积分学部分期末复习辅导.doc

经济数学基础12积分学部分期末复习辅导结合最近几年积分学部分的考试题讲解该部分的重点内容，希望大家按照这些要求和重点进行复习第1章 不定积分1理解原函数与不定积分概念这里要解决下面几个问题：（1）什么是原函数？若函数的导数等于，即，则称函数是的原函数（2）原函数不是唯一的由于常数的导数是0，故都是的原函数（其中是任意常数）（3）什么是不定积分？原函数的全体（其中是任意常数）称为的不定积分，记为例1 （2010年10月部队）在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（）A B C D 正确答案：A（4）知道不定积分与导数（微分）之间的关系不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即,，例2 （2012年1月）若，则 应该填写：例3（2010年7月）若存在且连续，则 应该填写：例4（2010年10月部队） 应该填写：2熟练掌握不定积分的计算方法常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；例5 （2010年3月）计算不定积分 解：= （2）第一换元积分法（凑微分法）；例6 （2009年10月部队）计算不定积分 解： 例7 （2010年1月）若，则 应该填写： 例8 （2011年7月）若，则 应该填写： （3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的不定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦函数相乘例9（2009年10月部队）下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ） A B C D正确答案：C例10 （2011年7月）计算不定积分.解：第2章 定积分1了解定积分的概念，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果要区别不定积分与定积分之间的关系定积分的结果是一个数，而不定积分的结果是一个表达式例11 （2009年10月） 应该填写： 0例12 （2010年1月）若是的一个原函数，则下列等式成立的是( ) A BC D正确答案：B奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果：若是奇函数，则有若是偶函数，则有例13 （2012年3月部队）积分 应该填写：4例14 （2010年7月）下列定积分计算正确的是（ ） A B C D 正确答案：D2熟练掌握定积分的计算方法常用的积分方法有（1）运用积分基本公式直接进行积分；（2）第一换元积分法（凑微分法）；注意：定积分换元，一定要换上、下限，然后直接计算其值（不要还原成原变量的函数）例15 （2010年1月）计算积分解： （3）分部积分法，主要掌握被积函数是以下类型的定积分：幂函数与指数函数相乘；幂函数与对数函数相乘；幂函数与正（余）弦函数相乘；例16 （2012年1月，2009年10月）计算积分 解：例17（2012年3月部队，2010年7月）计算积分 解：= 例18 （2010年10月部队）计算积分解：由分部积分法得 3知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分例19 （2010年3月）无穷限积分 =（ ） A0 B C D. 正确答案：C例20 (2012年1月)下列无穷积分中收敛的是（ ） A B C D 正确答案：C注： 2011年1月试卷的第3题3下列无穷积分中收敛的是（ ） A B C D 正确答案：B第3章 积分应用1掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积求平面图形面积的一般步骤：（1）画出所围平面图形的草图；（2）求出各有关曲线的交点及边界点，以确定积分上下限；（3）利用定积分的几何意义（即上述各式），确定代表所求的定积分2熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法例21 （2010年3月）设边际收入函数为，且R (0) = 0，则平均收入函数为 解：因为 应该填写： 例22 （2012年3月部队，2009年10月部队）已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为 当= 0时，C(0) = 18，得 c =18，即 C()= 又平均成本函数为 令 ， 解得= 3 (百台) 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q= 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 (万元/百台) 例23 （2010年1月）生产某产品的边际成本为 (万元/百台)，边际收入为=100-2q（万元/百台），其中q为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解：= (100 2q) 8q =100 10q 令，得 q = 10（百台） 又q = 10是L(q)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故q = 10是L(q)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元. 例24 （2010年3月）设生产某产品的总成本函数为 (万元)，其中q为产量，单位：百吨销售q百吨时的边际收入为（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为 ，边际利润 令，得q = 7 由该题实际意义可知，q= 7为利润函数L(q)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 （万元）即当产量由7百吨增加至8百吨时，利润将减少1万元 例25 （2010年10月部队）设某产品的固定成本为36（万元），且边际成本为（万元/百台）试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为