附录E数学的介入教材和代数预备教材(幼稚园到七年级).doc

附錄E 數學的介入教材和代數預備教材(幼稚園到七年級)大部份學生可以受益於基本教材的服務，這教材包括滿足各種安置的策略，但是有些學生可能還是經歷困難，需要介入。一個介入或代數預備課程應該： 包括平衡演算和程序技巧、概念理解、以及問題解決，如本綱要第一章所述。 優先教導概念和技巧，使得老師可以最適化地使用時間和資源，並且提供適當的例子界定每一個概念。這些教學例子應該清楚而且以邏輯順序呈現，從非常簡單到比較複雜，並且從具體到抽象。 提供清楚的目標和廣泛的診斷工具來評量學生的數學知識。起點評量應該鑑別出學生需要什麼課程以及他們的強項和弱點。 提供如何每日檢視學生進展的建議給老師，以免學生的困境沒有檢測出來。 提供可行且可信賴的階段性評量，可以獲得當下訊息，知道學生發生錯誤或迷思的原因，以及得知可以用於每個困難範圍的介入型態。 提供參與和引起動機的教材，幫助學生專注在課程目標。 提供作業要求學生呈現出他們的數學理解和解題策略，使得老師可以區辨學生不足的起因，和對所教數學的不正確理解。 反映學生興趣和年紀（例如：用於教導八年級學生基本技巧和概念的教材，應該反映十多歲小孩的興趣）。總覽學生學習數學的問題，需要留意個別學生的背景，以及他們先前教材的性質。如同Chapman (1988)所整理，有些需要補救學生明白他們的低能力無法改變，除了在未來失敗並且遇到困難時已經準備放棄。他們的接連失敗確認了他們對於學習成就的低期望，這是累加失敗的持續惡性循環模式。需要的教學課程是可不斷度量學生進步，顯現出他們在過去的任何困難、以及現在所遭遇的。 提供太多教學方向給學生，失去教學連貫性，其壞處如同給得太少。給老師的目標是隨手有一個大的教學工具箱，從中選取適用於該班的工具。這些工具應該附於本附錄及第10章的指南，並且應該根據研究。 應該特別注意英文學習者的需要，包括教學中的學術語言和數學的特殊字彙。如果學應不了解教學和評量的學術語言，他們在數學就不會成功，這些範圍應該涵蓋： 在比較早階段的學生可能在英文字有困難，例如：第一、最後、之前、每次、比較多，以及相等。學生可能不熟悉分子、分母、交換律、以及等值，或可能不了解分數轉成文字（例如：三個二分之一）。 區別聽起來或拼起來相同的文字，例如tens and tenths,有時沒留意或理解。 一字多義的不同意思，應該教清楚。這些字可能有共同的意思，有異於在數學的意義，例如變數、函數、平面、表格或繪製(例如繪製一個三角形相對於歸納結論-draw的用法不同) 相關的語言議題是，介於10和20之間某些數的位值從它們的數名聽起來並不明確(例如：16 在英文上稱為 sixteen,但在其它語言是ten加six). 了解文字問題在性質上的描述，可以要求學生還未具備的語言技能，特別是應用題的語言是清楚或合於慣用法。 教材應該包括整年加強數學特別字彙的機會。相對於英文用於普通對話，數學語言非常清楚，而且這個不同區分的數學和其他大部份的科目領域。數學推理涉及清楚界定環境中邏輯系統的使用(例如：所有全數的集合)，概念 (例如：加法和乘法)，以及規則(例如：結合律)。數學的推理，其解釋如同第3章中以及其後章節，必須在數學介入與代數預備課程中有系統地置於標準的教學裡。 這個附錄提供兩種指南給發展數學的介入與代數預備課程，這些課程有關於在每一種課程的特殊標準: 1. 討論學生容易犯的錯誤類型2. 解釋為何這些特定標準是重要的。出版社可使用附錄E和第10章來設計教材。 2004春天，調查地區教育機構(LEAs)，加州管理教育服務協會中的課程和教學促進委員會收集有關加州的數學介入課程之組織和落實。有些LEAs提出，他們實施介入課程的時間在上學期間之前或之後，或課間，或在假期。許多學校在正規的上學期間提供額外的數學教學時間，或對的教學安置。作這個調查的60個行政區，遍佈在14個郡。該調查的結果指出，有必要提供教材用於不同的教學安置。 數學教材標準的子集中代數預備和數學介入教材呈現在下表。依年級區分的數學課程標準之子集 依年級區分的數學課程標準之子集七年級NS 1.2, 1.3, 1.5, 2.1AF 1.1, 1.3, 2.1, 3.3, 3.4 , 4.1, 4.2MG 1.3, 3.3MR 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 3.0, 3.1, 3.2, 3.3代數I2.0, 4.0, 5.0二年級AF 1.1MR 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1, 2.2, 3.0三年級NS 1.3, 1.5AF 1.5MR 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 3.0, 3.1, 3.2, 3.3四年級NS 3.1, 3.2AF 1.2, 1.3, 1.5, 2.0, 2.1, 2.2MG 2.0, 2.1, 2.2, 2.3MR 