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第九章 压杆稳定9-1 压杆稳定的基本概念在前面的一些章节中，已经讨论了构件在静力平衡状态下的应力、应变以及强度和刚度的设计问题。构件除了强度和刚度不足而引起失效外，有时由于不能保持其原有的平衡状态而失效，这种失效形式称为丧失稳定性。考察图9-1所示的等直杆AB，若A端固定，B端作用沿轴线方向的载荷p。实验表明，若外力p 较小时，杆件保持在直线形状的平衡，微小的外界扰动将使杆件发生轻微的弯曲，干扰力解除后，杆件仍恢复直线形状，即外界的干扰不能改变其原有的铅垂平衡状态，压杆的直线平衡是稳定的；若外力p慢慢地增加到某一数值并且超过这一数值时，任何微小的外界扰动将使杆件AB发生弯曲，干扰力解除后，杆件处于弯曲状态下的平衡，不能恢复原 图9-1 有的直线平衡状态，杆件原有的直线平衡状态是不稳定的。若外力P继续增大，杆件将因过大的弯曲变形而突然折断。杆件维持直线稳定平衡的最大外力称为临界压力，记为Pcr。压杆丧失其直线形状的平衡而过渡为曲线平衡，称为丧失稳定，简称“失稳”。工程上，一般的细长压杆，由于轴向载荷的偏心或杆件的初曲率，往往因这种屈曲而导致失效的。因此压杆的“失稳”也称为“屈曲”。机械中有许多细长压杆，如螺旋千斤顶的螺杆（图9-2a），内燃机气阀门的挺杆（图9-2b）等。还有，桁架结构中的抗压杆、建筑物中的柱等都是压杆。这类构件除了要有足够的强度外，还必须有足够的稳定性，才能正常工作。(a) (b) 图9-2除了压杆的失稳形式外，一些细长或薄壁的构件也存在静力平衡的稳定性问题。例如，细长圆杆的纯扭转，薄壁矩形截面梁的横力弯曲以及承受均布压力的薄壁圆环等，都有可能丧失原有的平衡状态而失效。图9-3给出了几种构件失稳的示意图，图中虚线分别表示其丧失原有平衡形式后新的平衡状态。 (a)(b) (c) 图9-3承受轴向压力的细长压杆的平衡，在什么条件下是稳定的，什么条件下是不稳定的；怎样才能保证压杆正常、可靠地工作等等问题，统称为“稳定问题”。稳定问题与强度和刚度问题一样，在结构和构件的设计中占有重要的地位。本章将主要讨论压杆的稳定性问题，其他构件的稳定性问题可参阅有关的专著。9-2 两端铰支细长压杆的临界压力设细长压杆的两端为球铰支座（图9-4），轴线为直线，压力P与轴线重合。当压力达到临界值时，杆件将由直线平衡状态转变为微弯的曲线平衡状态。因此，临界压力Pcr也可以理解为压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。 图9-4选取坐标系如图9-4所示，考察距原点为x的任意截面，偏离直线位置的侧向位移为y，即为杆件的挠度v，弯矩为M。则式中，P为绝对值，M、v为带符号的量，于是对于微小的弯曲变形，挠曲线的近似微分方程为：由于两端是球铰，允许杆件在任意纵向平面内发生弯曲变形，因而杆件的微小弯曲变形一定发生于抗弯能力最小的纵向平面内。上式中的I应是最小的横截面惯性矩。 令 ，则 或 此方程的通解为： 边界条件为： 得到 上式表明，A=0或者sinkl=0。但因B已经等于0，A不可能再等于0，则由边界条件知 sinkl=0 kl=n(n=0、1、2、3) （n=0、1、2、3）在上式中，使杆件保持为曲线平衡的压力，理论上是多值的。在这些压力值中，使杆件保持微小弯曲的最小压力，才是临界压力Pcr。于是临界压力为 （9-1）这是两端铰支的细长压杆临界压力的计算公式，也称为欧拉公式。