第二十八章锐角三角函数教材分析.doc

第二十八章 锐角三角函数教材分析 本章“锐角三角函数”属于三角学，是数学课程标准中“空间与图形”领域的重要内容。从数学课程标准看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。本章内容与已学 “相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：281 锐角三角函数 约2课时282 解直角三角形 约5课时数学活动 约1课时小结 约2课时一、教科书内容与课程学习目标 （一）本章知识结构框图章知识的展开顺序（二）教科书内容本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。在第28.1节 “锐角三角函数”中，教科书先研究了正弦函数，然后在正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正弦函数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对边求斜边的问题，由于这个锐角是一个特殊的角，因此可以利用“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半” 这个结论来解决这个问题，接下去教科书又提出问题，如果角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论，这样就能够使学生体会到“无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数”，这里体现了函数的对应的思想，即的角对应数值。接下去，教科书又设置一个“思考”栏目，让学生进一步探讨在直角三角形中，的锐角所对的边与斜边的比有什么特点，利用勾股定理就可以发现这个比值也是一个常数，这样就使学生认识到“无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数”，通过探讨上面这两个特殊的直角三角形，能够使学生感受到在直角三角形中，如果一个锐角的度数分别是和，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这里体现了函数的思想，这也为引出正弦函数的概念作好铺垫。有了上面这样的感受，会使学生自然地想到，在直角三角形中，一个锐角取其他一定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数的问题。这样教科书就进入对一般情况的讨论。对于这个问题，教科书设置了一个“探究”栏目，让学生探究对于两个大小不等的直角三角形，如果有一个锐角对应相等，那么这两个相等的锐角所对的直角边与斜边的比是否相等，利用相似三角形对应边成比例这个结论就可以得到“在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值”，由此引出正弦函数的概念，这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，即在直角三角形中，一个锐角的每一个确定的值，sinA都有唯一确定的值与它对应。在引出正弦函数的概念之后，教科书在一个“探究”栏目中，类比着正弦的概念，从边与边的比的角度提出一个开放性问题：在直角三角形中，当一个锐角确定时，这个角的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？提出这个问题的目的是要引出对余弦函数和正切函数的讨论。由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成。在余弦函数和正切函数的概念给出之后，教科书在边注中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，突出了函数的思想。一些特殊角的三角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了、角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是、和的特殊角。教科书把求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系。本节最后，教科书介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容。由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍。第28.2节“解直角三角形”是在第一节“锐角三角函数”的基础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用。本节开始，教科书设计了一个实际背景，其中包括两个实际问题，这两个实际问题抽象成数学问题分别是已知直角三角形的一个锐角和斜边，求这个角的对边和已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这两个边的夹角的问题，解决这两个问题需要用到第28.1节学习的有关正弦函数和余弦函数的内容。这两个问题实际上属于求解直角三角形的问题，设计这个实际问题的目的是要引出解直角三角形的内容。因此，教科书借助于这个实际问题背景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件（其中至少有一个是边）求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系。这样，教科书就结合实际问题背景，探讨了解直角三角形的内容。接下去，教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用。第一个实际问题是章前引言中提到的确定比萨斜塔倾斜程度的问题，这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的对边，求这个锐角的问题，这要用到正弦函数；第二个问题是确定神舟5号变轨后，所能看到地面的最长距离，这个问题实际上是已知直角三角形的斜边和一个锐角的邻边，求这个锐角的问题，这要用到余弦函数；第三个问题是确定楼房高度的问题，这个问题抽象成数学问题是已知直角三角形的一个锐角和它的邻边，求这个角的对边，这要用到正切函数；第四个实际问题是在航海中确定轮船距离灯塔的距离，解决这个问题需要反复利用正弦函数。