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 3.0, 3.1, 3.2, 3.3 五年級NS 1.4AF 1.0, 1.3, 1.4MR 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 3.0, 3.1, 3.2, 3.3 六年級NS 1.1, 1.4, 2.0, 2.1, 2.2 AF 1.0, 1.1MR 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 3.0, 3.1, 3.2, 3.3幼稚園AF 1.1MR 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1, 2.2一年級NS 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 2.1, 2.5, 2.6, 2.7SDAP 1.1, 1.2, 2.1 MR 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1, 2.2, 3.0 二年級NS 1.1, 1.2, 1.3, 2.2, 2.3, 3.1, 3.3, 4.0, 4.1, 4.3, 5.1, 5.2 AF 1.1 MG 1.3 SDAP 1.1, 1.2, 2.1 MR 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1, 2.2, 3.0 三年級NS 1.3, 1.5, 2.1, 2.2, 2.4, 2.6, 2.7, 3.1, 3.2, 3.4 AF 1.0, 1.4, 1.5, 2.1, 2.2 MG 1.2, 1.3, 1.4 SDAP 1.3 MR 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 3.0, 3.1, 3.2, 3.3 四年級NS 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 2.0, 3.1, 3.2, 4.1 AF 1.1, 1.5, 2.1, 2.2 MG 1.1, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3 MR 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 3.0, 3.1, 3.2, 3.3 五年級NS 1.2, 1.5, 2.0, 2.1, 2.5AF 1.2, 1.3, 1.5 MG 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2 SDAP 1.3, 1.4, 1.5 MR 1.0, 1.1, 1.2, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 3.0, 3.1, 3.2, 3.3 六年級NS 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 2.1, 2.3 AF 1.2, 2.1, 2.2, 2.3 MG 1.2, 1.3, 2.2 SDAP 3.3 MR 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 3.0, 3.1, 3.2, 3.3 .七年級NS 1.2, 1.3, 1.6, 1.7AF 1.1, 1.2, 1.3, 3.0, 3.1, 3.3, 3.4, 4.0, 4.2 MG 1.1, 1.3, 3.3, 3.4 MR 1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 2.0, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8, 3.0, 3.1, 3.2, 3.3 數學課程標準中的縮寫：NS，數字常識；AF，代數和函數；MG，測量和幾何；SDAP，統計、資料分析和機率；以及MR，數學推理。 注意數學推理的標準和其它四者不同。這個子題包埋在其它四個子題中，是發展基本技巧和概念理解的紮實數學基礎。重要的是在檢視標準時看其中的推理。雖然數學推理子題中的標準並沒有清楚提到介入課程或代數預備課程的性質，但數學推理標準必須系統化地包埋於本表所示的標準子集。數學介入課程(四年級到七年級) 本節所述的六冊所代表的標準子集必須在這個高度關注的課程中。它是用來服務策略上和廣義的四到七年級學生，使得他們可以有效地學習基本年級程度的教材。課程並沒有做為固定的科目，也不應該用於追蹤學生。這個隱含的評量應該為每個學生提供一個計畫，以鑑別六冊中的哪個章節需要涵蓋，以及學生何時準備移往下個章節或離開課程。 