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1.2数列的极限 导学答案一、相关问题 1. 了解我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法，说明这一方法的逼近过程；（参见讲义引例） 2.说明函数与数列之间的关系（参见讲义相关内容）二、相关知识 1. 构造一个数列，从几何上描述数列收敛的过程； 2. 写出数列极限的精确定义.三、练习题 1. 下列说法是否可以作为是数列的极限的定义？为什么？(1) 对，当时，不等式成立；(2) 对于无穷多个，当时，不等式成立；(3) 对于任给的，当时，有无穷多项，使得不等式成立；(4) 对于给定的，不等式恒成立. 解：（1）可以（2）不可以，无穷多个，反例：取（3）不可以，无穷多项，反例：取（4）不可以，反例： 2. 判断数列的收敛性.解：此处考察的是收敛数列与其子数列间的关系.在中取如下两个子列：，即，即，显然，第一个子列收敛于0，第二个子列收敛于1，因此原数列发散. 3. 用数列极限的定义（语言）证明： （1） （2） 证：（1）对，取，则当时，有 因此，有. （2） 故对，取，则当，均有， 因此有， . 4. 若，证明。反之是否成立？ 解：由于，所以，当，有从而，故有.反之未必成立。 例如，令，则有，但是不存在.四、思考题 1.若和是两个发散数列，它们的和与积是否发散？若其中一个收敛，一个发散，它们的和与积的收敛性又如何？ 解：发散数列的和与积都不一定发散，例如 ，和都是发散数列，但是是收敛于0的收敛数列，是收敛于的收敛数列.若其中一个收敛，一个发散，它们的和必定发散，积不一定收敛，例如和. 2. 说明数列收敛与其子列收敛的关系. 解：若数列是收敛的，则由Cauchy收敛准则，其任意
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