武汉职业技术学院 柯平.docx

武汉职业技术学院毕 业 论 文（2011届）论 文 题 目：“飞越北极”的数学模型 系 科 ：计算机系 专 业 ：计算机技术与应用 姓 名 ：柯平 学 号 ：08031565班 级 ：应用08030班 指导教师 ：魏莹完成日期：2010 年 12 月“飞越北极”的数学模型目录一 前言 2二 飞越北极31论文摘要32问题重述与分析33 假设与模型43.1模型的假设43.2 数据的说明43.3 模型的建立与求解54模型评论与推广7三 总结 8四 参考文献 9五 附录 9一前言极低航路是指穿越极地区域的飞行，东航在中美之间的直飞，便选取北极上空的航路，常规的中美间跨太平洋上空的航路基本是通过一定弧度、围绕地球的同纬度飞行，而极地航路则是沿经线的竖直方向飞行，因此可以避免由此引起的中间经停。近几年中美之间航空客、货运市场的不断增大，穿越北极上空的极地航路成为解决这一问题最经济、最有效的方法。据东航有关负责人透漏，东航不久将开通伤害直飞纽约、芝加哥、西雅图的航班。美西北航空公司负责人表示，“我们目前每周有四班倒底特律的航班都是跨越极地飞行，使用的是波音747。如今这条航线确实特别具有市场竞争力，使得我们每班飞机的乘坐率上升了不少。”而且选择这条航线不仅能为乘客节约旅途时间，不用经受途中经停之苦，而且对普通乘客来说，从极地经过，还跨越欣赏极地别具一格的景色，是越不错的“极地之旅”，要完成极地航线飞行，航空公司必须具备相当的实力。因为极地航路具有一些常规航路所没有的困难：磁场强烈，对航空器通讯导航设施有一定影响：常年低温使上空大气层温度使上空大气层温度达到零下60-70摄氏度，比常奎航路上的大气温度低10-20摄氏度，使用普通航空燃油也可能造成一定影响。极地磁场的变化、地面导航设备的稀少也会对铜须造成干扰。越北极开通被禁-纽约-北京的往返直飞航班，在我国航空公司还是首次，20年前国航开通了北京飞纽约的航班，1998年国航与美西北航实行代码共享后，航线由美西北航执行。从9越27日起，由国航继续飞这条航线。这对于国航连接北美、包括加拿大有关地区到中国北京的航路，为广大中外旅客提供方便快捷的空中通道，具有十分重要的意义。经北极航路直飞纽约，为旅客提供了多方面的便利。1981年1月，国航开通的跨太平洋经停旧金山到纽约航线，以及后来经停安克雷奇到纽约的航班，旅途都长达17个小时。此次国航将要开通的北极航线，北京-纽约、纽约-北京，单程仅需13小时，比过去减少了3个多小时的飞行时间，由于北京至纽约航线是直飞，免除了过去中途经停的诸多不便，减轻了旅客旅途的劳顿，给人以一登飞机，就将要到家的感觉。北极上空气流平缓，颠簸较少，也提供了旅客升级的舒适度。另外，这条航线飞机较少，不存在其他航路空中通道拥挤的状况，同时也为航空公司节省了燃油，降低了飞行成本。国航经由北极航路执行正式航班，在国内航空公司中还属首家。北纬度以北为北极飞行区域，由于气候寒冷，过去曾被视为飞机区域。随着科学技术的发展，现在飞越北极已不再危险，目前世界上有多家航空送死经营北极航线，每周有有多个航班在北极上空穿梭。这条航路，多年来已经成为连接欧亚、美亚大陆的快捷空中通道。国航北极航路直飞纽约验证飞行的成功，表明国航有能力完成由北极航路直航纽约的飞行任务，展示了国航在飞行技术、云顶管理、安全保障等方面的新水平，对国航成长和发展来说是一个重要的里程碑。北京航空航天大学飞行力学专家方振平教授认为：从经济角度讲，因为成本的降低和航线的选择有直接关系，极地飞行缩短了航程，节约燃油费用和起降，大大提高了效率降低了成本。将来每位乘客的机票价都可能降下来，对航空公司来说，极地航线的开辟，将提高中国民航在国际上的价格竞争力。从安全角度讲，航程的缩短应该提高安全系数，过去取美国我们跨越太平洋，一方面是远，另一方面气流也大，而极地飞行与之相比应该更安全，因为极地飞行能减少高空风的影响。从技术角度讲，极地飞行克服了北极强烈地磁影响，跨越了一个技术门槛，是中国民航史上的一个里程碑。最后还要指出，这条航线因为是直飞，不必转机，比过去方便了不少。应该说当极地飞行成为中国民航的普通航线后，中美之间有了一条既安全又快捷又经济的通道。二 飞越北极1 论文摘要本文将“飞行时间节约4小时”的问题，在飞行速度恒定的条件下，转化为计算飞机航程的问题。