2002-数三真题、标准答案及解析.pdf

1 2002 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 经济数学三试题详解及评析经济数学三试题详解及评析 一 填空题一 填空题 1 设常数 1 2 a 则 21 limln 12 n n nna na 答答 1 1 2a 详解详解 因为 21 lim 1 2 n n nna na 11 1 2 1 21 2 1 lim 1 12 na aa n e na 所以 1 1 2 211 limln ln 12 12 n a n nna e naa 2 交换积分次序 111 422 1 0 4 y yy dyf x y dxdyf x y dx 答答 2 1 2 0 x x dxf x y dy 详解详解 积分区域 12 DDD 其中 1 1 0 4 Dx yyyxy 2 111 422 Dx yyyx 于是 D 也可以表示为 2 1 0 2 Dx yxxyx 故 2 1111 4222 1 00 4 yx yyx dyf x y dxdyf x y dxdxf x y dy 2 3 设三阶矩阵 122 212 304 A 三维向量 1 1 T a 已知 与 线性相关 a 答答 1 详解详解 由题设 存在 k 使得k 即 122 2121 3041 a k 即 22 212 34 aka ak ak 可得1 1 ak 故所求 a 为 1 4 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 P Y X 1 0 1 0 1 0 07 0 18 0 15 0 08 0 32 0 20 则 2 X和 2 Y的斜方差 22 cos XY 答答 0 02 详解详解 由题设 有 X 0 1 P 0 4 0 6 3 X 1 0 1 P 0 15 0 5 0 35 且 2 X 0 1 P 0 4 0 6 2 Y 0 1 P 0 5 0 5 22 X Y 0 1 P 0 72 0 28 从而 2222 0 28 0 69 0 5 E X YE XE Y 故 222222 cos 0 280 30 02 XYE XYE XY 5 设总体X的概率密度为 0 x ex f x x 若 若 而 12 n XXXL是来自总体 X的简单随机样本 则未知参数 的矩估计量为 答答 1 1 1 n i i X n 4 详解详解 因为 0 1 x E Xxedx 所以 由 1 1 n i i E XXX n 即 1 1 1 n i i X n 得参数 的矩估计量为 1 1 1 n i i X n 二 选择题二 选择题 1 设函数 f x在闭区间 a b上有定义 在开区间 a b上可导 则 A 当 0f a f b 时仅有零解 B 当时nm 必有非零解 C 当时mn 仅有零解 D 当时mn 必有非零解 答答 D 详解详解 AB为mm 矩阵 当mn 时 有 rrnm ABA对应 0 AB x 有非零解 故应选 D 4 设A是 n 阶实对称矩阵 P是 n 阶可逆矩阵 已知 n 维列向量 是A的属于特征 值 的特征向量 则矩阵 1 T P AP属于特征值 的特征向量是 11 T T ABCD PPPP 答答 B 详解详解 由已知 A 于是 1 T TTTT P APP A PP 又由于 T AA 有 1 T TT P APPP可见矩阵 1 T P AP属于特征值 的特征 向量是 T P 5 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布 则 A X Y 都服从正态分布 B 22 XY 都服从 2 分布 C 2 X和 2 Y都服从 2 分布 D 2 2 X Y 服从F分布 答答 C 详解详解 由于 X Y 不一定相互独立 故 A B D 不一定成立 只有 C 为正 确选项 三三 本题满分 8 分 求极限 2 00 0 arctan 1 lim 1 cos xu x t dt du xx 详解详解 1 6 2 000 00 arctan 1 arctan 1 limlim 1 cos 1 cossin xux xx t dt dut dt xxxxx 2 2 000 2 arctan 1 1 lim2limarctan 1 lim 2sin sinsincos cos xxx xx x x xxxx x x 1 2 4 36 详解详解 1 22 0000 3 00 arctan 1 arctan 1 lim2lim 1 cos xuxu xx t dt dut dt du xxx 2 2 0 2 00 arctan 1 2arctan 1 2lim2lim 36 x xx t dt x xx 2 3 46 四四 本题满分 8 分 设函数 uf x y z 有连续偏导数 且 zz x y 由方程 xyz xeyeze 所确 定 求du 详解详解 1 设 xyz F x y zxeyeze 则 1 1 1 xyz xyz Fxe FyeFze 故 11 1 1 yx zy z x zz F Fzxzy ee xFzyFz 而 1 1 x z xzxz uzx ffffe yxz 1 1 y z yzyz uzy ffffe yyz 所以 7 11 11 x zy z xzyz uuxy dudxdyffedxffedy xyzz 详解详解 2 在 xxz xeyeze 两边微分 得 xxyyzz e dxxe dxe dyye dye dzze dz 故 1 1 1 xy z x e dxy e dy dz z e 由 uf x y z 得 xyz duf dxf dyf dz 故 11 11 x zy z xzyz xy duffedx ffedy zz 五五 本题满分 8 分 设 2 sin sin x fx x 求 1 x f x dx x 详解详解 令 2 sin ux 则有 arcsin sin arcsin x xu xu f x x 于是 arcsin 11 xx f x dxdx xx arcsin 1 2 arcsin1 1 xd xxdx x 1 2 1arcsin21 1 xxxdx x 2 1arcsin2 xxxC 六六 设 1 D是由抛物线 2 2yx 和 2xa x 及0y 所围成的平面区域 2 D是由抛物 线 2 2yx 和直线0 yxa 