此式表明欧拉临界压力与抗弯刚度（EI）成正比，与杆长的平方（l2）成反比。应用上述公式时，注意以下两点：一是欧拉公式只适用于弹性范围，即只适用于弹性稳定问题；二是公式中的I为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。对于各方向具有相同约束条件的情况，I=Imin;对于不同方向具有不同的约束条件的情况，应根据惯性矩和约束条件，首先判断失稳时的弯曲方向，然后确定相应的中性轴和截面惯性矩。此外，稳定问题与强度问题有以下几点不同：1、 研究稳定问题时，是根据压杆变形后的状态建立平衡方程的，而研究强度问题时，是忽略小变形，以变形前尺寸建立平衡方程的。2、 研究稳定问题主要通过理论分析与计算，确定构件所能承受的力（Pcr）；而研究强度问题中，则是通过理论分析与计算确定构件内部的力（内力与应力），构件所能承受的力（如屈服极限和强度极限）是由实验确定的。例题9.1 柴油机的挺杆是钢制空心圆管，内、外径分别为10mm和12mm，杆长l=383mm，钢材的E=210GPa，可简化为两端铰支的细长压杆，试计算该挺杆的临界压力Pcr。解：挺杆横截面的惯性矩 由公式（9-1）即可计算出该挺杆的临界压力为9-3 其它支座条件下压杆的临界压力 欧拉公式由于失稳过程伴随着由直线平衡形式到弯曲平衡形式的突然转变，因此，影响弯曲变形的因素也必然会影响压杆的临界压力的大小，支座条件便是其中之一。因此，不同的支座条件，压杆的临界压力的公式相应不同。我们可以用类似上一节的方法，确定不同支座条件下的临界压力计算公式。我们也可以用以下的比拟法来简单确定之。一端固定、一端自由的压杆：设杆在微弯的形状下保持平衡，如图9-5（a）示。现把变形曲线延伸一倍，如图中假想线所示并与图9-5（b）比较，可见一端固定、另一端自由且长为l的压杆的挠曲线与两端铰支、长为2l的压杆的挠曲线的上半部分相同。因此，对于一端固定、一端自由且长为l的压杆，其临界压力应等于两端铰支长为2l的压杆的临界压力。即 （9-2）同样的，我们依图9-5的变形情况比较得到其它支座情况下的临界压力公式为：两端固定的压杆： （9-3）一端固定、一端铰支的压杆： （9-4） (a) (b) (c) (d) 图9-5公式（9-1）（9-2）（9-3）（9-4）可以统一写成： （9-5）这是欧拉公式的普遍形式。式中ml表示把压杆折算成两端铰支压杆的长度，称为相当长度， m称为长度系数。现把长度系数m列表9-2。欧拉临界公式表明：细长压杆的临界压力与杆件的形状、大小、约束条件及所使用的材料有关。 表9-2 各种约束时的长度系数压杆的约束条件长度系数两端铰支一端固定、另一端自由两端固定一端固定、另一端铰支m=1m=2m=0.5m=0.7例题9.2 试由压杆挠曲线的微分方程，导出两端固定压杆的临界压力的欧拉公式。解：两端固定的压杆失稳后，计算简图如图9-6所示，变形对中点对称，上、下两端的反作用力偶矩同为m，水平反力谐等于零。挠曲线的微分方程是令，上式可以写成此方程的通解为 (a) v的一阶导数为 (b)两端固定的压杆的边界条件为x=0时， x=l时， 将以上边界条件代入(a)和(b)式，得 (c) 由以上四个方程式得出 (d) 满足以上两式的根，除kl=0外，最小根是kl=2 或 (e) 图9-6 由(a)式，求得压杆失稳后任意截面上的弯矩是由(c)式的第一和第二式解出A和B，代入上式，并注意到(d)式，得当或时，M=0。这就证明了在图9-6中，C、D两点的弯矩等于零。两端固定的细长压杆可折算成CD为长度的两端铰支的细长压杆。