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平移对称多体纠缠态的分类摘要：本文讨论了具有平移对称性的量子比特纠缠的分类问题。通过建立一个能够由两个整体特征：周期模式和循环单元完全确定的态空间的对称基，这些对称基态能被分解成不同的相。纠缠态的等价分类可以从量子相变的观点来理解：不等价的纠缠态必须属于不同的相。并且它们之间的转变必然伴有相变。另外，由不同相组成的态是作为对称破缺相来划分的，因为它具有截然不同的整体特征。关键词：平移对称，纠缠态，周期模式，循环单元，对称基 1、引言 纠缠态的描述有两个基本内容：纠缠态的模式和大小。由于三量子比特和态的发现1，人们意识到在多体系统中可能存在不同形式的纠缠态，它们不能通过彼此转化。从量子信息的观点看，这些纠缠态在处理不同的任务时可能表现出不同的性能。因此，通过对多体纠缠态进行分类是很有意义的。然而这任务是很困难的，哪怕是对简单的四体纠缠态，基于不同的先决条件也存在着很多不同的分类2-4。这困难是因为这样一个事实，多体纠缠态不完全遵循状态的局域特征，而是遵循状态的整体特征。这样一来局域测量就只能呈现有限的纠缠信息。尽管存在这样的困难，针对多体纠缠态的不同方面，一些多体纠缠态的分类方法已经被提出来了。多体态的施密特分解是最早提出的5。此外，所谓的施密特张量的秩也被引入，其中至关重要的是找到直积态基矢的最小分解6。一个可行的方法是找到不变多项式，其中不同的模式可以用来对多体纠缠态进行分类3,7。在以前的研究中一个共同特点是，为了得到多体纠缠态的全部信息人们不得不尽可能多的引入局域测量。现在，多体纠缠态的对称性已经得到广泛的关注13-16，因为它能表现出态的整体特征。然后一个有趣的问题出现了，纠缠态的两个整体特征之间的联系是什么？一些积极的结论已经被得到。例如，通过识别状态的不同的子结构14或者找到Majorana多项式的根15，对具有交换不变性的多体纠缠态的分类已经完成。既然我们承认这样一种观点：纠缠态的整体特征只能从整体的观点来体现，那么，通过限制波函数的整体对称性可能会发现对多体纠缠态的一种分类。这篇文章将为了这一目的而展开。在文章中，通过建立一个平移不变的纠缠态基，一种平移对称的多体纠缠态的分类方法被提出。我们的研究表明，对任意的量子比特系统，通过两个整体特征：周期模式和循环结构，对称的纠缠态能被分解成一些不等价的类别。此外，通过区分不同的拓扑特征，相的概念能被定义。我们证明不同相之间的转换必然伴随着相变。然而由不同基态叠加成的任意态被认为是不对称的，因为它至少是两个不同整体特征的混合。因此，这些叠加态都被统称为对称破缺相。重要的是这些状态在自旋链系统中可以实现，这样一来，这种分类在实验上是有意义的。2、态的平移对称性我们首先提供一个有关态的对称性的一般讨论。态的对称性是这样定义的：定义 1 对一个对称算符，如果 （1）模型态的对称性体现了态的整体特征，根据这些特征不同多体纠缠态能被识别。一个关键的问题是，为了这个目的哪种对称是合适的？我们的答案是平移对称，作为特殊情况，排列对称也包括在内。这是从对纠缠的理解中得到的。事实上纠缠态描述的是单粒子态的相干关联。假设一个单粒子态作为一个格点，如图1.所示我们得到一个由两个体子晶格组成的量子比特系统的晶格模型，在这个图例中，一个量子比特由两个具有相同标识的不同子晶格表示，由叠加系数决定的纠缠态，可以由连接具有不同标识的格点的线来表示，但是没有对应于完全可分状态的线。对于晶格模型平移对称性是很基本的，因此，对于我们的讨论，它是一个可行的选择。此外从实验的观点看，晶格图形表明在固体系统中具有平移对称的纠缠态是很容易得到的（因为它的自然周期结构）。顺便提一下，周期性边界条件是自然而然的假设。应该指出晶格模型仅仅指量子态，不对应任何具体系统。原因是很简单的，对一个给定的态我们能从不同的系统得到它。纠缠态的重要意义是不同单粒子态之间的相干关联。为了方便我们把晶格模型假设为一维情况。图1. 三量子比特纠缠态的图形表示法图2. 量子比特态下算符的平移操作图左矢表示不同的单粒子态，阿拉伯数字代表不同的量子比特。算符符合所有单粒子态的顺时针旋转，它使所有的单粒子态序列保持不变。这样一来，这个单粒子态组被命名为循环单元。 2.2态的平移对称如图，多体纠缠态的平移算符按照图2.所示被定义，其中，单粒子态周期性边界条件表示为。对来说主要的观点是，单粒子态不能被固定在任何确定的量子比特上，而是像图2.那样通过所有单量子态的整体旋转任意转变成其它态。更重要的是，所有单量子态的相对距离在旋转中保持不变。这样一来，在这篇文章中单粒子态组可以被命名为循环单元，它决定着纠缠态的形式。例如，是一个所有可能的循环单元的叠加态（在附录中更多例子能被发现）。