4《概率论与数理统计》(韩旭里 谢永钦版)习题一及答案.pdf

1 习题四 习题四 1 设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 2 P 1 8 1 2 1 8 1 4 求 E X E X2 E 2X 3 解 解 1 11111 1 012 82842 E X 2 22222 11115 1 012 82844 E X 3 1 23 2 3234 2 EXE X 2 已知 100 个产品中有 10 个次品 求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望 方差 解 解 设任取出的 5 个产品中的次品数为 X 则 X 的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 5 90 5 100 C 0 583 C 14 1090 5 100 C C 0 340 C 23 1090 5 100 C C 0 070 C 32 1090 5 100 C C 0 007 C 41 1090 5 100 C C 0 C 5 10 5 100 C 0 C 故 0 583 00 340 1 0 070 20 007 30 40 5E X 0 501 5 2 0 ii i D XxE XP 222 00 501 0 583 1 0 501 0 340 50 501 0 0 432 3 设随机变量 X 的分布律为 X 1 0 1 P p1 p2 p3 且已知 E X 0 1 E X2 0 9 求 P1 P2 P3 解 解 因 123 1PPP 又 12331 1 010 1E XPPPPP ii 2222 12313 1 010 9E XPPPPP iii 由 联立解得 123 0 4 0 1 0 5 PPP 4 袋中有 N 只球 其中的白球数 X 为一随机变量 已知 E X n 问从袋中任取 1 球为白 球的概率是多少 解 记 A 从袋中任取 1 球为白球 则 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 2 0 N k P AP A XkP Xk i全概率公式 00 1 1 NN kk k P XkkP Xk NN n E X NN i 5 设随机变量 X 的概率密度为 f x 0 21 2 10 其他 xx xx 求 E X D X 解 解 12 2 01 dd 2 dE Xxf xxxxxxx 2 1 3 32 0 1 1 1 33 x xx 12 2232 01 7 dd 2 d 6 E Xx f xxxxxxx 故 22 1 6 D XE XE X 6 设随机变量 X Y Z 相互独立 且 E X 5 E Y 11 E Z 8 求下列随机变量 的数学期望 1 U 2X 3Y 1 2 V YZ 4X 解 解 1 231 2 3 1E UEXYE XE Y 2 53 11 144 2 4 4 E VE YZXE YZE X 4 Y ZE YE ZE X i因独立 11 84 568 7 设随机变量 X Y 相互独立 且 E X E Y 3 D X 12 D Y 16 求 E 3X 2Y D 2X 3Y 解 解 1 32 3 2 3 32 33 EXYE XE Y 2 22 23 2 3 4 129 16192 DXYD XDY 8 设随机变量 X Y 的概率密度为 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 3 f x y 其他 求 E XY 解 解 方法一 先求 X 与 Y 的均值 1 0 2 2 d 3 E Xxx x i 5 5 500 ed5e de d5 1 6 z y yzz E Yyyzzz 令 由 X 与 Y 的独立性 得 2 64 3 E XYE XE Y i 方法二 利用随机变量函数的均值公式 因 X 与 Y 独立 故联合密度为 5 2 e 01 5 0 y XY xxy f x yfxfy i 其他 于是 11 5 2 5 5005 2 2 ed d2ded64 3 yy E XYxyxx yxxyy ii 10 设随机变量 X Y 的概率密度分别为 fX x 0 0 0 2 2 x x x e fY y 0 0 0 4 4 y y y e 求 1 E X Y 2 E 2X 3Y2 解 解 22 2 0 00 d2ed e ed xxx X Xxfxxxxxx i 2 0 1 ed 2 x x 4 0 1 d4edy 4 y Y E Yyfyyy i 2224 2 0 21 d4ed 48 y Y E Yy fyyyy i 从而 1 113 244 E XYE XE Y 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 4 2 22 115 23 2 3 23 288 EXYE XE Y 11 设随机变量 X 的概率密度为 f x 0 0 0 4 1 4 x x x e 为确保消费者的利益 工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换 若售出一台设备 工厂获利 100 元 而调换一台则损失 200 元 试求工厂出售一台设备赢利的数学期望 解 解 厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值 100 元和 200 元 