例题9.3 图9-7示两端铰支的细长压杆，长度为l，横截面面积为A，抗弯刚度为EI。设杆处于变化的均匀温度场中，若材料的线膨胀系数为al，初始温度为T0，试求压杆失稳时的临界温度值Tcr。解： 图示结构为一次超静定问题。其变形协调条件为 压杆的自由热膨胀量： 由于约束反力P产生的变形为 故 显然，当轴向压力P等于压杆的临界载荷Pcr时，杆将丧失稳定性。此时对应的温度称为临界温度Tcr。由式（9-5）得 图9-7 在超静定结构中，由于温度变化而引起的失稳问题称为热屈曲（thermal buckling）。对于轴向压力和热屈曲同时存在的问题，可以采用叠加法求解。9-4 欧拉公式的适用范围 临界应力总图临界应力 当压杆承受压力为临界值Pcr时，杆件横截面上的应力称为临界应力，此时，由于杆件仍可处于直线平衡状态，可以认为，杆件横截面上的应力与轴向压缩时一样是均匀分布的，则对于细长压杆，临界应力为 （9-6）令 ，则上式化简为： （9-7）这是欧拉临界应力公式普遍表达式。其中，-称为惯性半径，它表示了杆件横截面的性质。-称为杆件的柔度。这是一个没有量纲的量，它集中反映了杆件的端约束、长度、形状及横截面性质等诸多因素之间的关系，与外界的因素无关。在压杆的稳定计算中有重要的意义。欧拉公式的适用范围 在推导临界压力公式的过程中，我们应用了微弯曲状态下的挠曲线微分方程，此方程的使用前提是，材料在弹性范围内使用，即。因此，只有在临界压力小于比例极限sp时，上式公式才是正确的。令公式（9-7）中的临界应力scr小于sp，得 或 可见，只有当压杆的柔度l大于或等于极限值时，欧拉公式才是正确的。用lp表示这一极限值，即 (9-8)则，欧拉公式的使用条件是： （9-9）lp是反映材料性能的量，材料不同，其值不同。如Q235钢，lp100，铸铁 lp80。我们把前面所提到的欧拉公式所适用的细长压杆，也称为大柔度压杆。若压杆的柔度l小于lp，则临界应力scr大于材料的比例极限sp，这时欧拉公式已不能使用，属于超过比例极限的压杆稳定问题。常见的压杆如内燃机连杆、千斤顶螺杆等，其柔度l就往往小于lp。对于 llp的这类压杆的稳定性问题，人们在大量的失稳试验的同时，做了弹塑性理论分析。由于试验结果具有明显的分散度和理论分析的复杂性，这里不作进一步的讨论。工程上，一般采用以试验结果为依据的经验公式。目前根据我国的试验结果，考虑压杆存在偏心率等因素的影响而整理得到的经验公式有直线型近似和抛物线型近似。在这里我们只介绍直线公式（抛物线近似公式将在后面作参考介绍）。计算临界应力的直线公式为： （9-10）式中l是压杆的柔度；a和b是与材料性质有关的常数。例如Q235钢制成的压杆，a=304(Mpa)，b=1.12(Mpa)。几种材料的a、b 值如下表9-3。 表9-3 直线公式的系数和适用范围材 料a/MPab/MPalplsQ235钢 sS=235(Mpa)sb372(Mpa)3041.1210061.4优质钢 sS=306(Mpa)sb470(Mpa)4602.5710060硅 钢 sS=235(Mpa)sb372(Mpa)5773.7410060铬 钼 钢9805.2955硬 铝3923.2650铸 铁331.91.45380松 木39.20.19989 上述经验公式也仅适用于杆柔度的一定范围。对于塑性材料制成的压杆，当其临界应力等于材料的屈服极限时，压杆就会发生屈服而应按强度问题来考虑。因此，应用直线公式时，压杆的临界应力不能超过屈服极限ss，即 用柔度来表示，上式可改写成 （9-11）ls是适用于直线公式的最小柔度。