2013年数学解题能力展示初赛试题分析(liqingzhou).doc

题号知识点分值难度标准答案1计算8452数字谜81603整数、平均数844几何面积、三角形12245操作类121506行程问题123307体育比赛1538几何、等差数列、质因数151279几何面积、六边形1514110数论、质因数、约数15441合计120一填空题（每小题8分，共24分）1算式999999999-88888888+7777777-666666+55555-4444+333-22+1的计算结果的各位数字之和是_。【难度级别】【分析】原式=911111111+7111111+51111+311+1=918273645，数字之和：45。【答案】452如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数的和是_。【难度级别】【分析】由2容易知道，中间过程的四位数和三位数的首位都必须是1，从而2个乘数的首位都是1。由中间的3知道三位乘数的末位是3。由结果的1知道，中间过程的四位数的末位是1，两位乘数的个位是7。177，要想进位成四位数，至少需要进位3，三位乘数的十位最小值可以取4，4728，但是个位的3721，进位了2，28+230，可以进位3。两个乘数的和的最小值：143+17160。【答案】1603把18这8个数字放到一个正方体的八个顶点处，然后在每条棱的中点处写上这条棱的两个顶点处所写的数的平均数。如果上底面的四个中点和下底面的四个中点上写的数都是整数，那么另外四个中点处所写的数中，有_个不是整数。【难度级别】【分析】上面、下面中点是整数，说明上面、下面都是奇数或者都是偶数，中间一奇+一偶的平均数，必然是.5，不是整数，所以中间的4个中点都不是整数。【答案】4二填空题（每小题12分，共36分）4如图，在等腰直角三角形中，斜边AB上有一点D，已知CD5，BDAD2，那么三角形ABC的面积是_。【难度级别】【分析】取斜边AB的中点P，连接PC，PC既是斜边AB的中线也是高，设PCa，则PBPAa。BDa+PD，ADaPD，因为BDAD2，所以（a+PD）（aPD）2，2PD2，PD1。在直角三角形CPD中，应用勾股定理，+，24。三角形ABC的面积：S2aa24。【答案】245如图，77的表格中，每格填入一个数字，使得相同的数字所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边），现在已经给出了1，2，3，4，5各两个，那么，表格中所有数的和是_。【难度级别】【分析】此题不容易读懂题。要想数字连在一起，数字1和3是关键，连完1后要给3和4留出通路来，填法唯一。数一数，相加即可。19+26+314+413+57150【答案】1506甲、乙两人从A地步行去B地乙早上6:00出发，匀速步行前往；甲早上8:00才出发，也是匀速步行甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时甲出发后经过_分钟才能追上乙。【难度级别】【分析】速度可以任意指定，不影响计算结果。假设乙的速度是2米/分，则甲的速度是5米/分，甲出发时，乙已经走了2120240米。半小时甲追乙(5-2)3090米，甲休息半小时乙又前行23060米，1小时内甲仅追上乙906030米。考虑最后一次甲不休息（此处是出题者的陷进），30分钟可以追上90米，24090150，150305小时。560+30330分钟。【答案】330。三填空题（每小题15分，共60分）7五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得3分，负者得0分，平局各得1分比赛完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰有两支队伍同分。设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E(有两个字母表示的数是相同的)，若恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有_场平局。【难度级别】【分析】此题挺难的，从是15的倍数入手，1535。共10场比赛，五队得分总和介于20分30分之间，每队与其他4队各比赛一场，每队比赛4场。是15的倍数，既是5的倍数，也是3的倍数，从5的倍数考虑。5的倍数个位是5或者0。（一） E5最小组合：5+5+6+7+831，3130，比最高分30分多，不可能，无解。（二） E0假设得分A、B、C、D、E的5队分别是、。E0，表示全负，其他4队都胜了。4场胜负积12分，其他6场都平也积12分，总分最少24分。是3的倍数，3|(A+B+C+D+E)，3|(A+B+C+D)，前4队的分数之和是3的倍数，2430之间是3的倍数的分数有：24、27、30。