通过采用计算机模型会出的飞机飞行航线，建立了俩个数学模型，并且通过对模型的分析，利用微分几何的知识建立了合理解释该报道的数学模型, 解决了空间任意两点间的曲面最短距离的算法问题, 同时又阐述了求曲面上两点之间的最短距离(特别是椭球面) 的近似计算方法: 压缩比率法、曲线射影法和模拟搜索法. 另外, 本文针对空间曲面上的最短程问题所建立的数学模型可以求解出地球上任意两点间的最短距离, 具有很强的推广性.关键词: 数学模型; 测地线; 压缩比率法; 曲线射影法; 模拟搜索法2问题的重述与分析首先分析当地球是一个半径为R 的均匀球体时的情况. 先在曲面上建立直角坐标系,以地心为坐标原点O , 以赤道平面为X O Y 平面, 以0 度经线(即本初子午线) 圈所在的平面为X O Z 平面. 那么, 我们就可以写出球面的参数方程如下:X = R co sUco sHy = R co sUsinH(0H2P, 0UP)z = R sinU(1)根据解析几何的基础知识可以解出球面上任意两点P 1, P 2 间的圆心角P 1O P 2 的度数. 由微分几何的知识可知道, 球面上任意两点(不是一条直径的两个端点) 之间的最小距离就是过这两点的大圆(即经过球心的圆) 的劣弧长. 根据这一方法, 我们就可以确定任意两点之间的飞行最短航线.再来分析一下地球为旋转椭球体时的情形, 这比球体的情况要复杂得多. 我们无法确定在未改变航道时的情况下飞机的最短航线, 也无法确定球面上任意两点之间的测地线方程.但是, 我们可以假定椭球面上任意两点A 、B 之间的测地线在通过A 、B 两点的一个平面内.因此, 我们可以写出过直线A B 的平面族(含一个参数). 下面就要求出过直线A B 的平面与椭球面的交线. 我们可以利用解析几何知识来完成这些工作. 最后我们就可以利用搜索的方法求出交线上A 、B 两点之间的劣弧长. 然后求出弧长的最小值.3假设与模型3.1模型的假设 1) 飞机从机场起飞与降落过程的时间忽略不计. 飞机从A 地到B 地的飞行时间只考虑A 地上空(10 千米高度) 和B 地上空(10 千米高度) 两点之间的测地线长;2) 飞机在飞行过程中, 途经各站起飞、降落及中途加油和等待调度所用的时间均忽略不计;3) 飞机总在地球的引力场内飞行, 而地球的自转和公转对飞机的绝对飞行速度和大小的影响忽略不计, 飞机的飞行速度只考虑飞机相对于地球的速度;4) 飞机的航线始终满足最短路线原则. 即飞机从A i 站到A j 站的航线是曲面上点A i 与A j 之间的最短路线, 即飞机从一目的地到另一目的地不绕道飞行的路线;5) 飞机飞行过程中的飞行速度保持不变.3.2数据的说明(x i, y i, z i) 球面(或椭球面) 上的点A i 的三维直角坐标;(Hi , Ui ) 球面(或椭球面) 上的点A i 的经度与纬度;t 飞机的飞行时间;$t 飞机飞行所节省的时间;li 城市A i 与A i+ 1之间的最短路程;l 总飞机分段飞行路程相加的总路程;R 地球半径;h 飞机飞行高度;(a, b) 旋转椭球体的长半轴与短半轴;Ri 城市A i 离地心的距离(即径长) ;3.3模型的建立与求解基于以上对问题的详细分析, 我们可以建立以下的数学模型来验证“从北京至底特律可节省4 小时”的结论.假设地球是半径为6371 公里的球体此时A 、B 是地球上空相距地面10 公里的两点, 由微分几何知识我们可以知道: 过A 、B两点的大圆的劣弧长即为两点的最短距离,A 、B 两点的坐标分别为:A ( (R + h)cosH1cosU1, (R + h)sinH1cosU1, (R + h)sinU1)B ( (R + h)cosH2cosU2, (R + h)sinH2cosU2, (R + h)sinU2)从A 地到B 地的飞行路程lAB = (R + h)arccos ( OA_OB_OA OB )从A 地到B 地的飞行时间tAB =lAB/980假设地球是一个半径为R= 6371 千米的球体以地心为坐标原点, 以赤道平面为X O Y 面, 以0 度经线(即本初子午线) 圈所在的平面为X O Z 平面, 建立三维直角坐标系, 球面上各点向量可表示为:OA