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 5 41 4 1 1 100 1 ede 4 x P YP Xx 1 4 200 1 1 e P YP X 故 1 41 41 4 100 e 200 1 e 300e20033 64E Y 元 14 设 X1 X2 Xn是相互独立的随机变量 且有 E Xi D Xi 2 i 1 2 n 记 n i i SX n X 1 2 1 S2 n i i XX n 1 2 1 1 1 验证 XE XD n 2 2 验证 S2 1 1 1 2 2 n i i XnX n 3 验证 E S2 2 证 证 1 111 1111 nnn iii iii E XEXEXE Xnuu nnnn i 22 111 111 nnn iiii iii D XDXDXXDX nnn i之间相互独立 2 2 2 1 n nn i 2 因 22 222 1111 2 2 nnnn iiiii iiii XXXXXXXnXXX 22 22 11 2 nn ii ii XnXX nXXnX i 故 2 22 1 1 1 n i i SXnX n 3 因 2 ii E Xu D X 故 2222 iii E XD XEXu 同理因 2 E Xu D X n 故 2 2 2 E Xu n 从而 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 6 22 222 11 11 11 nn ii ii E sEXnXEXnE X nn 2 2 1 2 2222 1 1 1 1 n i i E XnE X n nunu nn ii 15 对随机变量 X 和 Y 已知 D X 2 D Y 3 Cov X Y 1 计算 Cov 3X 2Y 1 X 4Y 3 解 解 Cov 321 43 3 10Cov 8 XYXYD XX YD Y 3 2 10 1 8 328 因常数与任一随机变量独立 故 Cov X 3 Cov Y 3 0 其余类似 16 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 f x y 22 1 1 0 xy 其他 试验证 X 和 Y 是不相关的 但 X 和 Y 不是相互独立的 解 解 设 22 1 Dx yxy 22 1 1 d dd d xy E Xxf x yx yx x y 2 1 00 1 cosd d0 rr r i 同理 E Y 0 而 Cov d dX YxE xyE Yf x yx y i 22 2 1 2 00 1 11 d dsincosd d0 xy xy x yrr r 由此得0 XY 故 X 与 Y 不相关 下面讨论独立性 当 x 1 时 2 2 1 2 11 12 d1 x X x fxyx 当 y 1 时 2 2 1 2 11 12 d1 y Y y fyxy 显然 XY fxfyf x y i 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 7 故 X 和 Y 不是相互独立的 17 设随机变量 X Y 的分布律为 1 0 1 1 0 1 1 8 1 8 1 8 1 8 0 1 8 1 8 1 8 1 8 验证 X 和 Y 是不相关的 但 X 和 Y 不是相互独立的 解 解 联合分布表中含有零元素 X 与 Y 显然不独立 由联合分布律易求得 X Y 及 XY 的 分布律 其分布律如下表 X 1 0 1 P 3 8 2 8 3 8 Y 1 0 1 P 3 8 2 8 3 8 XY 1 0 1 P 2 8 4 8 2 8 由期望定义易得 E X E Y E XY 0 从而 E XY E X E Y 再由相关系数性质知 XY 0 即 X 与 Y 的相关系数为 0 从而 X 和 Y 是不相关的 又 331 1 1 1 1 888 P XP YP XY i 从而 X 与 Y 不是相互独立的 18 设二维随机变量 X Y 在以 0 0 0 1 1 0 为顶点的三角形区域上服从均 匀分布 求 Cov X Y XY 解 解 如图 SD 1 2 故 X Y 的概率密度为 题 18 图 2 0 x yD f x y 其他 X Y 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 8 d d D E Xxf x yx y 11 00 1 d2d 3 x xxy i 22 d d D E Xx f x yx y 11 2 00 1 d2d 6 x xxy 从而 2 22 111 6318 D XE XE X 同理 11 318 E YD Y 而 11 00 1 d d2d dd2d 12 x DD E XYxyf x yx yxy x yxxy y 所以 1111 Cov 123336 X YE XYE XE Y i 从而 1 Cov 1 36 2 11 1818 XY X Y D XD Y i 19 设 X Y 的概率密度为 f x y 1 sin 0 0 222 0 xyxy 其他 求协方差 Cov X Y 和相关系数 XY 解 解 2 2 00 1 d ddsin d 24 E Xxf x yx yxxxyy i 2 22 22 00 1 dsin d2 282 E Xxxxyy i 从而 2 22 2 162 D XE XE X 同理 2 2 4162 E YD Y 又 2 2 00 dsin d d1 2 E XYxxyxyx y 故 2 4 Cov 1 2444 X YE