这样教科书就通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用。本节最后，教科书采用将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想。（三）课程学习目标对于本章内容，教学中应达到以下几方面要求：1. 了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆、的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2. 能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3. 理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4. 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受。二、本章教材特点（一）加强与实际的联系本章主要包括锐角三角函数和解直角三角形两大块内容，这两大块内容是紧密联系的。锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强硬有力的工具，解直角三角形为锐角三角函数提供了与实际紧密联系的沃土。因此本章编写时，加强了锐角三角函数与解直角三角形两大块内容与实际的联系。例如，在章前引言中利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出正弦函数；结合使用梯子攀登墙面问题引出解直角三角形的概念和方法等。再有，教科书利用背景丰富有趣的四个实际问题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用。教科书这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要，另一方面也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用，感受由实际问题抽象出数学问题，通过解决数学问题得到数学问题的答案，再将数学问题的答案回到实际问题的这种实践-理论-实践的认识过程，这个认识过程符合人的认知规律，有利于调动学生学习数学的积极性，丰富有趣的实际问题也能够激发学生的学习兴趣。（二）加大学生的思维空间，发展学生的思维能力本章编写时一方面继续保持原有的通过设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”等栏目来扩大学生探索交流的空间，发展学生的思维能力，同时结合本章内容的特点，又考虑到学生的年龄特征（学习本章内容的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书采用了先设置一些探究性活动栏目，然后直接给出结论的做法，而将数学结论的探索过程完全留给学生，不像前两个年级那样，将这些探究过程通过填空或留白等方式展示探索过程来引导学生进行探究。例如，教科书在详细研究了正弦函数，给出正弦函数的概念之后，设置了一个“探究”栏目，并提出问题“在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对边与斜边的比就随之确定，那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？”，接下去，教科书直接给出了余弦函数和正切函数的概念，而将“邻边与斜边的比、对边与邻边的比也分别是确定的”这个结论的探究过程完全留给学生自己完成。再如，对于、这几个特殊角的三角函数值，教科书也是首先设置一个“思考”栏目，在栏目中提出问题“两块三角尺中有几个不同的锐角，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值”，然后教科书用一个表格直接给出了这几个特殊角的三角函数值，而将这些角的三角函数值的求解过程留给学生完成。这样的一种编写方式就为学生提供了更加广阔的探索空间，开阔思路，发展学生的思维能力，有效改变学生的学习方式（三）揭示数学内容的本质本章的一个教学目标是使学生理解锐角三角函数的概念，这个概念与学生以前所学的一次函数、反比例函数和二次函数有所不同，它反映的不是数值与数值的对应关系，而是角度与数值之间的对应关系，学生初次接触这种对应关系，理解起来有一定的困难，而这种对应关系对学生深刻地理解函数的概念又有很大帮助，因此，教科书针对这种情况，加强了对锐角三角函数所反映的角度与数值之间的对应关系的刻画。例如，对于正弦函数，教科书首先研究了在直角三角形中，和的锐角所对的边与斜边的比分别是常数和，然后就一般情况进行研究，并得出结论：当一个锐角的度数一定时，这个角的对边与斜边的比也是一个常数，这样就突出了锐角与比值的对应关系，即对于每一个锐角，都有一个比值与之对应，从而给出正弦函数的定义。同样，教科书在阐述余弦函数和正切函数时也突出了锐角与“邻边与斜边的比值”之间的对应关系以及锐角与“对边和邻边的比值”之间的对应关系，并在边注进一步强调了这种函数关系：对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。同样地，cosA，tanA也是A的函数。这样，就可以让学生对变量的性质以及变量之间的对应关系有更深刻的认识，加深对函数概念的理解。微积分的思想在数学中占有重要的地位，其基本思想是“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”，这个基本思想是很朴素的，是可以在初等数学中反映的。教科书在本章最后，结合解直角三角形的内容，采用与测量大坝的高度和测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了在确定山的高度时，如何将山坡“化整为零”，如何将山坡的长度“化曲为直、以直代曲”，又如何将每一部分的高度“积零为整”，这样编写的目的是要体现微积分的基本思想，让学生通过直观形象的例子对微积分的基本思想有一个初步的认识。