对于脆性材料，只需将式中的ss改成sb即可。因此，直线经验公式的适用范围为 （9-12）满足上式的压杆，称为中柔度压杆（中长杆）。ls依材料的不同而不同，可查表，可依式（9-11）计算。若压杆的柔度lls，则称为小柔度压杆（粗短杆），它的破坏是由强度不足引起的，应按压缩强度计算。综上所述，可将压杆的临界应力依柔度的不同归结如下：1）大柔度压杆（细长杆） 2）中柔度压杆（中长杆） 3）中柔度压杆（粗短杆） 临界应力总图 由上面的讨论可知，压杆的临界应力的计算与压杆的柔度有关。依上述三种情况，我们以柔度l为横坐标，以 s为纵坐标作sl图，称为临界应力总图。图9-8表示之。稳定计算中，无论是欧拉公式或经验公式，都是以杆件的整体变形为基础的。局部削弱（如螺钉孔等）对杆件的整体变形影响很小，计算临界应力时，可采用未经削弱的横截面面积A和惯性矩I。而在小柔度杆中作压缩强度计算时，自然应该使用削弱后的横截面面积。图9-8例题9.4 材料为Q235钢的三根轴向受压圆杆，长度l分别为0.25m、0.5m和1m，直径分别为20mm、30mm和50mm，E=210Gpa。各杆支承如图9-9所示。试求各杆的临界应力。解：1、计算各杆的柔度杆a 则 杆b 则 杆c 则 2、计算各杆的临界应力 查表得 lp=100，ls=61.4杆a l1lp 大柔度压杆 杆b lsl2lp 中柔度压杆 杆c l3lp=100为细长压杆，故4、校核稳定性 压杆工作应力 稳定安全系数 压杆满足稳定要求！例题9.6 某发动机的连杆如图9-12所示。已知连杆的横截面面积A=552mm2，惯性矩Iz=7.42104(mm4)，Iy=1.42104(mm4)，材料为优质钢材，所受的最大轴向压力为30KN，稳定安全系数为nst=5，试进行稳定校核。 (a) (b) 图9-12解：1、柔度计算连杆受压时，可能在x-y平面失稳，也可能在x-z平面失稳。因此在稳定计算时首先必须计算出两个失稳平面的柔度，以确定失稳平面。 x-y平面 图9-12a 连杆两端铰支 m=1 z为弯曲中性轴 x-z平面 图9-12b 连杆两端铰支 m=0.5 y为弯曲中性轴 lzly ，连杆首先在x-y平面内失稳，只需对连杆在x-y平面内的稳定性进行校核。2、临界应力计算由表9-3得优质钢 lp=100, ls=60,而杆件 lS lz lP ,属中长杆，应用直线经验公式，则 3、计算工作应力 4、校核稳定性 稳定性足够！例题9.7 图9-13所示压杆横截面为空心正方形的立柱，其两端固定，材料为优质钢，许用应力s=200Mpa，lp=100，ls=60，a=460Mpa，b=2.57Mpa，nst=2.5，因构造需要，在压杆中点C开一直径为d=5mm的圆孔，断面形状如图9-13所示。当顶部受压力P=40KN时，试校核其稳定性和强度。解：柔度计算 图9-13 2、临界应力计算 lS l lP 3、稳定性校核 工作应力 工作安全系数 满足稳定性要求！4、强度校核 压杆开孔处为危险截面 ， 压杆的强度足够！例题9.8 图9-14所示的结构中，梁AB为No.14普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为d=20mm，二者材料均为Q235钢。结构受力如图中所示，A、C、D三处均为球铰约束。若已知F=25KN，l1=1.25m，l2=0.55m，ss=235Mpa，强度安全系数ns=1.45，稳定安全系数nst=3。试校核此结构是否安全？ 