a 忽略圆环的自感和圆环对螺线管的互感电动势 螺线管内外为真空 证明 当开关闭合上后 螺线管和电源组成 LR 电路 螺线管中电流为 t L R e R i1 其中 L 为螺线管的自感系数 螺线管内的场强为 i l N B 0 通过圆环的磁通量为 45coscosBSBSSB 由 式得 t L R t L R e lR Na ae Rl N 1 2 2 2 2 1 2 02 0 导体环中的电动势为 t L R e lL Na dt d 2 0 2 2 导体圆环中的感应电流为 t L R e lLr Na r i 2 0 2 2 环 圆环所受力矩为 45sin45sinmBmB 其中 环 iam 2 为圆环磁矩 所以 2 2 1 2 2 2 2 0 2 022 t L R t L R e Rl N e lLr Na aBia 环 t L R t L R ee LrRl Na 2 2 22422 0 2 由 0 2 1 2 2 2 22422 0 L R t L R e L R e L R LrRl qNa dt d 得 2 1 t L R e l a2 b K 45 l a2 b K 45 将2 1 t L R e 代入 对t的二阶导数中得 0 2 2 dt d 因此 有最大值 LrRl Na LrRl Na 2 22422 0 2 2 22422 0 max 82 1 2 1 2 因为螺线管自感系数为 2 222 2 0 00 2 N bNN LVl b lll 所以 2 24 0 max 8lrRb a 4 在电子感应加速器中 电子被磁场控制在一个环形真空的圆周轨道上运动 同时受到变 化磁场产生的感应电场的作用而加速 证明 轨道平面上的磁场的平均磁感强度必须是轨 道上的磁感强度的两倍才能使电子轨道半径在电子能量增加的过程中保持恒定 证明 磁场的洛仑兹力使电子在固定轨道上作圆周运动 感应电场使电子在固定圆周轨道 上作加速运动 电子沿半径为 R 的轨道运动时 它的动量大小为 电子的运动方程为 磁场的变化产生感应电场为 由 式解得 5 两根平行导线 横截面的半径都是 a 中心相距为 d 载有大小相等方向相反的电流 设两导线内部的磁通量都可略去不计 试证明这样一对导线在长为l的一段的自感为 a adl L ln 0 证明 如图所示 两导线长为l的一段之间的磁通量为 ad aSS BldrBdSSdB R eRBmv k eE dt mvd dS dt Bd l d E s dt Bd RREk 2 2 dt BdR Ek 2 BBR 2 1 aa d I I l B aa d I I l B a adIl ad a a adIl rdr Il dr rdr Il ldr rd I r I ad a ad a ad a ln 2 lnln 2 lnln 2 11 2 22 0 0 0 0 00 这段的自感为 0 ln lda L Ia 6 图示为一对互感耦合的 LR 电路 证明在无漏磁的条件下 两回路充放电的时间常数都 是 2 2 1 1 R L R L 证明 当充电时 根据根据尔霍夫方程 对左右两回路得微分方程为 0 11 21 1 iR dt di M dt di L 0 22 12 2 iR dt di M dt di L 221 2 22 diRdiM i dtLL dt 由 得 将 式代入 式得 222112 12 21 LiMRiRL dt di MLL 因为无漏磁 2 21 MLL 则有 dt di MR RL dt di MR LiRL i LiMRiRL 1 2 122 2 2112 2 222112 将 式代入 式得 11 1 2 12 1 iR dt di R RL L 由 式和初始条件 00 1 i 解得 1 R 2 R M 1 L 2 L K 1 R 2 R M 1 L 2 L K 1 1221 21 1 1 t RLRL RR e R i 回路 1 充电时间常数为 2 2 1 1 21 1212 R L R L RR RLLR 2 2 1 1 12 2 R L R L ii 的充电时间常数也为故回路为线性关系与由 式知由于 放时时 对左右两回路有微分方程 0 11 21 1 iR dt di M dt di L 0 22 12 2 iR dt di M dt di L 由 式解得 dt di L M L iR dt di 1 22 222 将 式代入 式得 0 22112 2 21 iRiRL dt di MLL 因无漏磁 2 21 MLL 则有 0 22112 iMRiRL 1 2 12 2 i MR RL i 对 式求导得 dt di MR RL dt di 1 2 122 将 式代入 式得 0 1 1 2 12 1 iR dt di R RL L 由 式和初始条件 R i 0 1 解得 t RLRL RR e R i 