综上所述，本章教材注意突出数学内容的本质，强调数学思想方法，这有助于提高学生的数学素养。三、几个值得关注的问题（一）注意加强知识间的纵向联系第27章“相似”为本章研究锐角三角函数打下基础，因为利用“相似三角形的对应边成比例”可以解释锐角三角函数定义的合理性。例如，教科书在研究正弦函数的概念时，利用了“在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半”，得出了“在一个直角三角形中，如果一个锐角等于，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于”。事实上，在直角三角形中，如果一个角等于 ，那么这样的直角三角形都相似，因此，不管这样的三角形的大小如何，它们的对应边成比例，这也就是说，对于，虽然教科书是从两个特殊的直角三角形（的对边分别是70和50）归纳得到的，但这个结论是可以从三角形相似的角度来解释的。同样，对于有类似的情况。当然，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性。因此，锐角三角函数的内容与相似三角形是密切联系的，教学中要注意加强两者之间的联系。全等三角形的有关理论对理解本章内容有积极的作用。例如，在研究解直角三角形时，教科书通过探索得到结论：事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果在知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就确定下来了，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素，这个结论的获得实际上利用了直角三角形全等的有关理论，因为对于两个直角三角形，如果已知两个元素对应相等，并且其中有一个元素是边，那么这两个直角三角形全等，也就是已知一个直角三角形的除直角外的两个元素，其中至少有一个是边，这个三角形就确定下来，因此就可以利用这两个元素求出其余的元素。因此，利用三角形全等的理论，有利于理解解直角三角形的相关内容。教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移。另外，本章所研究的锐角三角函数反映了锐角与数值之间的函数关系，这虽然与一次函数、反比例函数以及二次函数所反映的数值与数值之间的对应关系有所不同，但它们都反映了变量之间的对应关系，本质上是一致的，因此教学时，要注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念。（二）注意数形结合，自然体现数与形之间的联系 数形结合是重要的数学思想和数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料。例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识（在直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质。再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决。因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解。四、课程标准相关要求 .通过实例认识锐角三角函数（sinA,cosA,tanA）,知道30，45，60角的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题.28.1 锐角三角函数-正弦教学任务分析教学目标知识技能使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定这一事实，进而认识正弦（sinA）数学思考经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维解决问题 在直角三角形中，初步建立边与角之间的关系，对于解决三角形问题又有了新的途径情感态度使学生体验数学活动充满着探索与创造，能积极参与数学学习活动 重点使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，认识正弦（sinA）难点学生很难想到对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论板书设计 课题正弦定义 例题分析课后反思教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动一：问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考：1 在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？2 若斜坡与水平面所成角的度数是45，结果会如何呢？3若斜坡与水平面所成角的度数是40，结果会如何呢？4若已知出水口高度为40m，斜坡上铺设的水管长50m，那么斜坡与水平面所成角的度数是多少呢？活动二：探求新知 1请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30、45、60角的对边与斜边的比值教师提出问题，给学生一定的时间进行思考，之后可让学生进行交流此问题可归结为直角三角形问题在RtABC中，C=90，A=30，BC=35m，求AB的长学生由已学知识很容易解决，AB=70m并能得到，说明在直角三角形中，如果一个锐角是30，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都是教师继续提出问题2和3，4，对3，4，学生感到很困惑，不知如何解答从而引出本章要学的内容教师提出问题后，学生积极动手，学生很快便会回答结果：无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其它未知边的长由实际需要引出新知前两个问题学生很容易回答这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大问题与情境师生行为设计意图2请同学画一个含40角的直角三角形，并测量、计算40角的对边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论直角三角形大小如何，所求的比值是固定的活动三：探究活动任意画RtABC和，使得C=90，A=，那么有什么关系，你能解释一下吗？