四到七年級介入教材的一個重要設計元素是，教材應該關注在本章節所述的標準子集，並且應該把標準切割成一系列的小概念步驟和隱含的技巧。 教材組織也必須根據六冊和相關標準。在這些冊中並不要求特定順序，各冊可以切割成較小的單元來印刷。這個組織的意圖是要幫助介入課程在學校中彈性使用。六冊數學介入課程第一冊位值和基本的數字技巧一年級NS 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 2.1, 2.5, 2.6, 2.7二年級NS 1.1, 1.2, 1.3, 2.2, 2.3, 3.1, 3.3三年級NS 1.3, 1.5, 2.1, 2.2, 2.4, 2.6四年級NS 1.1, 1.2, 1.3, 1.6, 3.1, 3.2, 4.1第二冊分數和小數二年級NS 4.0, 4.1, 4.3, 5.1, 5.2三年級NS 3.1, 3.2, 3.4四年級NS 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 2.0五年級NS 1.5, 2.0, 2.1, 2.5六年級NS 1.1, 2.1, 2.3七年級NS 1.2第三冊比例、比值和百分比三年級NS 2.7AF 1.4, 2.1, 2.2MG 1.4五年級NS 1.2SDAP 1.3六年級NS 1.2, 1.3, 1.4AF 2.1, 2.2, 2.3SDAP 3.3七年級NS 1.6, 1.7AF 4.2第四冊數學的核心步驟二年級AF 1.1三年級AF 1.0, 1.5四年級AF 1.1, 2.1, 2.2五年級AF 1.2, 1.3六年級AF 1.2七年級NS 1.3AF 1.1, 1.2, 1.3, 4.0第五冊函數和等式幼稚園AF 1.1一年級SDAP 1.1, 1.2, 2.1二年級SDAP 1.1, 1.2, 2.1三年級AF 2.1, 2.2SDAP 1.3四年級AF 1.5MG 2.0, 2.1五年級AF 1.5SDAP 1.4, 1.5六年級NS 1.3AF 2.1七年級AF 3.0, 3.1, 3.3, 3.4第六冊測量二年級MG 1.3 三年級AF 1.4MG 1.2, 1.3, 1.4四年級MG 1.1, 2.2, 2.3五年級MG 1.1, 1.2, 1.3, 2.1, 2.2六年級AF 2.1MG 1.2, 1.3, 2.2七年級MG 1.1, 1.3, 3.3, 3.4數學課程標準中的縮寫：NS，數字常識；AF，代數和函數；MG，測量和幾何；SDAP，統計、資料分析和機率；以及MR，數學推理。 數學推理並沒有出現在這個表格中(參見數學推理標準) 第一冊 位值和基本的數字技巧這一冊是有關位值和基本的數字技巧，並且涵蓋以下主題：I-1. 數數；I-2. 位值；I-3. 加法和減法；I-4.乘法；和I-5. 除法。I-1. 數數數字常識(一年級) 1.1 計數、報讀和書寫100以內的全數（0100）。1.2 利用小於、等於及大於的符號（、），能對100以內的數進行比較及排序。1.3 利用具體的模型、圖表和數字的表徵來表示一個數的等值形式）來表徵20以內的數（例如：8可以表徵成44, 53, 2222, 102, 113）。1.4 以幾個1和幾個10計數和組合物件（例如：3個10與4合起來是34，或304）。2.1 知道加法運算（和在20以內）與相應的減法運算，並能牢記。2.5 呈現加法的意義 (併加、添加)和減法的意義(拿走)、比較、求差)。數字常識(二年級) 1.3 利用小於、等於以及大於的符號（、）排序及比較1000以內的數。3.1 利用累加、行列和倍數數數處理乘法問題。3.3 知道2、5、10（到乘以10）的乘法表，並牢記。 本節是有關全數的算術。剛開始時學生可能在強記數數的技巧(說出數字1, 2, 3, . . )之前就能讀數字，或者規則數數(指定一個並且只有一個數字名稱對應到一群中的每一個物件，知道從何開始和結束計數物件，並且知道何時所有的東西都正確數完了)。他們可能不了解數字順序相關於他們如何數數(例如：37 23因為37在23之後)。在早期階段的學生可能受助於具體物或圖片或繪圖的數字表徵(例如：在數線上的數，1, 10, 100, 1,000的比例面積模型) 以及操作(例如：乘法視覺化，藉由面積模型或一堆具體物件)。 超過9的數字之表徵，是多造一個十位數(在左邊)，而超過99的數字，多造一個百位數。每一個新位值都是十倍於正右邊的位值。例如，數字1,000,從零開始數，如果每一百一數，共要十個步驟。這個基礎的數數工作，可以幫助孩子了解位值(例如： 完成數字的展開式)，可以協助了解算術的加減，在主題I-3加減法 。I-2. 位值數字常識(二年級)1.1 計數、報讀和書寫1000以下的全數，並辨識每個位數的位值。1.2 使用數詞、模型和展開式（例如：454個105）表徵數字（1000以下）。數字常識(三年級) 1.3 辨識10,000以下全數的每個數的位值。1.5 使用展開式表徵數字(例如：3,2063,0002006）。數字常識(四年級) 1.1 報讀、能書寫百萬以內的全數。