8《学习指南 试题精解》 第八章 稳恒磁场.doc

108第8章 稳恒磁场8.1 要求 1 掌握磁感应强度的概念，理解毕奥 萨伐尔定律并能利用其计算简单问题的磁感应强度； 2 理解恒定磁场的规律，磁场高斯定理和安培环路定理。掌握用安培环路定理计算磁感应强度的方法；3 掌握安培定律的洛仑兹力公式，能计算载流导线在磁场中受的力，能分析运动电荷在均匀电场中和磁场中的受力和运动。8.2 内容提要1 电流（1） 定义：单位时间内，通过导体中任一横截面的电量，简称为电流。（2） 数学表达式 ，t时间内流过导体任一横截面的电量q；2 电流强度 3 电流密度 定义式，或 4 恒定电流的重要性质 5 欧姆定律（1） 中学物理 欧姆定律 ；（2） 大学物理 ，（3） 欧姆定律的微分形式 6 磁场磁铁、电流和运动电荷，不论是同类之间还是彼此之间，都存在磁力的相互作用。一切磁力都起源于电荷的运动，磁力是通过磁场传递的。也就是说，运动电荷（包括电流或磁铁）在其周围空间激发磁场，磁场再作用于运动电荷（电流或磁铁）。磁场也是电磁场的一种特殊存在方式，是物质的另一种形态。7 磁感应强度磁感应强度是描述磁场各处强弱和方向的物理量，它的定义有三种方法：（1） 用磁场对运动电荷的作用来描述磁场。在磁场的每一点都有一个特定的方向，当试探电荷沿着这个方向运动时不受力，这个特定的方向定义为的方向。在磁场中的每一个点，当试探电荷的运动速度与垂直时，它所受的力最大为，则定义B的大小为 ；（2） 用电流元在磁场中所受的力来描述磁场，把试探电流元放在磁场中的某点处，它所受到的力与试探电流元取向有关。在某个特定的方向上，受力为零，而与它垂直的方向，受力最大为，则定义B的大小为。（3） 利用小电流线圈在磁场中所受的力矩来描述磁场，将载流线圈放在磁场中的某点处，它可以自由转动，则定义线圈在平衡时的正法线方向（电流方向与线圈的关系由右手螺旋法则决定）为的方向，其大小为，式中为钱圈受到的最大力矩，I和S为线圈中的电流和其面积。磁感应强度的单位是T（特斯拉），在高斯单位制中用Gs，。8 毕奥萨伐尔（实验）定律把任意形状的载流导体划分为许多电流元，整个载流导体所产生的磁场，就是这些电流元所产生的磁场的叠加。电流元Id在空间某点P产生的磁感应强度dB的大小与Id成正比、与Id到P点处的矢径r之间的夹角成正比，而与r成反比。数学表达方式为：9 磁感应强度叠加原理磁场中某点的总磁感应强度（或称磁场）等于所有电流元各自在该点产生的磁感应强度的矢量和。数学表达式：，（1） 载流圆线圈轴线上的磁场：B1=，圆心处场强；（2） 距无限长直载流导线a处的磁场：；（3） 无限长螺旋管：B=0nI，即B的大小于P点在轴线上的位置无关，轴线上的磁场是均匀的，半无限长螺旋管：B=0nI；10 磁通量（与类比）：（韦伯/米）；11 磁场强度磁场强度是描述磁介质中磁场的一个辅助的物理量，磁介质中磁场不仅与磁源电流有关还和磁介质的磁化电流有关。磁场强度定义为，式中为磁化强度，磁场强度的单位是A/m，在高斯单位制中，为奥斯特，用符号表示，。对于各向同性磁介质，式中为介质的相对磁导率。磁场中各点的和的方向相同。12 磁场的高斯定理：通过任意闭合曲的磁通量恒等于零。 数学表达式 。在有磁介质存在时，式中的应为传导电流产生的磁场以及介质磁化电流产生的附加磁场的总和，即 。 磁场的高斯定理的微分形式为 ，这表明磁场是一个无源场。 13 安培环路定理在磁场中，磁感应强度B沿任一闭合环路L的线积分，等于穿过环路所有电流强度I的代数和的0倍。数学表达式：；14 安培定律电流元在磁场中任一点处所受到的作用力dF为，式中B为此处的磁感应强度；dF称为安培力。安培力的方向，按右手螺旋法则，此式称为安培定律，亦称为安培公式。 （1） 对任意形状载流导线在磁场中所受的安培力 （2） 长为载流导线所受的安培力大小 ，式中为电流I与磁场间的夹角，方向由确定。 15 磁场力的功 载流导线在磁场中运动时，磁力所作的功和载流线圈在磁场内转动时磁力矩所作的功都等于 ，式中表示通过回路面积或线圈的磁通量的增量。16 洛仑兹力电荷量为q的带电粒子在磁场中以速度运动，所受到的磁力为，其大小为 , 力的方向按右手螺旋法则， 在普遍情况下，当一个带电粒子在既有电场又有磁场的区域里运动时，作用在该粒子上的电磁力为 此式称为洛仑兹力公式，是电磁学的基本公式之一。17 带电粒子在均匀电场和磁场中的运动 （1） 带电粒子在均匀电场中的运动 ； （2） 带电粒子在均匀磁场中的运动 设有一均匀磁场，磁感应强度为，一电荷量为q，质量为m的带电粒子以初速度，进入磁场中运动 1） 如果，磁场对带电粒子的作用力为零，带电粒子以速度作均速直线运动； 2） 如果，磁场对带电粒子的作用力最大，其方向垂直，带电粒子以速度作均速圆周运动，圆轨道半径为 ， 回转周期为 ，周期与和R无关。