经过学生的实验和证明，得出： 在RtABC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦（sine）,记作：sinA，即同样sinB=部分学生可能会想到，当锐角取其它值时，其对边与斜边的比值也是固定的吗？ 1、通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，一旦角度确定，它的对边与斜边的比值也随之确定”但是怎样证明这个命题呢？学生这时的思维很活跃对于这个问题，部分学生可能能解决它因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成2、学生经过研究，也许能解决这个问题若不能解决，教师可适当引导：根据师生共同得到的结论，“无论直角三角形的锐角为何值，一旦角度确定，它的对边与斜边的比值也随之确定”，引出正弦的概念请学生结合图形叙述正弦定义教师板书：在RtABC中，C为直角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA 教师要关注学生：sinA是一整体符号，不能分开写成sinA胆地探索新知通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生观察问题、解决问题的能力， 起到培养学生思维能力的作用由正弦定义，第一次将直角三角形中的边与角联系起来，为解决直角三角形的有关计算问题指出了新的途径培养学生概括能力及语言表达能力问题与情境师生行为设计意图活动四：例题分析例：如图，在RtABC中，C=90，求sinA和sinB的值活动五：练习 （1）P79页：练习，（2）在RtABC中，C=90，A=30，求sinA的sinB的值；（3）在RtABC中，C=90，A=45，求sinA的sinB的值活动六：归纳小结，布置作业：（1）本节课中你有哪些收获与大家交流？（2）教师可适当补充：本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识（3）正弦定义中将直角三角形中的边与角联系起来，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了作业：1.P85页习题：1、 4，（求正弦值）必做题补充作业：2.在中，于点已知，求的值选做题教师出示例题，与学生共同分析得到，每个小题都需由勾股定理求出第三边的长度教师写出第（1）小题的解题过程，教给学生正确的解题格式解：（1）在RtABC中，由勾股定理得： （2）题由学生自己独立完成，并用投影展示学生的解题过程教师出示练习，学生独立完成，教师巡视，对学习基础较弱的学生及时给予指点教师引导学生作知识总结，不断扩充学生的知识结构，学习新的解题方法教师布置作业，学生记录并认真完成巩固正弦概念，学会一种新的解题格式求sinA就是要确定A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定B的对边与斜边的比复习、巩固所学知识，并为后边学习特殊角的三角函数值做准备复习巩固所学知识，并为下一节课做准备28.1 锐角三角函数（第二节课）教学任务分析教学目标知识技能使学生在上节课的基础上知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，进而认识余弦（cosA）、正切（tanA），进而得到锐角三角函数的概念数学思考用类比的方法得到在直角三角形中，邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，发展学生的形象思维解决问题在直角三角形中，进一步建立边与角之间的关系，为解决有关三角形的问题做好准备情感态度使学生体验数学活动充满着探索与创造，能积极参与数学学习活动，感受数学结论的确定性重点使学生知道当锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也是固定值这一事实，认识余弦（cosA）、正切（tanA），从而得到锐角三角函数的概念难点 正弦、余弦、正切概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，用含几个字母的符号组来表示， 因此概念是难点 板书设计 课题余弦、正切的概念： 例题分析：锐角三角函数的概念：课后反思教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动一：复习引入： 问题：什么叫做正弦，如何表示？它是如何引入的？活动二：探究活动：如图，在RtABC中，C=90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？教师提出问题，学生在思考的基础上作答教师要关注学生对问题的理解教师提出问题后，学生认真思考，若仍不能回答，教师要引导学生类比上节课的方法通过学生的探讨、交流，归纳出：当锐角A的大小确定后，A邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是固定值，从而引出：A的邻边与斜边的比叫做A的余弦（记作：cosA）,即；A的对边与邻边的比叫做A的正切（记作：tanA）,即；锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数请学生结合图形叙述余弦、正切定义教师板书：在RtABC中，C为直角，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA；锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA引导学生思考：当A为锐角时，sinA、cosA、tanA的值会在什么范围内？