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文档简介

1. 差分1 一阶导数的差分近似（差商）导数的定义：导数的近似： （当 与 足够接近时）这样的表达式称为差商，它可作为导数的近似，称为导数的差分近似。误差分析 泰勒展开：将 在 处做泰勒展开，有于是各种差分近似：取 （称为步长），则可以有向前差分近似（相当于取 ）向后差分近似（相当于取 ）中心差分近似（前差近似与后差近似的算术平均）2 差分近似的一般形式差分近似的一般形式可写成或简写为称为一阶导数 的一个 点差分近似。这里差分近似的精度 ： 阶定义：若则称表达式 是一阶导数 的 阶差分近似。例：通过误差分析，上面给出的向前和向后差分近似都是一阶的，而中心差分近似是二阶的。中心差分近似的精度较高。差分近似的分类若 ，则 称为中心差分近似；若 ，则 称为偏心差分近似，特别是若 ，则 称为向前差分近似（前差近似）；若 ，则 称为向后差分近似（后差近似）。3 待定系数法构造导数的差分近似可用待定系数法。【例1】用 、 四点构造一阶导数 的差分近似。【解】由泰勒展开，有将这些展开式带入所求得差分近似，得为了使上式能够成为一阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度，式中的四个待定系数应满足解得因此，若将函数值 简写成 ，所求的差分近似就是误差为所以上述差分近似具有三阶精度。【例2】用 、 两点构造一阶导数 的差分近似。【解】由泰勒展开，有将这些展开式带入所求得差分近似，得为了使上式能够成为一阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度，式中的两个待定系数应满足解得因此，所求的差分近似为这正好是前面提到过的中心差分近似，其误差为由于选点的对称性，误差中二阶导数项的系数恰好抵销为零，所以上述差分近似具有二阶精度。这就是中心差分近似精度较高的原因。4 高阶导数的差分近似以上关于一阶导数的差分近似，完全可以推广到高阶导数。高阶导数的差分近似：其一般形式为待定系数法：构造高阶导数的差分近似，仍可用待定系数法。【例3】用 、 三点构造二阶导数 的差分近似。【解】由泰勒展开，有将这些展开式带入所求得差分近似，得为了得到二阶导数的差分近似且具有尽可能高的精度，式中的三个待定系数此时应满足解得因此，所求的差分近似为误差为所以上述差分近似具有二阶精度。这里，我们又一次看到了中心差分近似的精度较高这一事实。二阶导数的各种差分近似向前差分近似向后差分近似中心差分近似或这就是例3的结果。以上这些推导表明：l 高阶导数的差分近似可通过
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