1.2 排序、能比較全數至小數第二位。1.3 求百萬以內的近似值（取到十位數、百位數、千位數、萬位數，或十萬位數）。1.6 書寫小數符號和分數符號的十分位數和百分位數；並能認識二分之幾和四分之幾之分數和小數的等值記法（例如：0.5或0.50；11.75）。學生應該知道在一個數目裡的O其意義是一個係數，例如3,206 (3個千+ 2個百+ 0個十+ 6個一), 而且他們可能搞不清楚他們所想的O是某個數字的位置或本身是一個數。學生需要大致了解位值的議題(例如： 397取十的概數是40個十，而且207取十的概數是21個十)。數字常識標準1.6 (四年級) 是想要做為一個進階的次主題，因為學生可能在理解數值關係上有困難。 位值在全數的算術運算上扮演一個關鍵的角色(參考代數預備(八年級以上)的例子，主題2.全數的運算)。有關位值的概念是關於十的乘法或除法，可能有助於學生了解算術標準(例如：在一個運算中重新分組) 並且估計計算結果的合理性。 I-3. 加法和減法數字常識(一年級) 2.1 知道加法運算（和在20以內）與相應的減法運算，並能牢記。2.6 解一位數和二位數的加減問題。(例如，5+58= ) 2.7 求三個一位數的和。數字常識(二年級)2.2 求三位數以內的兩個全數的和或差。2.3 利用心算求兩個二位數的和或差。數字常識(三年級)2.1 求0到10,000之間任兩個全數的和或差。 數字常識(四年級) 3.1 理解並有能力運用多位數加、減法的標準算法。全數加法是向上數，雖然本敘述是一個簡要說明，它意謂著12 + 5 是學生再數5個一所達到的某數。從一個實際的觀點來看全數的加減是重要的，因為他們不必用往前一一數和往後一一數來求和或求差。標準算術是應用數學運算定義到位值上的數字。使用算術不一定都是最有效的解題法，但它們能足敷應用於每件事。標準算術形塑了把複雜問題切割成較小可解問題的數學策略，並且幫助其後處理多項式的代數概念。了解位值和這種有關多位數的分組(移位)歷程是重要的，如同心算技巧。學生需要了解常見的算術如何運算，辨認解題所須技巧的不同，以及充足練習不同題型，使得他們可以普遍化和應用知識到前所未見的新情境。在早期階段的學生他們可能有困難，如果他們沒有計數和讀出數字的技巧，或無法理解相等的概念(例如，問題中缺少加數，如5 + _ = 7)。以一個符號來看，等號的意義可能解釋為答案或計算，相當於計算機上的等號，而不是以數學符號代表全數的敘述，該符號兩邊的全數相等(往後，學生將看到介於數字間等式，代表對稱和的移項關係。) I-4. 乘法數字常識(三年級)2.2 熟記十十乘法表，並達到自動化。2.4 解多位數乘以一位數的簡單乘法問題（3,6713 ）。2.6 了解0和1在乘、除法的特殊性質。數字常識(四年級)4.1理解許多全數以不同方式分解（例如124326223）。當我們數相同大小的族群時，乘法是加法的捷徑。前面說過，數字1,000,從零開始數，每一百一數，要十個步驟。所謂3倍的4是指物品的數量，四個物品一組共三組，或三個四。 早期階段的孩子可以藉由使用具體物把乘法概念化(例如：以2個一數、5個一數、10個一數來計數相同大小的族群或表徵等量的離散物件)。這種模式可能幫忙學生藉由0來概念化乘法、使用推理和乘法定義 (例如：0自身加5次，仍然是0；所以，5 0 = 0)。1的乘法特例也可以相同地概念化。學生可能會有困難，如果他們看不到乘法表的邏輯模式和順序，或沒牢記乘法表。重要的是練習許多題型，因為如果學生只解過常見的3 4 = _題型，當遇上例如缺少因數的3 _ = 12，可能會混淆他們，並且引出不正確的答案3 36 = 12。重要的是(例如因數分解數目以及合成數的重新組合)向學生介紹相同的數目有不同的表徵。I-5. 除法數字常識(四年級)3.2 理解並有能力運用標準算法處理多位數乘以二位數、多位數除以一位數；利用兩者的關係簡化運算；並檢驗答案。乘除之間的連結必須早點提供證明給學生。除式例如8 4 = 2是另一種簡單的說法，等同於8 = 2 4，所以一個像是8 4 = _的問題等於缺少一個因數的r 8 = _ 4。這樣一個清楚的除法解釋，可以幫助學生了解為何除以0無法定義。(例如，5 0沒有意義，因為沒有一個數字可以做為 5 = 0 _的答案)，為什麼以1來除不會改變數字，而且為何全數除法不一定產生全數(例如， 2 7)。接著，8 4 = 2 有直觀的意義是8個物品等分成每堆4個物品，就有2堆，或每推有2個物品的4堆。學生也許早有困難，如果他們沒有看到各種除法表現方式，也就是一堆具體物被分成等量的小堆(沒有剩下)。多位數字乘法或除法的長期困難可能阻礙學生在長除法的成功，所以重要的是高度強調教學。 第二冊分數和小數本冊是有關於分數和小數，並且涵蓋以下的主題：II-1.全數的部份；II-2.等值分數；II-3.分數的計算；II-4. 小數的計算; 以及II-5.正負分數和小數。 II-1. 全數的部份數字常識(二年級)4.0 學生理解分數與小數所指的是一個集合的部分，或是一個整體的部分。