XYE XE Y i 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 9 2 22 222 4 Cov 4 8 164 8 32 8 32 2 162 XY X Y D XD Y i 20 已知二维随机变量 X Y 的协方差矩阵为 41 11 试求 Z1 X 2Y 和 Z2 2X Y 的相关 系数 解 解 由已知知 D X 1 D Y 4 Cov X Y 1 从而 1 2 2 4 4Cov 14 44 113 2 4 4Cov 4 144 14 D ZD XYD XD YX Y D ZDXYD XD YX Y 12 Cov Cov 2 2 Z ZXYXY 2Cov 4Cov Cov 2Cov 2 5Cov 2 2 1 5 12 45 X XY XX YY Y D XX YD Y 故 12 12 12 Cov 55 13 26 134 Z Z Z Z D ZD Z i 21 对于两个随机变量 V W 若 E V2 E W2 存在 证明 E VW 2 E V2 E W2 这一不等式称为柯西许瓦兹 Couchy Schwarz 不等式 证 证 令 2 g tE VtWtR 显然 2222 0 2 g tE VtWE VtVWt W 222 2 E Vt E VWtE WtR ii 可见此关于 t 的二次式非负 故其判别式 0 即 222 0 2 4 E VWE WE V i 222 4 E VWE VE W i 故 222 E VWE VE W i 22 假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数 1 5 的指数分布 设备定时开机 出现 故障时自动关机 而在无故障的情况下工作 2 小时便关机 试求该设备每次开机无故障 工作的时间 Y 的分布函数 F y 解 解 设 Y 表示每次开机后无故障的工作时间 由题设知设备首次发生故障的等待时间 X E 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 10 E X 1 5 依题意 Y min X 2 对于 y 0 f y P Y y 0 对于 y 2 F y P X y 1 对于 0 y 12 5 1210 20 10 1 X X X 若 若 若 问 平均直径 取何值时 销售一个零件的平均利润最大 解 解 10 20 1012 5 12 E TP XPXP X 10 20 1012 5 12 10 20 12 10 5 1 12 25 12 21 10 5 P XuuPuXuuP Xuu uuuu uu 故 2 2d 1 25 12 1 21 10 1 0 e d2 x E T uux u 令 这里 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 11 得 22 12 2 10 2 25e21e uu 两边取对数有 22 11 ln25 12 ln21 10 22 uu 解得 1251 11ln11ln1 1910 9128 2212 u 毫米 由此可得 当 u 10 9 毫米时 平均利润最大 25 设随机变量 X 的概率密度为 f x 0 0 2 cos 2 1 其他 x x 对 X 独立地重复观察 4 次 用 Y 表示观察值大于 3 的次数 求 Y2的数学期望 2002 研考 解 解 令 1 3 1 2 3 4 0 3 i X Yi X 则 4 1 4 i i YYBp 因为 1 33 pP XP X 及 3 0 11 cosd 3222 x P Xx 所以 111 42 242 ii E YD YE Y 22 11 41 22 D YE YEY 从而 222 125 E YD YE Y 26 两台同样的自动记录仪 每台无故障工作的时间 Ti i 1 2 服从参数为 5 的指数分布 首先开动其中一台 当其发生故障时停用而另一台自动开启 试求两台记录仪无故障工 作的总时间 T T1 T2的概率密度 fT t 数学期望 E T 及方差 D T 解 解 由题意知 5 5e 0 0 0 t i t f t t 因 T1 T2独立 所以 fT t f1 t f2 t 当 t 0 时 fT t 0 当 t 0 时 利用卷积公式得 55 5 12 0 d5e5ed25 e t xt xt T ftf xf txxxt ii 故得 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 12 5 25 e 0 0 0 t T tt ft t 由于 Ti E 5 故知 E Ti 1 5 D Ti 1 25 i 1 2 因此 有 E T E T1 T2 2 5 又因 T1 T2独立 所以 D T D T1 T2 2 25 27 设两个随机变量 X Y 相互独立 且都服从均值为 0 方差为 1 2 的正态分布 求随机变 量 X Y 的方差 解 解 设 Z X Y 由于 22 11 0 0 22 XNYN 且 X 和 Y 相互独立 故 Z N 0 1 因 22 D XYD ZE ZE Z 22 E ZE Z 而 2 2 2 1 1 ed 2 z E ZD ZE Zzz 2 2 0 22 ed 2 z zz 所以 2 1 DXY 28 某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p 0 p 1 各产品合格与否相互独立 当出 现一个不合格产品时 即停机检修 