得结论0sinA1，0cosA1(A为锐角)这个问题对于学困生来说有些难度，应给学生充分思考时间，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边的比值也固定这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了用类比的方法引出本节课的知识，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数同样cosA、tanA也是A的函数以培养学生概括能力及语言表达能力加强学生的记忆培养学生观察、思考的学习习惯，并发展学生的数形结合思想问题与情境师生行为设计意图活动三：例题分析 例1：如图，在RtABC中，C=90，求coaA、tanA、cosB和tanB的值例2：如图，在RtABC中，C=90，BC=6，求cosA、tanB的值活动四：练习1. P81页：32.让每个学生画含30、45的直角三角形，分别求cos30、cos45、cos60和tan30tan45、tan60 教师出示问题，学生思考，在回忆上节课的基础上进行解答，并正确书写教师要关注学习较困难的学生，如何正确理解coaA、tanA、cosB和tanB的意义，并正确书写解题过程练习：P81页：1，2.教师出示例题，学生认真读题后思考解题的方法在此教师要引导学生如何运用这个条件在学生理解的基础上，教师要板演解题的过程，让学生进一步理解解题的方法教师出示练习，学生认真思考后独立解答教材例1的设置是为了巩固余弦、正切概念，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点进一步巩固所学知识在此渗透解直角三角形的方法，即已知一锐角的正弦值和它的对边求斜边的方法巩固所学知识练习2既用到以前的知识，又巩固余弦、正切的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻 问题与情境师生行为设计意图活动五：知识升华 1问题：在本节课中，你有哪些收获要与大家交流？2布置作业： （1）复习所学知识，记忆三个锐角三角函数； （2）P85页：1.（余弦、正切）2.4.（余弦、正切） （3）归纳30、45、60的锐角三角函数值以上为必做题 （4）补充题：选做题已知Rt中，所对的边分别是，且，求sinA、cosA、tanA的值教师提出问题后，学生思考、交流自己的收获教师在学生归纳的基础上总结本节课的知识： 1主要研究了锐角的余弦、正切和锐角三角函数概念，2知道任意锐角A的正、余弦值都在01之间，即0sinA1,0cosA1,tanA0 3利用锐角三角函数的定义得到直角三角形中的边角关系，从而为解决直角三角形的问题指出了新的方法教师布置作业，学生记录并认真独立完成巩固本节课的知识，由锐角三角函数定义可得到解决直角三角形问题的新的途径巩固本节课所学的知识，并为下节课的教学做准备28.1锐角三角函数（第三节课）教学任务分析教学目标知识技能熟记30、45、60角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数数学思考加深学生对锐角三角函数的认识，了解特殊与一般的关系，并对学生进行逆向思维的训练解决问题 会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数情感态度 引导学生积极参加数学活动，增强学习数学的好奇心重点会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数难点会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数板书设计 课题例1： 练习：例2：课后反思教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动一：复习引入：1.练习：在RtABC中，C=90，AC=5，BC=12，求B的锐角三角函数值2.说出30、45、60的各个锐角三角函数值活动二：例题分析例1：求下列各式的值： （1）； （2）练习：1P83页：练习12例1 求下列各式的值：(1)2sin30+3tg30+ctg45；(2)cos245+tg60cos30例2：（1）如图（1），在RtABC中，C=90，AB=，BC=，求A的度数 （2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径）OB的倍，求 教师提出问题，学生思考并解答，教师关注学生对特殊角三角函数值的记忆方法和正确率教师可用列表的方法表示特殊角的三角函数值，教给学生记忆的方法，并引导学生观察此表格，归纳出一些规律教师出示题目后，学生观察题目特点，找到解题方法，即将特殊三角函数值代入求值学生认真独立完成，教师巡视，对学习较困难的学生适当的给予指点教师出示题目后，让学生认真读题，分析题目条件与要求的结论，分析它们之间的关系，教师关注学生的分析思路，适当时给予指点：如图（1），BC边是A的邻边，AB是斜边，由此想到利用A的余弦值来求A的度数图（2）中，OA是角的对边，OB是角的邻边，由此想到利用角的正切值来求角的度数初次解这种类型的题目，教师要板演解题过程，给学生规范的解题格式回忆所学内容，为本节课的教学做好准备再次熟悉特殊角的三角函数值，并培养学生的运算能力巩固特殊角的三角函数值利用此题目（1）培养学生的逆向思维；（2）初次渗透在直角三角形中，利用边角关系求角的度数，这也是解直角三角形的一部分问题与情境师生行为设计意图练习：1求出下列各锐角的度数：（1）；（2）；（3）；（4）2P83页：2活动三：课堂小结你在本节课中有什么收获与大家交流？活动四：布置作业 作业：P85页：3，6必做题P101页：3选做题补充题：选做题1.在RtABC中，C=90，AC=5，BC=5，求A和B的度数2.若，求锐角3.，则A的度数是多少？教师出示题目，学生读题后，独立完成此练习，教师巡视过程中，观察学生对题目的理解，对学困生给予指点教师提出问题，学生相互交流，教师适时给予指点教师要关注学生：1. 特殊角的三角函数值必须熟记；2在直角三角形中，知道两边，可求出每个锐角的各个三角函数；反之，由特殊角的三角函数值，可求出锐角的度数3能否由任意的锐角求出三角函数值，或知道任意三角函数值都可以求出它所对应的锐角呢？ 