解：图示结构中，有两个构件：梁AB，承 受拉伸与弯曲的组合作用，为强度问题；杆CD承受压缩载荷，属稳定问题。分别校核如下：1大梁AB的强度校核 图9-14危险截面C： 轴力Q235钢的许用应力 杆AB符合强度要求！2压杆CD的稳定校核由平衡方程求得压杆CD的轴向压力 临界应力 工作应力 工作安全系数 压杆符合稳定性要求！9-5 提高压杆稳定性的措施由以上各节的讨论可知，压杆的临界应力或临界压力的大小，直接反映了压杆稳定性的高低。提高压杆稳定性的关键，在于提高压杆的临界压力或临界应力，而影响压杆临界应力或临界压力的因素有：压杆的截面形状、长度和约束条件、材料的性质等。因而，我们从这几方面入手，讨论如何提高压杆的稳定性。1选择合理的截面形状从欧拉公式和直线型经验公式可看到，柔度l越小，临界应力越高。由于，所以提高惯性半径i的数值就能减小l的数值。可见，如不增加截面面积A，尽可能把材料放在离截面形心较远处，以取得较大的I和i，就等于提高了临界应力和临界压力。例如图9-15所示的两组截面，图(a)与图(b)的面积相同，图(b)的I和i要比图(a)大得多。由四根角钢组成的起重机的起重臂（图(a) (b)图9-159-16a），其四根角钢分散布置在截面的四角（图9-16b）,比集中布置在截面形心附近（图9-16c）更为合理。由型钢组成的桥梁桁架中的压杆或建筑物中的柱，也都是把型钢分开安放，如图9-17所示。当然，也不能为了取得较大的I和i，就无限制地增加环形截面的直径并减小其壁厚，这将使其因变成薄壁圆管而 （a） (b) (c) 图9-16引起局部失稳，发生局部折皱的危险。对于由型钢组成的组合压杆，也要用足够的缀条或缀板把分开放置的型钢联成一个整体(图9-16和图9-17)。否则，各条型钢将变为分散单独的受压杆件，反而降低了稳定性。缀条 （a） (b) 图9-17 当压杆两端在各弯曲平面内约束条件相同时，失稳总是发生在最小刚度的平面内。因此，当截面面积一定时，使压杆在各方向上的惯性矩I相等并尽可能大些，如图9-15、图9-16、图9-17所示。但是，某些压杆在不同的纵向平面内，ml并不相同。例如，发动机的连杆，在摆动平面的平面内，两端可简化为铰支座（图9-18a）, m1=1；而在垂直于摆动平面的平面内，两端可简化为固定端（图9-18b），m2=1/2。这就要求连杆截面对两个主形心惯性轴x和y有不同的ix和iy，使得在两个主惯性平面内的柔度和接近相等。这样，连杆在两个主惯性平面内仍可以有接近相似的稳定性。(a) (b) 图9-182改变压杆的约束条件或者增加中间支座从式（9-7）和（9-10）以及可以看出，改变压杆的支座情况及压杆的有效长度l，都直接影响临界压力的大小。从表9-2可知，两端约束加强，长度系数m增大。此外，减小长度l，如中间支座的使用等，也可大大增大杆件的临界压力Pcr。如图9-19所示，杆件的临界压力 图9-19 变为： 临界压力为原来的四倍！ 3合理选择材料大柔度压杆，临界应力与材料的弹性模量E成正比。因此钢压杆比铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷高。但各种钢材的E基本相同，所以对大柔度杆选用优质钢材比低碳钢并无多大差别。中柔度压杆，由临界应力总图可以看到，材料的屈服极限s和比例极限p越高，则临界应力就越大。这时选用优质钢材会提高压杆的承载能力。小柔度压杆，本来就是强度问题，优质钢材的强度高，其承载能力的提高是显然的。