4.1 辨識、命名並比較從到的單位分數。4.3 了解所有部分合起來（例如：四分之四）等於全部，等於1。5.1 使用錢幣與紙鈔的組合來解題。5.2 知道並使用小數符號，以及元和分的錢幣符號分數的共同模式是分解一個集合(例如，一元分成四個四分之一) 或是面積 (例如，一個長方形分成四個相等的面積)，以及數線上的點。然而，對於分數，老師需要在討論全部的部份之前先清楚地指出全部。例如，如果老師使用圓來描述分數，則他或她在說明分數時應該特別清楚指出全部是一個圓的面積，然後他或她應該特別清楚全部是一個圓的面積，使得部份會是圓子集的面積。否則，學生可能把一個圓分成等寬的三個子集，並且宣稱每個子集，畫出圖1，而非圖2。如下所示：圖1 而非 圖2在低年級以具體物表徵分數是重要的基礎概念，學生可以在稍後轉化得更精確，並且普遍化有理數的定義和他們的操作。這種使用不同表徵的能力是重要的，可做為往後代數的基礎。 II-2. 等值分數數字常識(三年級)3.1 以繪圖或實物表徵比較分數，以呈現等值分數、並在情境中加減簡單分數（例如：一個比薩的等於另一個與它一樣大小比薩的；呈現大於）。 3.2 加、減簡單分數（例如，判斷等於）。數字常識(四年級)1.5 解釋分數的不同意義，例如整體的部分、一個集合的部分、以及全數除以全數；解釋等值分數（參閱標準4.0）。數字常識(五年級)1.5 辨識並表徵數線上的小數、分數、帶分數，以及正、負整數。數字常識(六年級)1.1 比較並排序正負分數、小數、帶分數，並把它們標示在數線上。等值分數和分數加減是兩個需要小心發展的連續概念。如果未清楚界定分數加法的意義，學生在起步階段可能不正確思考，只基於長方形面積的全部和部份地加，也就是+=。或者學生可能會爭辯，因為8 6。不具備清楚的分數意義(就好比以規定的方式在數線上得到一點)，學生將難以了解等值分數和運算分數。熟悉常見的著名分數例如，等等，並且有能力估計分數的真實大小(例如，知道大概等於)可以幫助學生處理數線。 學生應該了解，當兩個分數(或者該類的任何數字)落在數線上的相同位置，則它們相等，並且如果它們不相等，則在數線上以相對位置排序。重要的是在一開始建立分數的單位，以一個單位開始，老師把單位分成b等份並且取其中一份或更多份，稱柘惡些部份的數為a。然後，當該單位的全部面積加總起來是相等面積b部份，分數可以在視覺上理解為某部分或片段的面積，如圖3所示分數的視覺模型。 單位分解成b等份a個部份的總合 圖3同分母的分數相加可以看成數線長度相加。因為一旦學生瞭解並且等於，了解等值分數是異分母分數加法的的必要條件(因為 = 1; 當分母等於分子時，分數是1), 又和等值，則等於，這種題型他們已經知道如何在數線上表示，以及用符號演算。像帶分數必須小心解釋為3。從這個瞭解，學生能推理這個數是, 也就是，經同分母相加得或。這些邏輯結構使得學生以數學推理來驗明計算，而不是薄弱的公式。II-3. 分數的計算數字常識(五年級)2.5 演算並完成分數的簡單乘除法，並運用這些程序來解題。數字常識(六年級)2.1解決正分數的加、減、乘、除，並解釋為何某情境使用某種運算。學生需要在有理數的不同表徵發展出流暢變換利，並且了解運算的意義。在有結構的環境中處理分數，以嚴謹定義和應用概念來解題，做為基礎在未來處理複雜的代數式。 Liping Ma (1999, 5583) 已經發表了以中國老師和美國老師對分數題目的情境；無論如何，把真實世界的意義帶進分數除法是困難的，因為許多這類的模式無法普遍化地解釋逆除法題目。基於這個理由，清楚定義分數是需要的。學生首先需要了解分數乘法的精確意義與全數乘法一致(例如，= 邊長為和的長方形面積 )。分數除法的意義等同於稍早討論過的全數除法(參見I-5.除法)；也就是說， 有個解等同於少一個因數的題目_。學生能瞭解除法的顛倒相乘算法是來自數學推理，因為右邊乘積是_的答案。(以下步驟在邏輯上證明如何滿足該式；就是在式子右邊的值：1) II-4. 小數的計算 數字常識(四年級)2.0 學生將他們對於全數的理解與運用延伸到簡單小數的加、減法。數字常識(五年級)2.0 學生演算並解決分數與小數的加減法和簡單乘除法：數字常識(六年級)1.1 比較並排序正負分數、小數、帶分數，並把它們標示在數線上。分母為10的分數是有限小數或可除盡小數的例子。學生應該知道全數的位值記法可以延伸到小數。分數以10和100為分母特別重要，在邏輯上解釋貨幣的小數表徵以及在不同的等值表徵間移動(例如， 5.50).學生應該了解為何在加法題目，對齊行時以小數點為基準，而不是最右邊的位數。位值概念的知識是學生取捨小數能力的基礎 (例如，知道等於0.67是取概數到百分位)，以及在計算之前有合理的估計。 II-5. 正負分數和小數 數字常識(二年級)5.2 知道並使用小數符號、元和分的錢幣符號數字常識(三年級)3.3 知道並理解分數和小數是相同概念的不同表徵方式（例如：50分等於1元的，75分等於1元的）。