教师版奇偶性.doc

专题：函数的奇偶性 知识梳理 1、 偶函数：对于函数的定义域内的任意实数，都有2、 奇函数：对于函数的定义域内的任意实数，都有3、 函数有奇偶性，定义域一定关于原点对称；反之不一定成立，如。4、 偶函数的图像关于_轴对称_对称，奇函数的图像关于坐标原点对称。特别地，当奇函数在处有定义时，必有_ 【证明：】5、 若既是奇函数又是偶函数，则_【证明：，又，故】典例精讲 例1. ()判断下列函数的奇偶性， ； ； ； ； ； ； ； 解：奇函数： 偶函数： 非奇非偶函数： 既奇又偶函数：.例2. ()判断下列函数的奇偶性：(1) ； (2) ； (3) ；突破口：判断函数的单调性，用定义法。解：(1) ,定义域关于原点对称。 ，故为奇函数。（2），故是既奇又偶的函数；（3），定义域关于原点不对称，故是非奇非偶的函数。巩固练习:1. ()若函数与的定义域均为，则 ( )A与均为偶函数 B. 为偶函数，为奇函数C与均为奇函数 D.为奇函数，为偶函数解:,选B2. ()已知函数，试讨论的奇偶性；解：定义域为，所以 为奇函数；。例3. ()已知函数为奇函数，若，则 突破口：利用与、与之间的关系。解：。巩固练习:()设函数是奇函数. 若，则 .解：，。例4. ()函数的图像关于 ( )A轴对称 B直线对称 C坐标原点对称 D直线对称解：C巩固练习:()函数的图像关于 ( )A轴对称 B直线对称 C坐标原点对称 D直线对称解： 是偶函数，图像关于轴对称. 故选A.例5. ()设是定义在上的函数，当时，当为奇函数时，函数的解析式是 ;当为偶函数时，函数的解析式是 .解：当时，若是奇函数，则。若是偶函数，则。巩固练习:()已知是上的奇函数，且当时，则 .解：当时，是上的奇函数，故。当时，故 。所以，。例6. ()设，若函数是奇函数，则的值为 .突破口：已知函数的奇偶性，求参数的值时，可以利用特殊值法，比如取解：函数是奇函数，且有意义，故 ，。小结：巩固练习:1. ()若函数为奇函数，则 .解： 且由奇函数的定义域关于原点对称，故。2. ()若定义在上的函数是偶函数，则实数 .解：偶函数的定义域关于原点对称，故 。例7. ()已知函数，试讨论函数的奇偶性；解：当时，故函数是一个偶函数；当时，取特殊值：，故函数是非奇非偶函数. 提醒：当时，利用和的关系也可。例8. ()判断下列函数的奇偶性：（1）； （2） （3） （4）(5) (6)突破口：判断函数的单调性，用定义法。解：(1) ,定义域关于原点对称。 ， 故在上为奇函数；小结：指数形式要进行化简，和的形式一般要通分。（2），定义域关于原点不对称，故是非奇非偶的函数；小结：形如的分式不等式的解一般关于原点不对称。（3）,定义域关于原点对称。当时，； 当时，； 故在上为奇函数；（4），定义域关于原点对称。 从而， ，。 故在上为奇函数；(5) ,; 故 在上是奇函数。(6) 定义域，所以是奇函数例9. ()已知是偶函数，且其定义域为，则= ，= 。突破口：对形如的二次函数，对称轴为。若二次函数为偶函数，则 ，一次项系数为零。解: 是偶函数,一次项系数为，则 。 定义域关于原点对称，故。例11. ()设（为实常数）（1） 当时，证明：不是奇函数；（2） 设是奇函数，求与的值；解：（1）举出反例即可，所以，不是奇函数； （2）是奇函数时，即对定义域内任意实数成立化简整理得，这是关于的恒等式，所以，所以或 经检验都符合题意 例12. ()若定义在上的函数，均为奇函数，设(1) 若，求的值；(2) 若在上有最大值为4，求在上的最小值解：（1）由题意，； ；（2）由题意，为奇函数。在上有最大值为4，则函数在上有最大值为3.当时，；当时， 故在上的最小值是。例13. （）设函数，其中为已知实常数，下列关于函数的性质判断正确的命题的序号是_若，则对任意实数恒成立；若，则函数为奇函数；若，则函数为偶函数；解析：。选巩固练习：（）设函数，其中、（，）为已知实常数，. 