i_= (R + h) ( i_cosHico sUi + j_sinHi co sUi + k_sinUi)OA i+ 1_= (R + h) ( i_cosHi+ 1cosUi+1 +j_sinH i+ 1co sU i+ 1 + k_sinUi+1)则两地之间的距离可表示为:A iA i+ 1= (R + h) arccosOA i_OA i+ 1_OA i OA i+ 1沿飞行路线飞行总时间是t = 11i= 0A iA i+ 1/980,飞机从北京直达底特律的航行时间为, 则t=A 0A 11/980, 则飞机直达所节省的时间为: $ t= t- t. 从图1 的飞行路线示意图中我们可以基本了解飞机的航线:以上我们给出了解题的数学模型, 现在用C 程序设计语言(程序略) 计算出具体结果(单位: 公里) :“北京”与A 1 之间的距离是: 1113. 191576A 1 与A 2 之间的距离是: 1758. 78953A 2 与A 3 之间的距离是: 4624. 407995 A 3 与A 4 之间的距离是: 1339. 08267A 4 与A 5 之间的距离是: 641. 162553 A 5 与A 6 之间的距离是: 538. 594244A 6 与A 7 之间的距离是: 651. 536106 A 7 与A 8 之间的距离是: 497. 569491A 8 与A 9 之间的距离是: 227. 843664 A 9 与A 10 之间的距离是: 2810. 85917A 10 与“底特律”之间的距离是: 331. 924046“北京”直达“底特律”的距离是: 10684. 861107 沿飞行原路线飞行总时间t= 14. 831600 (小时)飞机从北京直达底特律的航行时间t= 10. 902912 (小时)飞行节省的时间$ t= 3. 928681 (小时)“北京”与A 1 之间的距离是: 1112A 1 与A 2 之间的距离是: 1759A 2 与A 3 之间的距离是: 4627 A 3 与A 4 之间的距离是: 1340A 4 与A 5 之间的距离是: 642 A 5 与A 6 之间的距离是: 539A 6 与A 7 之间的距离是: 651 A 7 与A 8 之间的距离是: 498A 8 与A 9 之间的距离是: 228 A 9 与A 10 之间的距离是: 2814A 10 与“底特律”之间的距离是: 325“北京”直达“底特律”的距离是: 10681沿飞行路线飞行总时间t= 14. 822 (小时)飞机从北京直达底特律的航行时间t= 10. 89898 (小时)飞行节省的时间$ t= 3. 9230 (小时)通过对比我们发现以上方法求解的结果与实际情况基本吻合. 这说明“北京至底特律的飞行时间可节省4 小时”的报道是有科学根据的.四模型的评价与推广一、模型的评价:(一) 本模型成功地解决了空中飞行最省时航线问题, 其优点主要在于:1. 能充分利用地理知识和实物图对路线进行一定的限制, 避免了选择航线的盲目性.2. 运算的效率较低, 我们重新修改后的新算法, 极大地提高了模型的运算效率, 且吻合性能也较好.3. 本模型在建立过程中, 充分用各种方法来求最最节时航线, 体现出了不同算法的利与弊, 具有不同程度的可用性.4. 用C 语言程序进行大量的计算, 运行效率高, 可推广到多个空间点的计算.(二) 不足以及需要改进的地方在于:1. 我们的模型只适合空间光滑的凸曲线的最短距离问题的计算. 对于非规则形状的曲面, 它的测地线不一定在一个平面内, 这就超出了本模型的使用范围.2. 本模型内假设飞机只在恒定的高度飞行, 这也是不实际的. 在实际的飞行过程中飞机是不会只在恒定的高度上飞行的, 实际上它在飞行过程中可能会因遇到高山或其他障碍物而不断爬升和下降. 所以如果我们能过给出不断变化的海拔高度, 并考虑飞机因为爬升或下降所多用的时间和多飞行的路程, 那我们的模型可能会更实用.二、模型的推广:本模型在计算空间未知曲线的弧长时, 引入了“曲线射影法”和“压缩比率法”近似算法,在实际工程中, 将对工程建筑和导弹发射等预测控制都会带来帮助.(1) 对于最初积分算法的模型, 可以推广到多维空间的情况.(2) 对于曲线射影法, 可根据