數字常識(四年級)1.6 書寫小數符號和分數符號的十分位數和百分位數；並能認識二分之幾和四分之幾之分數和小數的等值記法（例如，0.5或0.50；11.75）。1.7 藉由圖形著色部分書寫分數表徵；藉由圖畫表徵已知分數；在數線上連結分數到簡單小數。1.8 運用負數概念。例如：在數線上、在計數、在溫度上、欠的。數字常識(五年級)2.1 小數的加減乘除；負整數加法；負整數減正整數；並檢驗答案的合理性。數字常識(六年級)2.3 解加、減、乘、除的問題，包括在使用正、負整數具體情境，以及這些演算的組合。數字常識(七年級)1.2 加減乘除有理數（整數、分數、有限小數），並將正有理數表徵成全數型的次方。學生可能已經了解有理數3.5 代表分數( )，是等值分數()，是等值小數(3.50)，或在視覺上是一個面積或數線上的一點。學生可能需要知道許多機會以小數表徵分數或等值分數，題目依據具體情境以及放在情境中可能有幫助。負分數和小數可能從相同的概念發展來，如同負整數 (例如，一個題目缺少加數，_ = 0，類似5 + _ = 0)。它們也可以發展成先把它們放在數線上，使得任何分數和對0是對稱點。一旦學生了解負分數位於數線的何處，他們可能比較容易瞭解從減去，等同於把加到，或-+()。第三冊 比率、比值和百分比本冊是關於位值和基本的數字技巧，並且涵蓋以下主題：III-1. 比率和單位的轉換；III-2.比例和百分比；以及III-3. 比值。III-1. 比率和單位的轉換數字常識(三年級)2.7 由已知的總價與件數，求單價。代數與函數(三年級)1.4 以符號形式表示簡單的單位換算（例如： 英吋 呎12）。測量與幾何(三年級)1.4 在度量系統中進行簡單的單位換算（例如，公分和公尺；小時和分鐘）。主題III-1介紹數目間關係的簡單想法，但如果他們缺乏乘除背景知識和演算的精確定義，這個主題對學生可能有困難。如果學生沒有充份練習普通測量，在瞭解具體情境的成比例推理可能有困難；例如，知道1公斤或一公克哪個是比較大的量。單位轉換有助於學生了解成比例推理和線性關係。單位轉換也有助於放大縮小的題目。學生應該了姐不同單位的等值表示 (例如，12吋= 1 呎)，並且最後發展數字在不同表徵的轉換(例如， a 對 b 的比值等於的商；每加侖汽油可開42哩的比值可以表示成。單位的轉換是重要的，因為他們幫忙促進數學理解，而且因為他們常長出現在實際的應用。 III-2.比例和百分比代數與函數(三年級)2.1 解兩量之間函數關係的簡單問題。(例如，已知單價乘以個數，求總價。)2.2 藉其規則，延伸並找出線性樣式。例如，要算已知的馬匹數的腳數，可以四個一數，或是用馬匹數乘以4。數字常識(五年級)1.2 解釋百分率是一百的一部分；求求公分數的等值小數和百分率，並解釋為何代表相同的值；求某全數的已知百分率。統計、資料分析和機率(五年級)1.3 使用分數和百分率比較不同規模樣本的資料群組。數字常識(六年級)1.2 在不同的情境中(例如打擊率，每小時的英哩數)，解釋和運用適當的比例記號(a/b，a 比 b，a：b)，以呈現兩個數量的相對大小。1.3 利用比例解題(例如，已知4/7=N/21，求N值；已知一個多邊形，求相似多邊形的邊長)；利用交叉相乘來解上述問題，理解兩邊都乘以乘法反元素。例題：當等號成立時，求n？1. 2. (這個問題也適用於代數和函數課程標準1.1)1.4 計算已知量的百分率；解拍賣折扣、被賺走的利息、和小費的問題。 學生須要看過成比例和百分比的許多題型。在這個主題中，學生把百分率加到他們曲目做為比例的特別型態，其分母普遍化為100。這裡有一些例子：學校有100個學生，女孩55人，多少百分比率的學生是女生？學校有女孩55人和45個男孩，多少百分比率的學生是女生？已知有個工人每小時賺$10，有一年薪水增加10%，然後調降薪水10% ，經過這兩次改便，工人的薪水是多少？延伸線性模式並且普遍化在比例上一定會發生的，對於學生發展比較多代數觀點的算術是重要的。 III-3. 比值代數與函數(六年級)2.1 轉換某個測量單位成另一個（例如，英呎換成英哩、公分換成英吋）。2.2 呈現所理解的比率是某量對另一量每單位值的度量。2.3 解比率、平均速度、距離和時間等問題。統計、資料分析和機率(六年級)3.3 以比率、比例、純小數、百分率來表徵機率，並檢驗機率的合理性；瞭解假如P是一事件發生的機率，1P是指不會發生該事件的機率。代數與函數(七年級)4.2 解速率、平均速度、距離、時間或正比變化等多步驟問題。 數字常識(七年級)1.6計算某量增加或減少的百分率。1.7 解關於折扣、漲價、佣金，和利潤問題，並求單利、複利。學生須要學習操作複合分數。分數的概念可以普遍化，使得分子和分母兩者不僅僅限制於全數，他們本身可以是分數(包括小數)。複合分數()/()，這裡的a, b, c, 和 d 是全數或(整數)，被定義成分數被所除。以複合分數的定義，複合分數的加減乘除的普遍化沒有改變，並且當複合分數的分子和分母各別乘以有理數時，結果是該分數等於原來的分舒。這些重要的事實可以直接從接從複合分數演繹。複合分數的應用和測量單位有關。