17 磁场强度矢量 18 介质中的安培环路定理 8.3 解题思路1、在应用洛仑兹力公式求磁力时，特别要注意各矢量的方向之间的关系，带电粒子的速度V是相对参考系的速度；2、安培力的公式也是矢量公式。要分清的方向，式中B是电流元所在处的外磁场的磁感应强度；3、利用安培环路定理求恒定电流磁场时，要根据电流分布的对称性分析出磁场分布的对称性，然后选择适当的环路求解。8.4 思考题解答 异形密绕长直螺线管，管内磁场是否是均匀磁场？其磁感应强度是否仍可按计算？答：异形密绕长直螺线管，管内磁场仍然是均匀磁场，其磁感应强度仍可按计算。这是因为：异形截面的密绕长直螺线管可以看成是许多截面较小的具有同样的n和I的圆形截面螺线管平行集束形成的。在管内任一点P处相邻的圆螺线管的电流方向相反，合电流为零，只有边界上的电流仍然是I。这样，这个圆形螺线管束的电流的总的分布和原来异形截面的密绕长直螺线管的电流分布是一样的，其磁场分布也是一样的。所以其磁感应强度仍可按计算。8.5 习题精解8.1、在磁感强度为的均匀磁场中作一半径为r的半球面S，S边线所在平面的法线方向单位矢量与的夹角为a ，则通过半球面S的磁通量(取弯面向外为正)为：(A) pr2B； . 图 8.1 (B) 2 pr2B； (C) -pr2Bsina ； (D) -pr2Bcosa。 解题思路：根据磁通量的定义，注意其正、负号，进行解题。解：，磁通量取弯面向外为正，则通过半球面S的磁通量为负，故选（D）。图 8.2 8.2、电流由长直导线1沿半径方向经a点流入一由电阻均匀的导线构成的圆环，再由b点沿半径方向从圆环流出，经长直导线2返回电源(如8.2图)已知直导线上电流强度为I，aOb=30若长直导线1、2和圆环中的电流在圆心O点产生的磁感强度分别用、表示，则圆心O点的磁感强度大小(A) B = 0，因为B1 = B2 = B3 = 0； (B) B = 0，因为虽然B1 0、B2 0，但，B3 = 0； (C) B 0，因为虽然B3= 0，但； (D) B 0，因为B3 0，所以。 解题思路：根据已知条件，利用载流长直导线和圆环产生磁感强度的一些结论，将载流导线分为四部分，即：两条通过圆心的半无限长直导线和两个圆弧acb和ba将它们在在圆心O点产生的磁感强度进行叠加，可得出结论。解：通过圆心的半无限长直导线在圆心O点产生的磁感强度为零，即B1=B2=0；而由电阻均匀的导线构成的圆环acb和ba，其电阻的大小与它们的长度成正比，电流的大小它们的长度成反比，它们在圆心O点产生的磁感强度大小相等、方向相反。所以，、在圆心O点的磁感强度大小为零，故选（A）。图 8.3 8.3、电流由长直导线1沿平行bc边方向经过a点流入由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，由b点流出，经长直导线2沿cb延长线方向返回电源(如图)已知直导线上的电流为I，三角框的每一边长为l若载流导线1、2和三角框中的电流在三角框中心O点产生的磁感强度分别用、和表示，则O点的磁感强度大小 (A) B = 0，因为B1 = B2 = B3 = 0； (B) B = 0，因为，B3= 0； (C) B0，因为虽然，但B3 0； (D) B0，因为虽然B3= 0，但。 解题思路：根据已知条件，利用载流长直导线产生磁感强度的特性，与上题同理，可知：三角形载流导线在其中心点O处所产生的合磁感强度为零，即B3=0；而半无限长直导线1和2不是完全地对称，所以，故选（D）。图 8.3 8.4、图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I，区域、均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大？ (A) 区域； (B) 区域； (C) 区域； (D) 区域； (E) 最大不止一个。 解题思路：根据已知条件，利用载流长直导线产生磁感强度的特性和叠加原理，可解此题。解：用右手螺旋法则进行判断，可知区域指向纸内的磁通量最大，故选（B）。图 8.4 8.5、一均匀强磁场，其磁感强度方向垂直于纸面(指向如图8.4)，两带电粒子在该磁场中的运动轨迹如图所示，则 (A) 两粒子的电荷必然同号； (B) 粒子的电荷可以同号也可以异号； (C) 两粒子的动量大小必然不同； (D) 两粒子的运动周期必然不同。 解题思路：带电粒子在均匀强磁场中运动，当其运动方向垂直磁场时，运动轨迹是一个圆。