第6章 不定积分练习.doc

第6章 不定积分1 不定积分概念和运算法则引入：不定积分问题是微分问题的反问题,积分运算是微分运算的反运算,即已知一个函数的导数求这个函数;从几何上讲已知一条曲线的切线斜率求这条曲线的方程;从物理上讲已知变速直线运动的瞬时速度求运动方程.一. 原函数与不定积分:1 原函数：例1填空: ; ( ; ; ;. 定义1 设函数与在区间上都有定义.若则称是在区间上的一个原函数. 原函数问题的基本内容: 存在性,个数,求法. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. (下章给出证明).可见, 初等函数在其定义域内有原函数;若在区间上有原函数,则在区间上有介值性(Darboux定理).原函数的个数:Th 若是在区间上的一个原函数, 则对 Const，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有. 可见,若有原函数,则的全体原函数所成集合为. 例2 已知为的一个原函数, =5 . 求.2 不定积分 原函数族: 定义,不定积分的记法,几何意义.例3 ; . 3 不定积分的基本性质: 以下设和有原函数. . (先积后导, 形式不变). . (先导后积, 多个常数) 时， 由、可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有 (当时,上式右端应理解为任意常数).例4 . 求 . (=2 ).二. 不定积分基本公式: 基本积分表. 1P179公式114.例5 . 三利用初等化简计算不定积分: 例6 . 求.例7 .例8 .例9 .例10 ; 例11 .例12 . 2 换元积分法与分部积分法 一. 第一类换元法 凑微法： 由 引出凑微公式.Th1 若 连续可导, 则该定理即为: 若函数能分解为 就有.例1 .例2 .例3 凑法1 例4例5 例6例7 由例47可见，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.例8 . .凑法2 .特别地,有 和 .例9 .例10 例11 .例12 =.凑法3 例13 例14 例15 例16 凑法4 .例17 凑法5 例18 凑法6 .例19 .其他凑法举例:例20 .例21 例22 .例23 . 例24 . 例25 例26 . ； 二. 第二类换元法 拆微法： 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即 = = =引出拆微原理.Th2 设是单调的可微函数,并且又 具有原函数. 则有换元公式 (证)常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换. 1. 三角代换: 正弦代换:正弦代换简称为“弦换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是: 令,则 例27 解法一 直接积分; 解法二 用弦换.例28 . （ 参阅例11 ）例29 .正切代换: 正切代换简称为“切换”.是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号.方法是:利用三角公式即令 .此时有 变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.例30 . 解 令 有. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有 = = 例31 正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 的根式施行的, 目的是去掉根号.方法是利用三角公式令有 变量还愿时, 常用辅助三角形法.例32 解 .例33 .解法一（用割换）解法二（凑微）参阅1P196 E10. 2. 无理代换:若被积函数是的有理式时, 设为的最小公倍数,作代换, 有. 可化被积函数为 的有理函数.例34 .例35 .若被积函数中只有一种根式或可试作代换或. 从中解出来.例36 . 例37 例38 (给出两种解法)例39 .本题还可用割换计算, 但较繁.3. 双曲代换: 利用双曲函数恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如: 例40 .本题可用切换计算,但归结为积分, 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3.例41 ( 例30曾用切换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 .例42 . ( 例32曾用割换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 4. 倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换例43 .5万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参1P194). 令,就有， ， 例44 .解法一 ( 用万能代换 ) .解法二 ( 用初等化简 ) .解法三 ( 用初等化简, 并凑微 ) 例45 解 = .代换法是一种很灵活的方法. 三. 分部积分法:Th3 (分部积分公式) 若与可导,不定积分存在,则也存在,并有=,简写为=.将分部积分公式进行排列得分部积分算式:求导数 求积分 + 规定: 斜向乘积带“+”是已经积出的函数,横向乘积带“”是新的被积函数.函数介绍使用分部积分公式的一般原则. 1. 幂 X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“”求导以使其成为代数函数.例46 (幂对搭配) 例47 (幂三搭配) 例48 (幂指搭配) 例49 (幂指搭配) 求导数 求积分 + 2 +0 注: 分部积分算式可以连续多次使用,所有的斜向乘积都是已经积出的函数,所带的符号是先“+”后“”依次交替出现; 只有最后的横向乘积才是被积函数,其所带符号与前一个斜向乘积所带的符号相反.例50 例51 (幂反搭配) 例52 2 建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来. 例53 例54 求 和 解 解得 例55 解 = = 解得 例56 = ，解得 .例57 = =,解得 . 3 有理函数的不定积分及其应