2014高考数学专题——直线与双曲线的位置关系.docx

多抽出一分钟时间学习，让你的人生更加精彩！ 2020-1-16直线和双曲线的位置关系从近两年的高考试题来看,与椭圆相比,高考对双曲线的要求较低,重点考查双曲线的定义、标准方程、图形及几何性质等基础知识,题型大多为选择题、填空题,考查双曲线的定义、几何性质、基本运算能力,有时也会出现在解答题(如2011年高考江西卷理科第20题),难度为中等偏高,考查灵活运用数形结合、函数方程的思想、等价转化的思想,考查逻辑推理能力、分析问题解决问题的能力.一、要点精讲1直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.设双曲线方程，直线Ax+By+C=0, 将直线方程与双曲线方程联立,消去y得到关于x的方程mx2+nx+p=0, (1)若m0,当0时,直线与双曲线有两个交点；当=0时,直线与双曲线只有一个公共点；当0时,直线与双曲线无公共点. (2)若m=0,则直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲线的渐近线平行. 2弦长公式：设直线交双曲线于，则，或二、基础自测1经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条2直线y= kx与双曲线不可能（ ）（A）相交 （B）只有一个交点 （C）相离 （D）有两个公共点3过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是(A) (B) (C) (D) 4若一直线平行于双曲线的一条渐近线，则与双曲线的公共点个数为 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5经过双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是 6直线在双曲线上截得的弦长为4，且的斜率为2，求直线的方程三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1过双曲线2x2y220的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|4，则这样的直线有()A4条 B3条 C2条 D1条解：过双曲线右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若lx轴，则|AB|4；若l经过顶点，此时|AB|2，因此当l与双曲线两支各交于一点A、B时，满足|AB|4的直线有两条，故选B.2、若直线ykx2与双曲线x2y26的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A. B. C. D.解：直线与双曲线右支相切时，k，直线ykx2过定点(0,2)，当k1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线yx2时，直线与双曲线右支有两个交点，k0进行验证即可10(2012浙江)如图，F1，F2分别是双曲线C：1(a，b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|F1F2|，则C的离心率是()A. B. C. D. 解：依题意得直线F1B的方程为yxb，M点坐标为(3c,0)，那么可知线段PQ的垂直平分线的方程为y(x3c)，由得点P， 由得点Q ，那么可得线段PQ的中点坐标为，代入y(x3c)并整理，可得2c23a2，可得e，故应选B.11. 已知双曲线的右焦点为F，过F且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于M,N两点，若，求该双曲线的离心率12. 设双曲线与直线相交于不同的点A、B.求双曲线的离心率的取值范围；设直线与轴的交点为，且，求的值。解：(1)将yx1代入双曲线y21中得(1a2)x22a2x2a20 由题设条件知，解得0a且a1， 又双曲线的离心率e，0a且e.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1) ， (x1，y11)(x2，y21)x1x2，x1、x2是方程的两根，且1a20， x2，x，消去x2得， a0，a.13、双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的方程; (2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)，当，且时，求Q点的坐标. 解： (1)设双曲线的方程为. 由椭圆，求得两焦点为(-2,0)，(2,0)，对于双曲线C:c=2. 又为双曲线C的一条渐近线, ，又a2+b2=c2=4，解得a2=1，b2=3. 双曲线C的方程为. 【点评】有关直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常转化为一元二次方程根的问题来讨论,从而可以利用根与系数之间的关系转化为含有特定系数的方程来求解. 注意直线与双曲线有一个公共点的情况时,只讨论是不够的,还应讨论二次项系数等于0的情况,此时解得的斜率k恰好等于双曲线渐近线的斜率,这样的直线l与双曲线相交,但交点只有一个,所以,直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件,而对于椭圆则是充要条件. 14已知点M是圆B：(x2)2y212上的动点，点A(2,0)，线段AM的中垂线交直线MB于点P.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若直线l：ykxm(k0)与曲线C交于R，S两点，D(0，1)，且有|RD|SD|，求m的取值范围解：(1)由题意得|PM|PA|，结合图形得|PA|PB|BM|2，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a2，a，c2，于是b1，故P点的轨迹C的方程为y21.(2)当k0时，由得(13k2)x26kmx3m230，(*)由直线与双曲线交于R，S两点，显然13k20，(6km)24(13k2)(3m23)12(m213k2)0，设x1，x2为方程(*)的两根，则x1x2，设RS的中点为M(x0，y0)，则 x0，y0kx0m，故线段RS的中垂线方程为 y.将D(0，1)代入化简得4m3k21， 故m，k满足消去k2即得m24m0，即得m0或m4，又4m3k211，且3k210， m，且m0， m(4，)15、已知双曲线1(ba0)，O为坐标原点，离心率e2，点M(，)在双曲线上(1) 求双曲线的方程；(2) 若直线l与双曲线交于P，Q两点，且.求的值解： (1)e2，c2a，b2c2a23a2，双曲线方程为1，即3x2y23a2.点M(，)在双曲线上，1533a2.a24.所求双曲线的方程为1.(2)设直线OP的方程为ykx(k0)，联立1，得|OP|2x2y2. 则OQ的方程为yx，同理有|OQ|2， .16已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。解：(1)设双曲线C的方程为1(a0，b0)，由已知得a，c2，再由c2a2b2得b21，所以双曲线C的方程为y21.(2)将ykx代入y21，整理得(13k2)x26kx90，由题意得故k2且k21，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xAxB，xAxB，由 得xAxByAyB2，又xAxByAyBxAxB(kxA)(kxB)(k21)xAxBk(xAxB)2(k21)k2， 于是2，即0，解不等式得k23， 由得k21， 所以k的取值范围为.17已知点M是圆B：(x2)2y212上的动点，点A(2,0)，线段AM的中垂线交直线MB于点P.(1) 求点P的轨迹C的方程；(2) 若直线l：ykxm(k0)与曲线C交于R，S两点， D(0，1)，且有|RD|SD|，求m的取值范围解：(1)由题意得|PM|PA|，结合图形得|PA|PB|BM|2，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a2，a，c2，于是b1，故P点的轨迹C的方程为y21.(2)当k0时，由得(13k2)x26kmx3m230，(*)由直线与双曲线交于R，S两点，显然13k20，(6km)2