所以，两带电粒子在该磁场中的运动轨迹如图所示，则粒子的电荷可以同号也可以异号，随着电荷的不同，其运动方向也不同。故选（B）。图 8.5 8.6、两根载流直导线相互正交放置，如图所示I1沿y轴的正方向，I2沿z轴负方向若载流I1的导线不能动，载流I2的导线可以自由运动，则载流I2的导线开始运动的趋势是 (A) 沿x方向平动； (B) 绕x轴转动； (C) 绕y轴转动； (D) 无法判断。 解题思路：载流I1的导线不能动，则载流I2的导线在载流I1的导线所产生的磁场中，受到磁场力的作用必然会产生运动。研究载流I1的导线产生的磁场，其分布如图8.5中的虚线所示。根据右手螺旋法则，可以判断载流I2的导线开始运动的趋势是绕x轴转动，故选（B）。图 8.68.7、无限长直导线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感强度大小等于 (A) (B) (C) 0 (D) (E) 解题思路：可将系统分为：载流I的半径为R圆线圈和以圆心O的距离为R的无限长直导线的两部分所组成；则系统在圆心O的磁感强度大小等于它们所产生的磁感强度的叠加。磁场方向垂直纸面向里，B=，故选（D）。图 8.78.8、如图8.7两个半径为R的相同的金属环在a、b两点接触(ab连线为环直径)，并相互垂直放置电流I沿ab连线方向由a端流入，b端流出，则环中心O点的磁感强度的大小为 (A) 0； (B) ； (C) ； (D) ； (E) 。 解题思路：可将系统分为：载流I的半径为R圆线圈a和b两部分，电流I在a点分为四条支路，每条为I/4，最后汇集于b点。利用半圆环载流导体所产生的磁场的叠加，可解此题。解：同一载流圆环上的电流相等，在其圆心O处所产生的磁场的大小相等、方向相反，合磁场强度为零。同理可得：该系统在环中心O点的磁感强度的大小为零，故选（A）。8.9、如图8.8所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝当导线中的电流I为2.0 A时，测得铁环内的磁感应强度的大小B为1.0 T，则可求得铁环的相对磁导率mr为(真空磁导率m 0 =4p10-7 TmA-1) 图 8.8(A) 7.96102； (B) 3.98102； (C) 1.99102 ； (D) 63.3 。 解题思路：根据载流I细螺绕环内的磁感应强度公式，可解此题。解：， 又，故选（B）。图 8.98.10、在真空中，电流I由长直导线1沿垂直bc边方向经a点流入一由电阻均匀的导线构成的正三角形线框，再由b点沿平行ac边方向流出，经长直导线2返回电源(如图8.9)三角形框每边长为l，则在该正三角框中心O点处磁感强度的大小B =_。解题思路：将载流导线1和2看成是半无限长载流直导线，且载流导线1在该正三角框中心O点处磁感强度的大小B1 =0；由于对称性，载流正三角框在该正三角框中心O点处磁感强度的大小B三 =0。事实上，只需要计算载流导线2的磁场。解： ，。8.11、有一同轴电缆，其尺寸如图所示，它的内外两导体中的电流均为I，且在横截面上均匀分布，但二者电流的流向正相反，则 (1) 在r R3处磁感强度大小为_。解题思路：应用安培环流定理，可解此题。图 8.11解：由于圆柱面的轴对称性，在垂直轴的平面内，做成一个半径为r的圆，圆周上各点的磁感强度大小相等，应用安培环流定理：，即，（1）、在r R1时，在r R3处，。磁感强度大小为零。8.12、带电粒子穿过过饱和蒸汽时，在它走过的路径上，过饱和蒸汽便凝结成小液滴，从而显示出粒子的运动轨迹这就是云室的原理今在云室中有磁感强度大小为B = 1 T的均匀磁场，观测到一个质子的径迹是半径r = 20 cm的圆弧已知质子的电荷为q = 1.610-19 C，静止质量m = 1.6710-27 kg，则该质子的动能为:_ 。 解 由带电粒子在均匀磁场中作圆周运动，所受的洛仑兹力等于向心力，即有 ，可球出其运动的速度 1.92107 m/s；质子动能 3.0810-13 J 。 8.13、将一个通过电流为I的闭合回路置于均匀磁场中，回路所围面积的法线方向与磁场方向的夹角为a 若均匀磁场通过此回路的磁通量为F ，则回路所受力矩的大小为_。图 8.12解，回路所受力矩的大小为M=IF tana。8.14、如图8.12所示，一根通电流I的导线，被折成长度分别为a、b，夹角为 120的两段，并置于均匀磁场中，若导线的长度为b的一段与平行，则a，b两段载流导线所受的合磁力的大小为_。解b段载流导线电流与磁场强度的方向相同，其所受的磁力为零；a，b两段载流导线所受的合磁力就是a段载流导线所受的合磁力， ，其