概率论与数理统计(1).doc

第一部分 随机事件及其概率1. 从26个不同的英语字母中任取三个不同的英文字母来排列，求它是boy的概率。 解：设A组成boy 2. 在1-9这九个自然数中任取三个数，求它们之和为10的概率。 解：设A任取三个数之和为10 3. 1. 从1，2，3，4，5，6，7，8中不重复地任取三个数组成一个三位数，求它是奇数的概率。 解：设A组成的三位数为奇数 2. 从1，2，3，4，5，6，7中不重复地任取三个数组成一个三位数，求它是奇数的概率。 解：设A组成的三位数为奇数 4. 已知， 求。 解：； 5. 现有55个都是由两个不同的英文字母组成的单字. 若从26个不同的英文字母中任取两个不同的英文字母来排列，则能排成与现有的55个单字中某一个相同的概率为_ 解：设A能排成与现有的55个单字中的某一个相同的单字 6. 设袋中有5个白球，3个黑球和2个红球，从中任取三个，求其中无同色球的概率. 解：设A取到无同色球 7. 把某骰子随机抛两次，求出现的点数之和为10的概率。 解：设A出现的点数之和为10 8. 设 证明. 证明：； 且 9. 设 求. 解： 10. 设A与B独立， 求. 解： 11. 设. 证明 当时，A与B必不互斥. 证明：反证法 设，则 与条件矛盾. 与必不互斥12. 甲、乙和丙三人独立地向同一目标射出一次. 已知各人的命中率依次为0.4，0.6，0.7，求此目标被击中的概率.解：设A甲射手击中目标 B乙射手击中目标 C丙射手击中目标 A+B+C目标击中 13. 甲乙丙三人投篮，他们的命中率依次为0.9，0.8，0.7，现每人各投一次， 求（1）至少有两人投进的概率；（2）最多有两人投进的概率。 解：设ABC分别表示甲乙丙投进，它们是相互独立的事件组 （1） =0.90.80.3+0.90.70.2+0.10.80.7+0.90.80.7=0.902 （2）14. 设A与B独立，证明与，与，与相互独立 证明： 与相互独立 与相互独立 与相互独立15. 设，证明必有，而且. 证明： 与为对立事件，必互斥， 于是， 又， 第二部分 随机变量及其数字特征1. 设X的概率分布为，其分布函数为F（x）,求F（2.5）. 解： 2. 设X的密度函数为 ， 求c. 解： 3. 设X的密度函数为 ， 求c.解：4. 设，则对于，求。解： 5. 设随机变量X服从参数为2的指数分布，则=_。 解： 6. 设，求和.解： 7. 设，如果，求出p和n.解： 8. 设，求.解： 9. 设随机变量X服从普阿松分布，求=。 解： 10. 设连续型随机变量X的密度函数为， . 求.解：， 11. 已知二维随机变量的联合分布如下表 则_, _, _, _12. 已知的联合概率分布为，分别求出X和Y的边际概率分布，并求出：和. 并问X与Y是否独立，是否不相关？解: X与Y相关 X与Y不独立13. 已知的联合概率分布为，分别求出X和Y的边际概率分布，并求出： ，和，. 并问X与Y是否独立，是否不相关？解： X与Y不相关全有的X与Y相互独立14. 已知的联合概率分布为，分别求出X和Y的边际概率分布，和，. 并问X与Y是否独立，是否不相关？解： X与Y不相关全有的 X与Y相互独立15已知二维随机向量的联合概率分布如下表所示， 求，. 并问X与Y是否独立，是否不相关？解：X与Y不相关X与Y不独立16.设随机变量X和Y的取值集同为-1，0，和1. 若已知以外，在其余处的联合概率都是. 试写出二维随机向量的联合概率分布和两个边际概率分布，并问X与Y是否独立，是否不相关？解： X与Y不相关X与Y不独立第三部分 参数估计与假设检验1. 设为未知参数，为其样本，证明 为的无偏估计。证明：总体服从区间上均匀分布， 为的无偏估计2. 设为未知参数，为其样本，证明为 的无偏估计。证明：总体X服从区间上的均匀分布 为的无偏估计3. 设为未知参数，为其样本，证明为的无偏估计。 证明：总体X服从区间上的均匀分布 为的无偏估计4. 设. 已知， 求的置信区间. .(已知 )解： 的95%置信区间为（31216，32784）5. 设. 已知，求的置信区间. 。(已知 。)解： 又 的90%置信区间为（2.1175，2.1325）6. 在某小学7岁男童中随机抽取10人测得身高（cm）为118.2，114.3，112.7，117.2，113.2，116，120.4，120.1，119.1，120.5身高服从正态分布，试求7岁男童身高期望的置信水平为0.95的置信区间。解： 的95%置信区间为（115.03，119.31）7. 从同一批号的阿司匹林片中抽取10片，测定其溶解50%所需的时间结果如下：5.3，3.6，5.1，6.6，4.9，6.5，5.2，3.7，5.4，5.0求总体均数的置信水平为0.95的置信区间。解： 总体均数的置信水平为95%的置信区间为（4.43，5.83）8. 设. 已知，求的置信区间。（已知 ，）.解：已知， 的95%置信区间为（19.979，140.741）9. 测量一孔的直径。六次得直径平均值为，样本方差。设孔直径服从正太分布，求孔直径的置信水平为0.95的置信区间。解： 孔直径的置信水平为0.95的置信区间为（1.4713，1.5187）10. 设. 已知，检验，. （取 已知，）.解： 拒绝 接受11. 设，为未知参数。已知，检验，. （取 已知 ）解： ， 拒绝 接受 12. 正常人的脉搏平均为72次/分，现医生测得10例慢性四乙基铅中毒患者的脉搏（次/分）如下：54，67，68，78，70，66，67，70，65，69，试检验四乙基铅中毒患者和正常人的脉搏是否相同？（已知 ） 解： 取 拒绝 接受13. 某厂生产乐器用合金弦线，其抗拉强度服从均值为105