所围成的平面区域 其中02 a 8 1 试求 1 D绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 1 V 2 D绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 2 V 2 问当a为何值时 12 VV 取得最大值 试求此最大值 详解详解 1 22 25 1 4 232 5 Vxdxa 2 2 22444 2 0 22 2 a y Vaadyaaa 2 设 54 12 4 32 5 VVVaa 由 3 410 Vaa 得区间 0 2内的 惟一驻点1 a 当01a 当1a 时 0V 因此1 a 是极大值点即是最大值点 此时 12 VV 取得最大值 等于 129 5 七七 1 验证函数 3693 1 3 6 9 3 n xxxx y xx n LL满足微分方 程 x yyye 2 利用 1 的结果求幂级数 3 0 3 n n x n 的和函数 详解详解 1 因为 9 3693 1 3 6 9 3 n xxxx y x n LL 36931 2 5 8 31 n xxxx yx n LL 4732 4 7 32 n xxx yxx n LL 所以 x yyye 2 与 x yyye 相应的齐次微分方程为0 yyy 其特征方程为 2 10 特征根为 1 2 13 22 i 因此齐次微分方程的通解为 2 12 33 cossin 22 YeCxCx 设非齐次方程的特解为 x yAe 将y 代入方程 x yyye 得 1 3 A 于是 1 3 x ye 方程的通解为 2 12 331 cossin 223 x yYyeCxCxe 当0 x 时 有 1 12 1 01 3 131 00 223 yC yCC 得 12 2 0 3 CC 于是幂级数数 3 0 3 n n x n 的和函数的和函数为 2 231 cos 323 x x y xexex 利用闭区间上连续函数得性质 证明 存在一点 a b 使 bb aa f x g x dxfg x dx 详解详解 因为 f x g xa b在上连续 且 0 g x 由最值定理 知 f x在 a b上 有最大值M和最小值m 即 mf xM 故 mg xf x g xMg x bbb aaa mg x dxf x g x dxMg x dx b a b a f x g x dx mM g x dx 由介值定理知 存在 a b 使 b a b a f x g x dx f g x dx 即 bb aa f x g x dxfg x dx 九九 设齐次线性方程组 123 123 123 0 0 0 n n n axbxbxbx bxaxbxbx bxbxbxax L L LLL L 其中0 0 2 abn 试讨论 a b为何值时方程组仅有零解 有无穷多组解 在有无 穷多组解时 求出全部解 并用基础解系表示全部解 详解详解 方程组的系数行列式 1 1 n abbb babb Aanbabbbab bbba L L L MMMM L 11 当 1aban b 且时 方程组仅有零解 2 当ab 时 对系数矩阵 A 作初等变换 有 1111 0000 0000 abbb babb Abbab bbba L L L L L MMMM MMMM L L 原方程组的通解方程组为 12 0 n xxx L 其基础解系为 121 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 TTT LLLL 方程组的全部解是 112212 nnn cccc cc KK为任意常数x 3 当 1an 对系数矩阵A作初等变换 有 1 1 1 1 n bbbb bn bbb Abbn bb bbbn b L L L MMMM L 12 000 1111 000 1111 000 1111 000 1111 11111 nn n nn n nn n nn n n K L L L L L MMMMM MMMM L L L 34 1000110001 0100101001 0010100101 0001100011 1111100000n KK LL LL MMMMMMMMMM LL LL 原方程组的通解方程组为 12 1 2 1 n n nn xx xx xx LL 其基础解系为 1 1 1 T L 方程组的全部特解是 xc c 为任意常数 十十 设A为三阶实对称矩阵 且满足 2 2 AA O已知A的秩为 2 r A 1 求A的全部特征值 2 当k为何值时 矩阵kA E为正定矩阵 其中E诶三阶单位矩阵 详解详解 1 1 设 为A的一个特征值 对应的特征系向量为 则 0 A 22 A 于是 22 2 AA 由条件 2 2 AA O推知 2 20 又由于0 故有 2 20 因为实对称矩阵A必可以对角化 且 2 r A所以 2 2 0 AA 因此 矩阵A的全部特征值为 123 2 0 2 矩阵kA E仍为实对称矩阵 由 1 知 kA E的全部特征值为 2 2 kk k 于是 当2k 时 矩阵kA E的全部特征值大于令 因此 矩阵kA E为正定矩阵 详解详解 2 同详解 1 2 实对称矩阵必定可以对角化 故存在可逆矩阵P 使得 13 1 1 P AP A A P P 于是 1 1 1 kkk A E P PP P P E P 所以kkA E A E 而 2 2 2 k kk k E k E为正定矩阵 只需其顺序主子式均大于令 即k需满足 22 20 20 20 kkkk 因此 当2k 时 矩阵kA E为正定矩阵 十一十一 设随机变量U在区间 2 2 上服从均匀分布 随机变量 1 1 1 1 1 1 1 1 UU XY UU 若若 若若 试 求 1 X 和 Y 的联合密度分布 2 D XY 详解详解 1 随机变量 X Y有四个可能值 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 4 P XYP UU 1 11 10 P XYP UU 1 1 11 1 2 P XYP UU 1 1 11 1 4 P XYP UU 于是 得 X 和 Y 的联合概率分布为 1 11 11 11 1 111 0 424 X Y 2 XY 和 2 XY 的概率分布相应为 14 2 20004 11111 42422 XYXY 由此可见 22 0 44 E XY 2