1221 21 1 1 回路 1 和回路 2 的放电时间常数为 2 2 1 1 R L R L 六 计算题六 计算题 1 如图所示 电阻 R 2 面积 S 400cm 2 的矩形回路 以匀角速度 10 s 绕 y 轴旋转 此回路处于沿 x 轴方向的磁感强度 B 0 5T 的均匀磁场中 求 1 穿过此回路的最 大磁感通量 2 最大的感应电动势 3 最大转矩 4 证明外转矩在一周内所 1717 17171111 1818 1818 1919 2020 1616 1616 作的功等于在此回路中消耗的能量 解 1 当回路平面与B 垂直时 此回路磁感通量最大为 42 400 100 52 10 m BSwb 2 t时刻穿过回路的磁感通量为 cosBSt 由电磁感应定律知 回路的电动势为 sin d BSt dt 当 1sin t 时 电动势最大 则有 4 0 5 400 10100 2 m BSV 3 回路中最大电流为 0 2 0 1 2 m m IA R 由 Bm 得 mNSBIm m 1025 0104001 0 34 4 在一周内外力矩所做的功为 ttdSB R ttdmBdA sinsin 2 0 2 0 2 0 222222 2 22 0 0 11 sinsin2 24 S BS BS B td ttt RRR dt时间内回路中消耗的焦耳热为 22 222 2222 2 2 0 sin sin S B dQI RdtRdttd t RR S BS B Qtd t RR 所以 A Q 2 一平行的金属导轨上放置一质量为 m 的金属杆 导轨间距为 L 一端用电阻 R 相连接 均匀磁场 B 垂直于两导轨所在平面 如图所示 若杆以初速度 0 v 向右滑动 假定导轨是 光滑的 忽略导轨的金属杆的电阻 求 1 金属杆移动的最大距离 2 在这过程 中电阻 R 上所发出的焦耳热 解 1 当杆 A B 以 0 v 的初速度向历运动 要产生动生电动势 由于它与电阻 R 组成闭合 回路 有感应电流 即 BA BL vBL i R 载流导体 AB 在磁场中受与 0 v 方向相反的安培力作用 即 2222 B LB L ds FILBiii RRdt 由牛顿第二定律得 22 B L dsd mam Rdtdt z x y B O z x y B O L 0 v A B R B L 0 v A B RL 0 v A B R B 22 mR dsdv B L 金属杆能够移动的最大距离是杆的速度为零 上式积分得 0 0 2 2 0 s v mR dsdv B l 0 max 2 2 mRv S B l 2 在此过程中回路的焦耳热是 2 22 2 22 2 B l RB ldS Qi Rdtv dtvdt RRdt 0 0 2 22 2 0 2 2 0 2 0 1 2 v v B lB lmR vdsvdv RRB l mvdvmv 3 如图 3 1 所示的电阻 R 质量 m 宽为 L 的窄长矩形回路 受恒力 F 的作用从所画的位 置由静止开始运动 在虚线右方有磁感应强度为 B 垂直于图面的均匀磁场 1 画出回 路速度随时间变化的函数曲线 2 求末速度 3 推导作为时间函数的速度方程 解 当回路进入磁场时 CD 边切割磁感线 在回路中产生的动生电动势和感应电流分别 是 1 Bvl Bvl I RR 载流导体 CD 在磁场中受到与F 方向相反的 安培力作用 大小为 图 3 1 2 2 B l v FIlB R dv FFm dt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 00 tv B ldv Fvm Rdt dtdv B lm Fv R B l d Fv RB l dt B lRm Fv R 由初始条件 t 0 v 0 得回路的速度方程为 图 3 2 2 2 2 2 1 B l t Rm FR ve B l 由速度方程画出回路的速度随时间变化的曲线如图 3 2 所示 2 当安培力与外力相等时 回路速度达到稳定 由平衡条件 2 0 B l Fv R 得末速度为 A B C D F A B C D F 22l B FR v t 2 2 FR v B l 4 一非相对论性带电粒子在一无限长的载流密绕的螺线管中绕管轴作圆轨道运动 管中磁 感强度的大小为 B0 粒子运动的轨道半径为 R0 如果管中的磁场在 0t 的时间内突然 地由 B0变到 B 粒子最终的轨道半径 R1为多少 粒子的轨道中心是否仍在管轴上 解 1 当带电粒子在固定轨道上运动时 满足的条件是 qvB R v m 2 由 式可得在因定轨道上运动方程为 000 mveR B 1 mveR B 当磁场突然地由 0 B 变到B时 假设 0 dt dB 将产生感应电场 k L dB E dlds dt 因为dt时间 轨道半径仍为 0 R 同时B 方向与 Sd 的方向相反 