下列关于函数的性质判断正确的命题的序号是_ 若，则对任意实数恒成立； 若，则函数为奇函数； 若，则函数为偶函数；解：例14. （）如图，在直角坐标平面的正六边形,中心在原点，边长为, 平行于轴，直线(为常数)与正六边形交于两点，记的面积为，则关于函数的奇偶性的判断正确的是 （ ）A一定是奇函数B定是偶函数C既不是奇函数，也不是偶函数 D奇偶性与有关解： 设点关于原点的对称点，点关于原点对称的点为，知、在正六边形上。当直线在某一个确定的位置时，对应有一个值，那么易得直线的斜率仍为，对应的截距为，显然的面积与的面积相等。选B。巩固练习：（）已知椭圆及以下3个函数：；，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有 （ ）.0个 1个 .2个 .3个 解：奇函数关于原点对称，能等分椭圆，偶函数不能，故满足，选C。例15. （）已知函数的定义域为，（1）试证：函数是偶函数, 是奇函数；（2）试将函数表示为一个奇函数和一个偶函数的和。突破口：注意第（1）、（2）小问之间的关联。解: （1）， 故 是偶函数，是奇函数。（2）由（1）得， 故 ，其中是偶函数，是奇函数。小结：对任意一个函数，其中为对称区间，函数一定可以表示成一个偶函数加一个奇函数。形式如下： ，其中，为偶函数，为奇函数。例16. （）已知函数为定义在上的函数，则命题“存在，使且”是命题“为非奇非偶函数”的_条件。突破口：说明一个函数不具有奇偶性通常是举反例的。解：充分非必要充分性:存在，使，说明函数不是偶函数；存在，使，说明函数不是奇函数.故是非奇非偶函数。 不必要：，对任意，都有或巩固练习：（）有这么一个数学问题：“已知奇函数的定义域是一切实数,且，求的值”。请问的值能否求出，若可以，请求出的值；若不可以请说明理由（只需说理由）。_解:不行，因为缺少条件：是单调的，或者是与之间是一一对应的例17. （）设函数（1）若函数为偶函数且图像关于直线对称，求证为周期函数（2）若函数为奇函数且图像关于直线对称，求证 是以为周期的函数（3）请对（2）中求证的命题进行推广，写出一个真命题，并予以证明解：（1）由图像关于对称得，即， 因为为偶函数，所以，从而，所以是以为周期的函数（2）若为奇函数，则图像关于原点对称， 由条件得，所以， 是以为周期的函数 （3）推广：若函数图像关于点对称且关于直线对称，则函数是以为周期的周期函数由条件图像关于点对称，故，又图像关于直线对称，所以，即当时，为常值函数，是周期函数当时，由，得，因此，所以是以为周期的函数课后练习 1. ()已知函数是奇函数，则实数 .解：由奇函数定义有得，故。2. ()设是定义在上的奇函数. 若当时，,则= .解：-13. ()已知函数是定义在上的偶函数. 当时，则当时， .解：4. ()已知函数，判断此函数的奇偶性；解：， ，是奇函数。5. ()下列函数中，在其定义域内是非奇非偶函数的是 ( )A. B. C. D.解：B6. ()判断函数的奇偶性。解：，定义域关于原点不对称，故函数是非奇非偶的。错误解法：，故，是偶函数。 函数在化简过程中忽略了等价性，改变了定义域，因此得到错误结论。小结：判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称。有时对函数进行化简整理，但必须注意不能改变函数的定义域。7. ()已知函数是偶函数，试求的值； 解：对称轴为轴，。 8设函数是定义在R上周期为3的奇函数，且，则 _09设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则 . 10设函数为奇函数，则_11已知函数是上的偶函数，是上的奇函数，则的值为_12设、，且，若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是_13函数是奇函数的充要条件是( A )(A) (B) (C) (D)14设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）D； ； 15 是上的奇函数，且满足，当时， 则 16设是定义在R上的奇函数，且满足，则实数的取值范围是 x0y123y=f(x)y=g(x)17已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为-3，3，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是 18若偶函数满足，且当时，则函数的零点个数为 个1019记，已知函数是偶函数（为实常数），则函数的零点为 .