数学家们玩的游戏(二).doc

数学家们玩的游戏（二）古老的里思莫马恰数学游戏里思莫马恰（Rithmomachia）可以算是很具数学性的游戏。玩高级游戏时，必须对数论有很好的了解，并且有高水平的战略。里思莫马恰的历史始于公元11世纪，大概起源于拜占庭或亚历山大大帝时期。知识界使里思莫马恰成为首选的游戏并且认为它胜过象棋，是中世纪的事情。游戏的器具和布置游戏盘是矩形的，由816个方格组成。游戏所用的子具有圆、正方形、三角形或伪角锥的形状。交手的一方所执白子称做偶子，另一方所执黑子称做奇子。每一个游戏者有8个圆、8个三角形、7个正方形和1个角锥。白角锥有6个面，它们是2个三角形（一个的数字是4，另一个是1）、2个圆（36和25）和2个正方形（16和9），数字总和91。黑角锥有5个面，它们是2个三角形（36和25）、2个正方形（64和49）和一个圆（16），数字总和190。子的形状决定着它能走过的格数。例如，正方形能在任何方向走过相邻的4个空格，三角形3格，圆1格，角锥能像圆、三角形或正方形一样走，根据它用哪一面而定。游戏开始时，子的布置如图所示。游戏的目的游戏的目的是吃掉对方的子，并造成某些数字的组合，从而达到胜利。如何吃掉对方的子吃子的方法有潜走子吃和真走子吃。这些方法是：（1）围吃。即从四面包围对方的子，然后将这子吃掉。（2）遇吃。如果你能将一个子走过所需格数后落在对方一个子上，那末你就把对方那个子吃掉，但不必真的走你的子。例如，如果白三角形36走过3格后会落在黑圆36上，就把黑圆36拿掉，但不必真的走白三角形36（此处原文疑有误。按所示附图，标有36的圆应为白圆，标有36的三角形应为黑三角形。译者注）。（3）攻吃。如果一个子将走到对方一个子的旁边，而它的数值乘以它走的格数所得的积正好等于对方那个子的数值，游戏者就把对方子拿掉，但不必真的走子。例如，如果白圆4与黑正方形28之间有7个空格，白圆就把黑正方形吃掉。（4）伏击。如果一个游戏者的两个子能够走到对方一个子的两边，同时这两个子的数值的和等于对方那个子的数值，他就把对方的子吃掉。例如，如果黑三角形12能被白圆4和8夹住，那末黑三角形12就被吃掉，但不必真的走白子。吃掉角锥是困难的（必须用数值91和190），除非用围吃，或者当角锥以正方形为底面放置时按底面正方形的数值（36（此处原文疑有误。按前述，双方角锥的正方形面上只能是9、16、64和 49。译者注）或64）把它吃掉。如果角锥的一面受到一种吃法的威胁，可以收取一笔赎金，即对方的一个子，其数值与受威胁面数值相同，或者是认为可以接受的一个数值。游戏者在比赛开始前商定，怎样算做胜利或比赛结束。下面举出几种结束比赛的可能方式。有些是简单的，另外一些是很复杂和麻烦的。结束比赛即获得胜利的可能方式（1）子数。比赛双方约定以得多少个子为胜。（2）数值和。比赛双方约定一个数值目标。如果比赛一方所得子的数值和等于或大于目标数，此方即为胜者。（3）数值和及总位数。这时获胜与子的总数值及总位数有关。例如，目标数值可以是160，但位数只能等于6。因此得121、9、30三子的一方可以获胜，而得 56、64、28和15四子的另一方则不能（这四子共8位）。（4）子数及数值和。这时获胜与子数及它们的数值有关。例如，可以约定以5个子的总数值恰好等于160为胜。显然比赛双方必须熟悉他们的子的数值及它们加出来的各个和。（5）数值、子数及位数。这时获胜要求满足三个条件特定的数值、特定的子数及特定的各子总位数。下列胜利用于游戏专家，内容涉及算术数列、几何数列及调和数列。所用的子可属于比赛双方，但必须有一子是对方的。（6）大胜利。将被吃掉的3个子排列成算术、几何或调和数列。例如算术数列2，5，8；几何数列2，4，8；调和数列6，8，12。（7