附录1拉普拉斯变换(修改).doc

附录1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换简称拉氏变换，是常用的积分变换之一。拉氏变换可用于求解常系数线性微分方程，是分析研究线性系统的有力数学工具。通过拉氏变换，将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，使系统的分析大大简化。这里首先复习复数、复变函数的概念，然后介绍拉氏变换及反拉氏变换的定义、性质与方法，以及一些典型时间函数的拉氏变换方法。1 复数与复变函数1-1 复数的定义设和是任意两个实数，则称为复数，记为 （1-1）其中，和分别称为复数的实部和虚部，记为 ， 。为虚数单位。对于一个复数，只有当实部和虚部均为零时，该复数为零；对于两个复数而言，只有当实部和虚部分别相等时，两复数相等。 和称为共轭复数。注意：实数间有大小的区别，而复数间却不能比较大小，这是复数域和实数域的一个重要的不同. 1-2 复数的表示方法1） 平面向量表示法复数可以用从原点指向点的向量来表示如图1-1，向量的长度称为复数的模，即 （1-2）向量与轴的夹角称为复数的幅角，即 （1-3）2） 三角表示法由图1-1可知， 图1 -1复数的向量表示因此，复数的三角表示法为 （1-4）3） 指数表示法 由欧拉公式 式（1.1）可以写成 （1-5）分别称式（1-4）和式（1-5）分别称为复数的三角形式和指数形式，则式(1-1)称为复数的代数形式，这三种形式可相互转换。1-3复变函数以复数为自变量，并按某种确定规则构成的函数称为复变函数。复变函数可写成 （1-6）其中分别称为复变函数的实部和虚部，点集E称为函数的定义域，相应地取值的全体称为函数的值域。若E内的每一个点s对应唯一的函数值，则称为函数为单值函数，在线性控制系统中，通常遇到的复变函数是s的单值函数。例1-1 设复变函数，当时，求其实部和虚部。解： ，所以，若复变函数具有式（1-7）的形式 （1-7）当时，则称为的零点。当时， ，则称为的极点。2 拉氏变换2-1 拉氏变换设函数为当时有定义的实变量的函数，若积分 ， （ ）在s的某一区域收敛，则由此积分所确定的的函数 称为函数的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，记为 即 （1-8）称为象函数，称为原函数。在满足下列条件时，的拉氏变换一定存在：（1）当时，；（2）在的任一有限区间上分段连续，只有有限个第一类间断点；（3）是指数级函数，即有成立。式中，实常数，。 工程技术中所遇到的函数一般存在拉氏变换。2-2 拉氏逆变换拉氏变换讨论的是由已知原函数求其象函数的问题，但在实际应用中，常会碰到与此相反的问题，即已知象函数如何求原函数。若已知是的拉氏变换，则是的拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换），记为，并定义为如下积分 （1-9）通常对于简单的象函数，可以直接查拉氏变换表求得原函数，拉氏变换表见附表1。对于复杂的象函数，可用部分分式法求得。2-3 典型时间函数的拉氏变换1）单位阶跃函数单位阶跃函数定义为 ， 2）单位脉冲函数单位脉冲函数定义为 ， 3）单位速度函数（单位斜坡函数） ， 4）单位加速度函数（抛物线函数）， 5）指数函数，其中 是常数。 ，令 ， 可求得 6）正弦函数与余弦函数由欧拉公式， 同理 7）幂函数 ()式中2-5拉氏变换的基本性质性质这里介绍拉氏变换的几个主要性质见附表2，掌握这些性质，就可方便地求得一些函数的拉氏变换。下面举例说明拉氏变换性质的应用。例1-2 求若的拉氏变换。解：已知，基本性质1，则有例1-3 求的拉氏变换。解：因，根据拉氏变换的基本性质1可知例1-4 求的拉氏反变换。解：首先将用部分分式法展开：再运用拉氏变换性质，查表求拉氏逆变换： 例1-5 求的拉氏变换。解： 因为，再根据拉氏变换的基本性质4可知例1-6 求的拉氏变换。解： 因为，再根据延时性质，有例1-6 利用积分性质函数求的拉氏变换。解：例1-8 求矩形波的拉氏变换。 解： 图1-2(a)的矩形波可分解为一个单位阶跃信号和一个延迟时间为的负单位阶跃信号，其可表达为 。由延时性质： 又由线性性质 (a) (b)图1-2 矩形波例1-9 求图1-3(a)所示的三角波的拉氏变换。解 方法一：三角波可分解称图1-3所示的图形，可表示为如下解析式：对上式进行拉氏变换，可得整理后，得图1-3 三角波方法二：先求出图1-3(a)所示的三角波的解析式，再运用拉氏变换定义对解析式积分，就可求得三角波的拉氏变换。2-6 求拉氏逆变换方法已知象函数，求原函数的常用方法有两种：其一为查表法，即直接利用拉氏变换表（表1-1），查出相应函数的原函数；其二为部分分式法，首先通过代数运算，将一个复杂的象函数转化为几个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数，最后将它们求和即得总的原函数。例1-10 已知，求解 因为，所以 附表1 常用函数拉氏变换拉氏变换表11234567891011121314151617附表2 拉氏变换的基本性质1线性性质。为常数2微分性质零初始条件下零初始条件下零初始条件下3积分性质零初始条件下