複合分數像百分比自然發生，以及在有關不同單位的實務問題。複合分數也有賴於對實數比率的了解、在代數初步對直線斜率的定義，甚至是對微積分導數概念的理解。 學生可能需要被告知分數如同全數的部份，但同樣重要的是他們知道分數的解釋是比率，同理，分數被用來作為分子和分母的多重比較。學生也應該理解分數可以是某量和另一量的比率，甚至該量不是全數。 第四冊數學的核心步驟本冊是關於數學的核心步驟，並且涵蓋以下主題：V-1.符號的使用；IV-2.數學基礎; IV-3.求式子的值; IV-4. 等式和不等式; 以及IV-5.符號的演算。 V-1.符號的使用代數與函數(三年級)1.0 學生選擇適當符號、運算法則和性質以表徵、描述、簡化和解決簡單的數字關係。代數與函數(四年級)1.1 使用字母、空格、或其他符號來表示簡單式子或等式中的任意數（例如：呈現對變數概念的理解和使用）。代數與函數(五年級)1.2 使用字母表徵未知數；書寫並用取代法求含有一個變數的簡單代數式之值。代數與函數(六年級)1.2 書寫並求出已知情境之不超過3個變數的代數式。代數與函數(七年級)1.1使用變數和適當的運算符號，來寫成式子、等式、不等式，或聯立方程組、聯立不等式組來表徵口語敘述（例如：小於3的數，等於面積A的一半）。主題IV-1 有關從一個原始的情境轉成符號表徵。為了掌握代數，學生需要流暢地瞭解理應用題的意義，並且轉化其意義成為數學式子和等式。指定一個符號，通常稱為一個變數來表徵式子裡的未知部份，是這個步驟的要點。對初學的學生強調這個概念，老師必須把問題中的符號特別化(例如，求x，使得 27 x = 14)。符號的操作不應該讓學生背誦一連串的步驟(例如，阻止二項乘法) ，但應該透過數學推理來了解(例如，分配性質的應用)，這個能力將使得學生對數學有洞察力並且可以解他們還沒見過的題型；例如，式子(a + b)(x + y + z)。 IV-2. 數學基礎代數與函數(二年級)1.1使用交換律和結合律以簡化心算，並檢驗結果。代數與函數(三年級)1.5 認識並使用乘法交換律和結合律性質（例如：如果5735，則75是多少？；如果573105，則735？）代數與函數(五年級)1.3 了解並能運用等號與式子中變數的分配律性質學生須要透過演算全數變數之廣泛例子來普遍化這些概念。例如，學生應該練習數字分解和簡單的事實家族的關係，也就是全數加減互逆和乘除互逆(例如，7 + 5 = 12; 5 + 7 = 12; 12 5 = 7; 12 7 = 5)。學生限制它們在只有2到3個因數的交換律、結合律和分配律，拓展規則到更多更多因數。 這些規則算術基礎，用來完成代數演算，並且是許多數學證明和推理論證的基礎。當學生了解這些規則，他們也可以證明代數式的化簡，和數學的邏輯論證。這些規則得的名稱應該成為學生數學詞彙的一部份，但是比較重要的，學生應該可以正確地使用規則。學生需要達到的是他們可以了解並表示規則，使用符號記法；例如，任意數x, y, z, 在結合律下x + (y + z) = (x + y) + z 必定為真。當一個開場白是對任意數x, y, z，學生就被引入代數的心臟和數學推理的核心。這可能是第一次學生看到普遍話的概念，也就是某個數學敘述為真對任意數，而不僅是對某些數。IV-3. 求式子的值代數與函數(七年級)1.2 使用正確的運算次序求代數式的值，例如3(2x+5)2的值。 1.3 使用有理數的性質來簡化算式(例如：自身性，反身性，分配律，結合律，交換律)，並檢驗使用過程。缺乏書寫數學習慣的某些知識以及清楚的基本概念，學生可能想要像是的式子，而誤用方配律產生。藉由知道和使用演算順序，學生在解或估計等式和不等式時應該比較不會犯錯。 IV-4. 等式和不等式代數與函數(四年級)2.1 知道並理解等式兩邊同時加一個相等的數，仍然相等。2.2 知道並理解等式兩邊同時乘以一個相等的數，仍然相等代數與函數(七年級)4.0 學生解有理數的簡單線性方程式和不等式。學生應該達到的是他們可以表示一個想法，例如符號化相等加相等，等於相等。(例如，如果a, b, x, 和y是任意四個數，而且a = b 和 x = y，則a + x = b + y)。在等號兩邊維持等式的想法是演算和化簡等式的基礎。學生須要發展演算等式的方法，透過數學推理、改變數學式子成為一個等值的式子，或從已知式持正確地推演出一個更有用的式子。 IV-5. 符號的演算數字常識(七年級)1.3將分數轉換成小數和百分比，並能利用這些表徵來估算、計算和應用。學生將有困難在處理等式和有理數情境，如果他們沒有流暢學會的分數、小數和百分比。學生須要自在地應對簡單的題型，其中的A和B是全數。目前所講的符號操作，並不會提到A和B是任意數(也不會B = 0)，但是有些挑戰的是，如果A和B它們本身是分數或小數。複合分數的重要性已經在稍早討論過了(見III-3.比值). 第五冊 函數和等式本冊是有觀函數和等式，並且涵蓋以下的主題：V-1.函數; V-2.標繪圖; V-3. 成比例關係s; 以及V-4. 標繪圖和函數的關係。 V-1. 