所以 2 00 2 k dB ERR dt 0 1 2 K dB ER dt 在感应电场作用下 带电粒子作匀加速运动 由牛顿第二定律得 20K d mvdB qEqR dtdt B B v v dBqRmvd 00 0 2 1 000 2 1 BBqRmvmv 将 式代入 式得 BRBBR BBqRBqRBqR 100 00001 2 1 2 1 B BBR R 2 00 1 2 由于B 突然变化 由于B 的方向没有变化 由 式知 带电粒子圆周运动的切向速度 只改变大小 方向也不变化 所以粒子的轨道中心仍在管轴上 5 如图 5 1 所示 在空间区域22 dd x 之内存在着随时间 t 变化的均匀磁场 磁场的 磁感强度为 B dt a 为恒量 其方向垂直纸面向里 试求 t T 时刻下列各点处的电场强度 E 1 023 2 d xxxd 解 1 由于变化的磁场具有面对称 所以产生的感应电场只有平行于对称面的分量 也 具有面对称 0 x 的平面是对称面 因此 0 x 时 0 k E 2 当2 d x 时 通过对称面作矩形环路abcd 使ab l 2 l ad 如图 5 2 所示 感 应电场的环流为 k L dB Edlds dt 2 2 k k dBd Ell dt d dB E dt 因为 atB a dt dB 所以 图 5 1 图 5 2 adEk 2 1 3 当 dx 时 作矩形环路abef 使 daf 同理 2 1 2 k k dBd Ell dt Ead 6 利用感应加热的方法可以除去吸附在真空室中金属部件上的气体 装置示意如图所示 设线圈长为 L 20cm 匝数为 N 30 匝 线圈中的高频电流为 I I0sin 2 ft 其中 I0 25A 频率 f 1 0 105Hz 被加热的部件是电子管的阳极 它是半径 r 4 0cm 管壁很薄 的中空圆筒 高度 h l 其电阻 R 500 10 3 求 1 阳极中的感应电流最大值 2 阳极内每秒产生的热量 3 当频率 f 增加一倍时 热量增加几倍 解 1 圆筒处的磁场可看作无限长螺线管中磁场 有 000sin 2 N BnIIft l 穿过圆筒的磁通量为 22 00sin 2 N B rrIft l 由磁感应定律 圆筒中的感生电动势为 22 00 2cos 2 dN rfIft dtl 圆筒中的感应电流为 22 00 2 cos 2 rfNI Ift RRl 当 12cos ft 时 电流最大 即 22 00 2 m rfNI I Rl 32475 32 2 3 144104 101 0 1030 25 500 1020 10 30A lhlh 2 d 2 d x O 2 d 2 d a b c d e f x O 2 由焦耳定律知 2 dQI Rdt 22 22 00 2 cos 2 rfNI Rftdt Rl 当 1 t 秒时 产生的热量为 22 22 00 0 2 2 t rfNI QRcosftdt Rl 1 22 2 00 0 22 2 00 23 2211 sin2 2 242 21 2 1 30500 10 2 225 t rfNIft Rft Rlf rfNI R Rl J 3 由上式知当 f 增加一倍时 热量增加 4 倍 7 在等同步电子感应加速器中 电子绕行 2 105圈后再被引出 射到一块金属板上以产 生 X 射线 如果在加速过程中 磁感通量的变化率 Vdtd400 问被引出的电子具有 多大的动能和速率 考虑相对论效应 解 1 电子被加速一周时所获得的动能等于感应电场对它所作的功 reEP kk 2 式中 k E 为感应电场强度 r为电子轨道半径 将dt Bd r Ek 2 1 代入上式得 dt d e dt SBd erePk 2 2 电子绕行 n 圈后的总动能为 J dt d nenPP k 1295 10 8 12400106 1102 2 设电子被引出时的质量为m 速度为v 能量为P 则有 Pmv 2 2 1 由相对论效应可得 Pv c v m 2 2 0 1 2 1 所以 2242224 0 440m cPP c 2424 02 22 0 41616 2 PPm P c v m c 24224 0 22 0 224448262224432 262216 41616 2 4 12 81016 12 81016 9 11012 810310 2 9 110310 PPm P c m c 24 2 46 0 013 10 87210 16 1480 58 10 8 2 95 10 m v s 8 一空心的螺绕环 其平均周长为 60cm 横截面积为 3cm2 总匝数为 2400 现将一个匝 数为 100 的小线圈 S 套在螺绕环上 见图 求 1 螺绕环的自感系数 2 环与线圈 S 间的互感系数 3 若 S 接于冲击电流计 且知 S 和电流计的总电阻为 2000 