设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为 X 求 E X 和 D X 解 解 记 q 1 p X 的概率分布为 P X i qi 1p i 1 2 故 1 2 11 1 1 1 ii ii qp E Xiqppqp qqp 又 221211 121 iii iii E Xi qpii qpiqp 2 2 322 11 1 2112 1 i i q pqqpq pqp pqqp qppp 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 13 所以 22 222 211 pp D XE XE X ppp 题 29 图 29 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在点 0 1 1 0 及 1 1 为顶点的三角形区域上 服从均匀分布 如图 试求随机变量 U X Y 的方差 解 解 D U D X Y D X D Y 2Cov X Y D X D Y 2 E XY E X E Y 由条件知 X 和 Y 的联合密度为 2 0 0 x yG f x y t U U 1 1 1 1 若 若 Y 1 1 1 1 U U 若 若 试求 1 X 和 Y 的联合概率分布 2 D X Y 解 解 1 为求 X 和 Y 的联合概率分布 就要计算 X Y 的 4 个可能取值 1 1 1 1 1 1 及 1 1 的概率 P x 1 Y 1 P U 1 U 1 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 14 11 2 dd1 1 444 xx P U P X 1 Y 1 P U 1 U 1 P 0 P X 1 Y 1 P U 1 U 1 1 1 d1 11 44 x PU 故得 X 与 Y 的联合概率分布为 1 1 1 1 1 1 1 1 111 0 424 X Y 2 因 22 D XYE XYE XY 而 X Y 及 X Y 2的概率分布相 应为 202 111 424 XY 2 04 11 22 XY 从而 11 2 20 44 E XY 2 11 042 22 E XY 所以 22 2 D XYE XYE XY 31 设随机变量 X 的概率密度为 f x x e 2 1 x 1 求 E X 及 D X 2 求 Cov X X 并问 X 与 X 是否不相关 3 问 X 与 X 是否相互独立 为什么 解 1 1 ed0 2 x E Xxx i 2 2 0 1 0 ed0e d2 2 xx D Xxxxx i 2 Cov XXE XXE XEXE XX iii 1 ed0 2 x x xx i 所以 X 与 X 互不相关 3 为判断 X 与 X 的独立性 需依定义构造适当事件后再作出判断 为此 对定 义域 x 中的子区间 0 上给出任意点 x0 则有 0000 xXxXxXx 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 15 所以 00 0 1 PXxP Xx 故由 00000 P XxXxPXxPXxP Xx i 得出 X 与 X 不相互独立 32 已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N 1 32 和 N 0 42 且 X 与 Y 的相关系数 XY 1 2 设 Z 23 YX 1 求 Z 的数学期望 E Z 和方差 D Z 2 求 X 与 Z 的相关系数 XZ 3 问 X 与 Z 是否相互独立 为什么 解 解 1 1 323 XY E ZE 2Cov 3232 XYX Y D ZDD 1111 9162Cov 9432 X Y 而 1 Cov 3 46 2 XY X YD XD Y i 所以 1 1463 3 D Z 2 因 11 Cov Cov Cov Cov 3232 XY X ZXX XX Y 119 6 3 0 323 D X 所以 Cov 0 XZ X Z D XD Z i 3 由0 XZ 得 X 与 Z 不相关 又因 1 3 1 9 3 ZNXN 所以 X 与 Z 也相互独立 33 将一枚硬币重复掷 n 次 以 X 和 Y 表示正面向上和反面向上的次数 试求 X 和 Y 的相关系 数 XY 解 由条件知 X Y n 则有 D X Y D n 0 再由 X B n p Y B n q 且 p q 1 2 圣才统计学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 圣才统计学习网 圣才学习网 16 从而有 4 n D XnpqD Y 所以 0 2 XY D XYD XD YD XD Y i 2 24 XY nn i 故 XY 1 34 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 1 0 1 0 1 0 07 0 18 0 15 0 08 0 32 0 20 试求 X 和 Y 的相关系数 解 解 由已知知 E X 0 6 E Y 0 2 而 XY 的概率分布为 YX 1 0 1 P 0 08 0 72 0 2 所以 E XY 0 08 0 2 0 12 Cov X Y E XY E X E Y 0 12 0 6 0 2 0 从而 XY 0 35 对于任意两事件 A 和 B 0 P A 1 0 P B 1 则称 BPAPBPAP BPAPABP 为事件 A 和 B 的相关系数 试证 1 事件 A 和 B