函數 代數與函數(幼稚園)1.1 依照物件的特性，將物件加以分辨、排序、分類；也識別哪些物件不屬於特定的一組（例如：這些球是綠色的；那些球是紅色的）。統計、資料分析和機率(一年級)1.1 依物件或資料的共同性質進行分類，並描述其類別。2.1 說明、延伸並且解釋在簡單的重覆樣式（例如：節奏性的、數字的、顏色的、形體的）中找到下一個要素的方法。統計、資料分析和機率(二年級)2.1 辨識、描述、延伸樣式並知道線性樣式中下一項（例如：4，8，12；一匹馬的耳朵數、二匹馬的耳朵數、三匹馬的耳朵數、四匹馬的耳朵數）。 代數與函數(三年級)2.1 解兩量之間的函數關係之簡單問題 (例如，已知單價乘以個數，求總價) 。2.2 藉其規則，延伸並認識線性樣式 (例如：求已知馬匹數的腳數，可以四個一數，或是用馬匹數乘以4) 。代數與函數(四年級)1.5 理解等式（像y3x5）是一種預測：當已知一個數，可以求另一個數。代數與函數(六年級)2.1轉換某個測量單位成另一個（例如，英呎換成英哩、公分換成英吋）。學生以好幾年的時間逐漸地學習這個主題，但如果他們在適當時機沒有一些核心概念和技巧，他們可能會有困難(例如， 4個一數的能力是認識4, 8, 12, 16, 20, . . .數列模式的先備能力)。在介紹階段，學生需要了解何謂函數，不是正式的形式，而是某種規則下某種物件對應到另一種物件的結合律。例如，函數產生了數字0, , 1, 4, 9 ，當x分別為0, , 1, 2, 3。如果延伸線形模式，學生須要發展和了解模式推展的明確規則。例如，已知數列2, 5, 8, 11, 14 . . . , 學生應該了解如何延伸它成為一個線形模式(加3)，並且也求出這個模式的普遍化規則(第n個數必定為3n 1)。那個知識將幫助學生了解更多進階的代數關係。V-2. 標繪圖 統計、資料分析和機率(一年級)1.2 利用圖片、長條圖)、圖示、圖像式統計圖來表徵並比較。（例如最大的、最小的、最常見的、最少見的）。統計、資料分析和機率(二年級)1.1 以系統化方式記錄所計數的數值資料。1.2 以一種以上的方式去表徵同一組資料（例如：長條圖與正字計次圖）。統計、資料分析和機率(三年級)1.3 以清楚並且有組織的方式，摘要並展示機率實驗的結果(如：使用長條圖或折線圖)。測量與幾何(四年級)2.0 學生使用二維座標方格紙來表徵點、繪曲線圖，以及簡單圖形2.1 在方格紙上繪出對應畫出線性關係的點（例如：畫出等式y3x圖上的10個點，然後用一條直線連接它們）。統計、資料分析和機率(五年級) 1.4 在曲線圖中辨識資料序對；並解讀曲線圖中該筆資料所描述的情境意義。 1.5 了解如何正確書寫序對，例如（x，y）。曲線圖是滿足某些條件所有點的集合。舉個例子，如果x 和 y是實數，所有(x, y) 的點滿足等式是一個圓(雖然不代表x的方程式)，而且(x, y) 的集合所滿足的y = 3x + 2是一條直線 (代表x的方程式)。學生可能難以將離散的整數曲線圖(例如，腳數是馬數的函數)來做出連續關係的曲線圖。而且如果學生沒有很多機會投入繪畫的練習，他們可能難以把圖上的點連接到其所描述的資訊，或者他們可能犯了技術上的錯誤，例如顛倒了x和y的對應關係。 V-3. 成比例的關係代數與函數(三年級)2.1 解兩個量函數關係的簡單問題。(例如，已知單價乘以個數，求總價。)2.2 藉其規則，延伸並找出線性樣式。例如：求已知的馬匹數的腳數，可以四個一數，或是用馬匹數乘以4。 數字常識(六年級)1.3 利用比例解題(例如，已知=，求N值；已知一個多邊形，求相似多邊形的邊長)；利用交叉相乘來解上述問題，理解兩邊都乘以乘法反元素。學生所經歷各種比例和比值困難，可能根植於對比例或比值意義缺乏理解，和任何比例常數概念的解釋。例如，以下的問題：如果六個工人以3天的漆完穀倉(以這樣的工作速率)，需要多少工人才能在一天漆完穀倉呢？學生可能難以建立這種題型的比例，如果他們不確定要比較的量；而且他們可能無法正確應用代數，如果他們沒有過結構化的教學來發展他們的正確先備技巧和概念。 V-4. 標繪圖和函數的關係 代數與函數(五年級)1.5 解整數的線性函數問題；書寫方程式；並將所得到的序對結果繪製在方格紙上。代數與函數(七年級)3.0 學生標繪圖，並解釋線性函數和一些非線性函數。 3.1繪製、這種形式的函數，並應用在解題。 3.3繪製線性函數，並觀察橫座標每單位的變化量（值的變化）對應於縱座標的變化量（值的變化）都相同，且知道這個比值(單位距離的上升斜度)就稱為圖形的斜率。 3.4在座標圖繪製固定比值的數量關係圖（例如：商品價格對件數，英呎對英吋，圓周對直徑）；連接點畫出直線，並知道該線的斜率等於量的比例。比例關係概念的理解可藉由具體物，然後發展成比例的精確意義，稱為斜率。學生需要知道直線斜率代表的常數是一個固定比例，因此可以線上任兩點計算出來。在這個階段，可以藉由直接實驗來發展這個知覺T，但只能在稍後的幾何課程證明。如果學生沒有穩固的基礎，繪製曲線圖和相關的演算可能有困惑。演算斜率以外，讀曲線需要學生解釋尺度和軸線。學生可能在