（写出所有零点）20已知函数，则满足的的取值范围是 21已知函数是上的偶函数，当时，有关于的方程有且仅有四个不同的实数根，若是四个根中的最大根，则= 22函数的最大值和最小值分别为，则_【答案】223设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，则函数在 上的解析式是 【答案】24设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数如果定义域为的函数是奇函数，当时，且为上的8高调函数，那么实数的取值范围是 【答案】25 设函数是定义域为R的奇函数（1）求k值；（2）若f(1)0，试判断函数单调性并求使不等式恒成立的的取值范围；（3）若f(1)，且g(x)a 2xa - 2x2m f(x) 在1，)上的最小值为2，求m的值解(1)f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)0， 2分1-（k1）0，k2， 4分（2）6分单调递减，单调递增，故f(x)在R上单调递减。 7分不等式化为恒成立， 8分，解得。 10分(3)f(1)，即12分g(x)22x22x2m(2x2x)(2x2x)22m(2x2x)2.令tf(x)2x2x，由(1)可知f(x)2x2x为增函数x1，tf(1)，令h(t)t22mt2(tm)22m2(t)15分若m，当tm时，h(t)min2m22，m2 16分若m，舍去17分综上可知m2. 选做习题1. （）函数的定义域为，若与都是奇函数，则 ( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数解: 与都是奇函数， 函数关于点，及点对称， 函数是周期的周期函数.，即是奇函数。故选D.2. （）设函数在上满足, 且在上只有. 试判断函数的奇偶性.解：由 在上只有， 故为非奇非偶函数。 3. （）已知函数，且与的图像在轴上的截距相等（1）求的值；（2）若，试讨论函数的奇偶性解：（1）由题意，即，又，故 （2），其定义域为， 若为偶函数，即，则有，此时，故，即不为奇函数；若为奇函数，即，则，此时，故，即不为偶函数；综上，当且仅当时，函数为偶函数，且不为奇函数， 当且仅当时，函数为奇函数，且不为偶函数， 当时，函数既非奇函数又非偶函数 4.（）已知函数 的定义域为，且对任意，都有。若，则 .解：由，得代入，得，整理，得，解得所以，。基础题选做1已知函数是偶函数，则一定是函数图象的对称轴的直线是（C ）A、 B、 C、 D、2函数y=f(x)与y=g(x)的图象如所示： 则函数y=f(x)g(x)的图象可能为( D ) 3（与三角有关的奇偶性）已知函数 （x）=sin(x+j)+cos(x+j)为奇函数，则j的一个取值可为（ B ）A 0 B C D 把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m个单位之后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是（ C ）A B C D 若(x)= asin(x+)+3sin(x-)是偶函数，则a=_(答案:-3)把曲线C:y=sin(-x)cos(x+)向右平移a(a0)个单位,得到曲线C,若曲线C关于点(,0)对称,则a的最小值是_(答案:)4 已知函数（x）=lg(10x+1) +ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b=_（解、可求得a= b=1 则有a+b= ）5 设定义于-2，2上的偶函数在区间0，2上单调递增，若（1-m）（m），求实数m的取值范围（解、-1m）6设是上的任意函数，下列叙述正确的是（C）A、是奇函数； B、是奇函数；C、是偶函数； D、是偶函数7若函数是奇函数，则a= .8 已知函