4改善结构的形式对于压杆，除了可以采取上述几方面的措施以提高其承载能力 外，在可能的条件下，还可以从结构方面采取相应的措施。如图9-20a中的压杆AB改变为图9-20b中的拉杆AB。ADBCPADBCP （a） (b)图9-20复习思考题9.1 何谓失稳？何谓稳定平衡与不稳定平衡？何谓临界载荷？临界状态的特征是什么？9.2 构件的稳定性与强度、刚度的主要区别是什么？9.3 两端铰支细长压杆的临界载荷公式是如何建立的？应用该公式的条件是什么？9.4 如何用类比法确定两端非铰支的细长压杆的临界载荷？什么是相当长度与长度系数？9.5 什么叫柔度？它的大小由哪些因素确定？9.6 如何区分细长杆、中长杆和粗短杆？它们的临界应力各是如何确定的？如何绘制临界应力总图？97 其它条件不变，细长压杆的长度增加一倍，它的临界压力有什么变化？98 其它条件不变，圆形截面细长杆的直径增加一倍，它的临界压力有什么变 化？99 对于两端铰支，由Q235钢制成的圆截面压杆，问杆长l应比直径d大多少倍，才能用欧拉公式？yxyx910 两端为铰支，其截面形状如下图所示，问压杆失稳时，各横截面将绕哪一根轴转动？yx 思9.10图 思9.11图911 如上图所示，四个角钢所组成的焊接截面，当压杆两端均为铰支时，哪种截面较为合理？为什么？9 12 压杆的稳定条件是如何建立的？如何进行压杆的合理设计？习题 9.1 图示细长杆，两端为球形铰支，弹性横量E=200GPa，试用欧拉公式计算其临界压力。（1） 圆形截面，d=25mm，l=1000mm；（2） 矩形截面，h=25mm，b=20mm，l=1000mm；（3） 16号工字钢，l=2000mm。 题9.1图9.2 图中所示为某型飞机起落架中承受轴向压力的斜撑杆。杆为空心圆管，外径D=52mm，内径d=44mm，l=950mm。材料为30CrMnSiNi2A，sb=1600Mpa，sp =1200Mpa，E=210GPa。试求斜撑杆的临界压力Pcr和临界应力scr。 题9.2图93 三根圆截面压杆，直径均为d=160mm，材料为Q235钢，E=200GPa ，ss=1600Mpa。两端均为铰支，长度分别为l1、l2和l3，且l1=2l2=4， l3=5m。试求各杆的临界压力Pcr。9.4 一木柱两端铰支，其横截面为120200mm2矩形，长度为4m。木材的E=210Gpa，sp=20Mpa。试求木柱的临界应力。计算临界应力的公式有：(a) 欧拉公式；(b) 直线公式 。9.5 千斤顶的压杆如图所示，其最大承载压力为P=150KN，螺杆内径d=52mm,l=50cm。材料为Q235钢，E=200GPa。稳定安全系数规定为nst=3。试校核其稳定性。9.6 图示立柱一端固定，一端自由，顶部受轴向压力P=200KN作用。立柱用25a号工字钢制成，材料为Q235钢，规定稳定安全系数nst=3，许用应力=160Mpa,，在立柱中点横截面C处，开一直径为d=70mm的圆孔。试问杆件是否安全？E=200GPa。 题9.5图 题9.6图9.7 无缝钢管厂的穿孔顶杆如图所示。杆端承受压力。杆长l=4.5m，横截面直径d=15cm。材料为低合金钢，E=210GPa。两端可简化为铰支座，规定的稳定安全系数为nst=3.3。试求顶杆的许可载荷。 题9.7图98 图示蒸汽机的活塞杆AB，所受的压力P=120KN，横截面为圆形，直径d=7.5cm。材料为Q275钢，E=210GPa，sp =240Mpa。规定nst=8，试校核活塞杆的稳定性。99 由三根钢管构成的支架如图所示。钢管的外径为30mm，内径为22mm，长度l=