这个定义可以被推广到任意的n-level态。应该强调，算符仅仅在单粒子态中被引用，对具体的粒子不适用。2.3 量子比特系统的对称基的构建我们想通过平移算符发现对称基，第一个任务是找到式（1）中可能的值。通过附录中的例子我们能得到观察 1. 对量子比特态，算符的特征值等于其中这结果是不奇怪的，因为图2.中定义的平移算符显示了所有单粒子态旋转的一个循环。因此，算符表现了平面旋转，的值对应于点群的特征值17。为了构建一个对称基，每个基态的循环单元必须是惟一的。对量子系统来说这是很容易满足的，因为只有两个单粒子态和。因此，循环单元是它们可能的组合中的一种，仅受单粒子态总数是的限制。例如，我们在附录中呈现的的对称基。显然，的惟一循环单元是3个单粒子态，相反，的循环单元是4粒子态。这两个状态的共同特征是仅有一应该强调，在循环单元中单粒子态的关系是至关重要的。例如在循环单元中的信息是有两个最近相邻粒子具有状态，另外两个具有另一态。然而，的循环单元提供了这样的信息：下一个最近相邻单粒子态总是相同的，但最近相邻单粒子体有不同的态。另一个例子是，对局域等价的和，尽管循环单元的形式不同，但单粒子态的关系是相同的：有且仅有一个量子比特有与其他都不同的态。因此，所有单粒子态的关系是区分循环单元的惟一标准。此外，不同的循环单元的区别也是非定域的。因此，根据平移对称性它遍布于所有的量子比特。在两个态中消除各项差异的局域算符不存在。结论是，循环单元的概念能够作为多体纠缠态分类的一个标准。除了循环单元，周期模式是态的另一个整体特征。例如附录所显示的，对4体情况对称态有两部分，即两周期和四周期。很显然，有两项，因为循环单元是两个重复“”，而有四项因为它的循环单元没有像前者一样的重复的子结构，为了显示所有的形式就不得不通过旋转三次。应该指出，这个定义是和施密特张量秩想法一样的，通过它两个局域等价的态显示出相同的张量秩6。对于对称态，周期模式完全限制着状态中叠加项的数量，它不可避免的成为最小形式，因为，任何额外的项或任何项的缺乏将破坏态的平移对称性。这样一来，项的数目n也是一个态的整体特征，即这里所谓的n周期。观察 2. 量子比特系统，存在n周期或m周期平移不变的状态，除了n=1或m=1的情况。由点群理论这结果可以被理解，对，人们已经分解。也就是说点群是子组和的直积。例如，17。对于对称态，这意味着不同的平移对称结构能被态的周期模式所标记。N=3,4,5,6量子比特系统的对称基已经在附录中给出。对单量子比特系统，结构是很简单的，因为在循环单元中仅有两个单粒子态和，并且它们的相对距离是双晶格模型。如附录2.所描述，平移对称的态是循环以后所有可能的形式组成的。此外，叠加项间的相位差也是重要的，因为它导致不同的值。在对称态中两个有趣的观点被提出，第一，对称基的结构有相同的宇称。例如，在3量子比特情况下扮演一个独立的角色，因为对其它的状态它们是不等价的。相反，尽管我们仍然能定义，但是因为有等式，所以它们的角色是和两周期对称态重叠的。在5和6量子比特情况下也能发现相似的情况。因此，有一个直接的推测，甚至哪怕是对，类GHZ态将像两周期对称态一样行为，然而，对奇数它有与其它对称态不同的特征。这影响明显取决于量子比特数的宇称，并且它也是态空间的一个整体特征。此外，在处理不同的量子信息任务时，态的两种形式将表现出不同的性能。第二，在文章中我们讨论类W态是平移不变的而不是互换不变，原因通过限制项之间的相位差可以被证明：尽管在这种情况下互换对称被破坏，但通过选择合适的相位差平移对称可以被保持。例如，在中。人们可以很容易的验证，对Dicke态这种情况是不存在的，因为为了保持平移对称它不得不使所有项同相。有趣的是，由于所有的单粒子态是同一个，所以类GHZ态的互换对称强烈干扰着相变。3、对称态的分类：概述个循环单元，分别为和。在算符作用后状态由循环单元中3.3 推广到任意态 在这种情况下有两种情形，一种是当多体量子态完全可分时。像我们知道的，通过局域幺正算符完全可分态是局域等价的。因为没有任何纠缠，完全可分态是能够作为经典相被分类的。 因为由不同的整体纠缠组成，一般纠缠态在对称基下能够被分解，我们称它为混合型。然后可以发现两种情况，一种是有不同值的状态的叠加，在这种情形下平移对称性必然被破坏。另一种是有相同值的状态的叠加，尽管平移对称保存了下来，这种状态仍然包括不同的周期模式和循环单元。因此整体对称也是被破坏的。这样一来，所有的混合态能被作为对称破缺相被划分。4、结论如图3.所示，相的图解被构建，根据纠缠态的性质，可以划分为两大类别：经典相和量子相。应该强调，量子相这一术语是用来强调纠缠态和完全可分态的，以区别于凝聚态中相的定义18。量子相有两小类，当平移不变性被限