问当螺绕环内的电流 I 3A 由正向变成反向时 通过冲击电流计的电量共有多少 C 解 1 螺绕环中心 B 值为 1 1 1 0101 I l N nIB 通过螺绕环的磁通匝链数为 2 011 1 1111 1 N S I N B S l 由自感系数定义得 2 0111 1 11 N S L Il 724 2 3 41024003 10 60 10 3 6 10 H 2 通过线圈 S 的磁链为 012 11 21211 1 N N I S N B S l 由自感系数定义得 012121 11 N N S M Il 7224 2 4 41024 10103 10 60 10 1 5 10 H 3 当螺绕环的电流由正向变成反向时 小线圈中磁链的变化为 012 11 21 1 2 N N I S l 由电磁感应定律得线圈中的感应电动势为 21 t 线圈中的电流为 21 I RR t S 由电流强度的定义得 012 1121 1 2N N I S qI t RRl 7224 32 7 2 41024 10103 10 2 1060 10 4 5 10 C 9 如图所示装置由两条带状金属导体板组成 每块板长l 宽 b 板垂直于纸面 两薄板 间有一小的间距 a ab al 现将两板的右端短路 左端接入一电动势为 的电 池 设电流均匀通过导体板 并忽略端部效应 求这一回路的自感系数 解 设通过导体板的电流为I 则电流流为 b I i 两极可看成是无限大载流平面 板间的场强为 BBB b I b I 22 00 b I 0 通过回路的磁通量为 0 0 Ia B SaLLI bb 由自感系数定义得 0 a LL Lb 10 在如图所示的电路中 求以下三种情况下 R1与 R2上的电压 1 K 接通瞬时 2 K 接通以后 电路达到稳态时 3 K 切断瞬时 解 1 K 接通瞬时 通过 L 的电流不能突变 L 相当于断路 1 R 2 R 两端电压为 1 2 0 2 R R U UV 2 电路稳态时 由基尔霍夫定律得 1 di LiR dt 微分方程的解为 1 1 1 1 R t L ie R 当 t 时 1 1 i R 所以 1 11 2 R Ui RV 2 2 R UV 或者用简便方法 稳定时 L 相当短路 kR1 2 10 1 R L K V2 kR1 2 10 1 R L K V2 l a l a 12 2 RR UUV 3 K 断开时 1 R L 2 R 构成回路 通过 L 的电流不能突变 应等于稳定时的电流 即 1 1 2 0 2 10 iA R 所以 1 2 1 1 2 1 10 0 22 1000 0 2200 R R URiV UR iV 11 有一线圈 其电感为 20H 电阻为 10 把这线圈突然接到 100V 的电池组上 试 求在线圈与电池组连接之后经过 0 1s 时 1 磁场中储藏能量的增加率 2 产生焦耳热 的速率 3 电池放出能量的速率 解 RL 电路如图所示 当 K 闭合瞬时 暂态方程为 di LiR dt 微分方程解为 1 Rt L ie R 电流的变化率为 RR tt LL diR ee dtR LL 1 由 2 1 2 WLi 得 1 Rt t LL dWdi LiLee dtdtRL 2 10102 0 10 1 2020 3 3 1 100 1 10 10 1 0 95 0 95 47 5 RR tt LL ee R ee J s 2 由 2 Qi Rt 得 2 dQ i R dt 32 22 1 100 1 0 95 10 2 5 Rt L e R J s 3 由W it 得 2 100 1 1 0 95 50 10 Rt L dW ieJ s dtR 12 在如图所示的电路中 10V R1 5 0 R2 10 L 5 0H 试就 1 电键 K 刚接 LR K LR K 通和 2 电键 K 接通后很长时间这两种情况 分别计算通过 R1和 R2的电流1 i和 2 i 通后 电键 K 的电流i R2两端的电势差 L 两端的电势差以及通过 L 的电流2 i 的变化率 2 di dt 解 1 K 刚接通时 L 的电流不能突变 L 相当于断路 所以有 2 2 2 2 1 1 2 2 2 0 0 10 2 5 0 10 1 10 2 5 R L R t L R t L t i iiA R UV UV ie R di eA s dtL 2 稳定时 L 不能突变 相当短路 所以有 12 12 12 12 1 1 2 2 5 10 103 5 10 10 2 5 10 1 10 RR iA R R R R RR iA R iA R 2 22 2 1 1010 00 R L Ui RV di U dt 13 两线圈之间的互感为 M 电阻分别为 R1和 R2 第一个线圈接在电动势为 的电源上 第二个线圈接在电阻为 g R 的电流计 G 上 如图所示 设原先开关 