教师布置作业，学生记录作业，并能独立完成作业 巩固所学知识，加深对知识的理解，并能独立的完成解题过程 巩固本节课所学知识为下节课用计算器求任意角的三角函数值和由已知任意角的某个三角函数值而求出它所对应的锐角埋下伏笔巩固所学知识分层要求，异步达标28.2 解直角三角形（1）一、教学目标 知识与技能理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形过程与方法通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力 情感、态度与价值观渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯二、教学重点、难点1重点：直角三角形的解法2难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用三、教学步骤(一)复习引入 1在三角形中共有几个元素？ 2直角三角形ABC中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系 ； ； . ； ； .如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系 a2 +b2 =c2 (勾股定理) (3)锐角之间关系A+B=90 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用（二）教学过程 1我们已掌握RtABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情 2教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)3例题例 1在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形 解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演 解 tanA= C=2b=例 2、在RtABC中， B =35，b=20，解这个三角形 引导学生思考分析完成后，让学生独立完成 在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书 完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。4巩固练习 P91说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯(四)总结与扩展1请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素 四、作业设计 1.必做题 ：P96页第1、2题，P97页第7题 2.选做题：P101页第1、2题.28.2 解直角三角形（2）一、教学目标 知识与技能学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决过程与方法通过转化，学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决情感、态度与价值观1.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力2.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识二、教学重点、难点重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决难点：实际问题转化成数学模型三、教学过程（一）复习引入1直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答2、在中RtABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。（二）实践探索要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o)这时人是否能够安全使用这个梯子 引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？ 几分钟后，让一个完成较好的同学示范。（三）教学互动例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出(即)解:在上图中，FQ是O的切线，是直角三角形， 18 弧PQ的长为 由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2 009. 6 km. （四）巩固提升P93 1,P96 1四、作业设计 1.必做题P96 第3、4题，P87页8题；2.选做题：P101第6题.28.2 解直角三角形（3）一、教学目标知识与技能了解什么是仰角和俯角，巩固用三角函数有关知识.过程与方法通过解决实际问题，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法情感、态度与价值观学会解决观测问题，提高数学应用意识.二、教学重点、难点重点：用三角函数有关知识解决观测问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型三、教学过程（一）复习引入 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念（二）教学互动例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?分析：在中，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.解:如图, ，,答:这栋楼高约为277.1m.（三）巩固提升1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角ACD=52，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45，从西楼顶望东楼顶，俯角为10，求西楼高(精确到0.1米)3、上午