K 是接通的 第二个线圈 内无电流 然后把 K 断开 求通过 G 的电量 q 解 K 断开时 在2 L 线圈中产生自感电动势和互感电动势 由基尔霍夫定律得 21 222 0 g didi LMRRi dtdt 式中1 i 是第一个线圈中的电流 将dt dq i 2 代入 式得 21 22 0 g dididq LMRR dtdtdt 2212 0 g L diMdiRRdq 当 0 t 时 1 11 R Ii 0 q 0 2 i 当 t 时 0 11 Ii 0 2 i 0 q 对 式积分得 1 00 2212 0 q g I L diMdiRR 0 dq 0 2 R 1 R L K 2 R 1 R L K K 1 R 2 R 1 L 2 L g R M K 1 R 2 R 1 L 2 L g R M 2 1 0 g MRRQ R 所以 12g M Q R RR 14 如图 14 1 所示 一半径为 a 单位长度上匝数为 n 的无限长直螺线管 通过的电流为 0 sinIIt 管外套一均匀导体圆环 电流计 G 接在环上的 A B 两点 AB 间环的电阻分 别是 12 33 RR和 电流计内阻为 r 1 求通过 G 的电流 2 若改变 G 的位置 把 G 放到 虚线表示的地方 流过 G 的电流又是多少 解 无限长螺线管内场强为 0 Bni 根据电磁感应定律圆环导体中感应电动势大小为 2 0 ddd BSnia dtdtdt 图 14 1 22 000cos di n an aIt dt 1 当电流计接在 A B 左边时 电路相当于图 14 2 所示 根据基尔霍夫定律 对回路 得 121 0 3 R riii 对回路 212 2 33 R iiRi 联立 式得 1 3 92 i rR 图 14 2 将 式中的 代入 式得通过电流计G的电流为 2 00 2 3 cos 92 n aI it rR 2 当电流计接在 A B 右边时 电路相当于图 14 3 所示 根据基尔霍夫定律 对回路 得 334 2 33 RR iii 434 2 0 3 R riii 联立 式得 4 6 92 i rR 图 14 3 将 式中的 代入 式得通过电流 G 的电流为 A B 3 R 3 2R A B 3 R 3 2R G G 1 i 2 i 3 R R 3 2 12 i i G G 1 i1i 2 i2i 3 R 3 R R 3 2 R 3 2 12 i i 12 i i 3 i 4 i 3 R2 43 i i V 3 R G G V 3 i3i 4 i4i 3 R2 3 R2 43 i i 43 i i V V 3 R 3 R G G V 00 4 6 cos 92 n r I it rR 15 一自感为 L 电阻为 R 的线圈与一无自感的电阻 R0串联地接于电源上 如图所示 1 求开关 K1闭合 t 时间后 线圈两端的电位差 bc U 2 若 0 20 50 150 5 0V RRLH 求t 0 5 时 为电路的时间常 数 线圈两端的电位差 bc U 和电阻 R0两端的电压 ab U 3 待电路中电流达到稳定值 闭合开关 2 K 求闭合 0 01s 后 通过 2 K 中的电流的大 小和方向 解 1 1 K 闭合2 K 断开的情况下设电流为I 则电路方程为 0 0 dl LRRi dt 利用初始条件 0t 时 0 I 解 式得 0 0 1 RRt L ie RR 线圈两端的电位差为 0bc UR i 0 0 0 1 1 RRt L R e RR 0 0 0 RRt L RR e RR t eRR ER 0 0 式中 为电路的时间常数 RR 0 4 2 将已知数据代入 式得 0 5 20 1505018 50 150 bc UeV 20 182 abbc UUV 3 设通过电源 的电流为 e I 通过线圈 L 的电流为L i 通过开关2 K 的电流为 k i 根据基 尔霍夫方程有 0 KLe iiI 根据基尔霍夫的回路方程对回路cfebc有 0 L L di LRi dt 当 0 t 时 RR Ii LL 0 解微分方程有 0 Rt L L ie RR 对回路eabefe有 a0 RbR Lc 1 K 2 K f e a0 RbR Lc 1 K 2 K f e 0 e I 0 R 所以 0 e I R 将 式代入 式得 00 Rt L KeL iIie RRR 150 0 01 50 2020 5050 150 0 33 e A K i 的方向由 fe 16 真空中 在同一平面内有一条无限长的载流为 I1的细直导线和一边长为 a 载流为 I2 的正方形线圈 已知直导线与正方形线圈的一边平行且相互最近距离为 b 在线圈向左移 动到 b 2 的过程中 若维持 I1和 I2都不变 求磁力作功 A 和磁能增量 W 解 1 建立坐标如图 16 1 所示 由对称性和环路定理得1 I 在