(1) A+B+C+D2424分说明有4场胜负、6场平局，则前4队都是胜队1场、平3场，得分都是31+136分，4个分值相同，与“恰有两支队伍同分”矛盾，无解。(2) A+B+C+D3030分说明10场全部分出胜负，没有平局，则除了队0分外，其他队得分只能是3分、6分、9分，A+B+C+D30只能是：9+9+9+330或者9+9+6+630，而这2个组合都与“恰有两支队伍同分”矛盾，无解。(3) A+B+C+D27每平一局比胜一局少3-21分，27303，说明10场比赛有3场平局、7场胜负局，此种情况存在，满足题意，构造如下。当然，考试时，时间紧张，排除到这里，只剩这一个解了，就可以作为答案了，考试时不用去构造的。名次胜平负得分(A)3019(B)2208(C)1215(D)1215(E)0040合计76727ABCDE【答案】38由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长最小值是_。【难度级别】【分析】质因数分解：201331161，什么时候使用，往下看就知道了。两个小正三角形可以拼成一个小平行四边形，如果总数是偶数，就可以用小平行四边形拼装成大平行四边形；但是总数是奇数，每一层只能拼出梯形来，最后形成一个大梯形，所以最后拼出来的四边形是梯形。每相邻2层梯形的小三角形数量相差2，例如：3、5、7。梯形各层小三角形的数量都是奇数，并且组成一个等差数列。假设梯形上面第一层三角形的数量为a、层数为n，则最下层三角形数量为：a+2(n-1)，总和：a+a+2(n-1)n2n(a+n-1)2013。梯形的上底：，下底：，腰：n，所以，周长：+2na+3n-12n+(a+n-1)。2n(a+n-1)20132231161，根据“积一定、差小和小”的原则，2n(a+n-1)6661，66与61最接近、差最小，2n66，n33，a+n-161，a29，此时2n+(a+n-1)的和最小，即周长最小，最小周长为：2n+(a+n-1)a+3n-129+3331127。【答案】1279. 如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别为AB、CD、EF的中点，那么三角形PQR的面积是_。【难度级别】【分析】难度较大，比较消耗时间。方法一，平行线成比例分两步求解，逐步分析。(一)找出PQR与AKP的关系假设=1份，则ABCM面积=-=，CDEN面积=，EFAK面积=。ABCM面积+CDEN面积+EFAK面积=+=1，根据“重叠未覆盖”，SAKP+SCMQ+SENRSPQR，因为3个小三角形面积相等，所以，SPQR3SAKP。(二)找KP与PE的比例关系，求AKP的面积找沙漏，AKED，延长AM和ED相交于，=，设AK=1份长，求XE。要求EX，延长XE和AF相交于Y。在XAY中，MDAY，YFE60,YEF60, YFE为等边三角形，FYYEFE2份长。MD1份长，AYAF+FY4份长，所以，DEEY2，XDDE2，XEXD+DE+2。=。在AKE中，SAKE=，SAKP=SAKE =。根据上步的“SPQR3SAKP”得到：SPQR份。SPQR1222141。方法二，燕尾定理连接KM、KN、MN，在KMN中，P、Q、R是3个内点，对每个点可以应用燕尾定理。由对称性知道RNK、PKM、QMN面积相等，只计算一个即可，考虑R点，连接RM。应用燕尾定理，需要知道VN：VM的线段比例关系（由对称性，UM：UKVN：VM）。看沙漏NEVKM，NEKM，NE长度为0.5倍六边形边长，KM长度为1.5倍六边形边长【KM(BC+AD)2(1+2)21.5】，NE：KM0.5：1.51：3，所以VN：VM1：3，UM：UK1：3。在KMN中，设RMN1份，应用燕尾定理，RNK3份, RKM9份，总份数：1+3+913，SRNKSKMN。由对称性，SPKMSKMN，SQMNSKMN。所以，SPQR(13)SKMNSKMN。SKMN3S AKNF3关于 S AKNF的证明见右图。SPQRSKMN1222141。【答案】14110一个自然数N恰有9个互不相同的约数，其中有3个约数A、B、C 满足： ABC79； AABC； 那么，这个自然数N是_。【难度级别】【分析】因为有9个约数，93319，根据约数个数定理，N可能有两种情况：N或者N，因为（2+1）（2+1）9，8+19，X和Y为质因数。此处是本题的关键点。（一） N方法一，推导（适用于平时练习和教学）N的约数有9个：1、，从“A、B、C为约数”、“AABC”、“X和Y为质数”得到： A、B、C A、B、C A、B、C A、B1、C或A、B1、C或A、B1、CABC79，三种情况，都有平方数出现，显然，2X7，2Y7，X、Y是质数，只能取值2、3、5、7，平方数是：4、9、25、49。 A、B、C79，满足和为79，取2个平方数，只有9和49满足，3721，21+9+4979，X3，Y7，N441。 A、B、C79，X(Y+1+)79，79是质数，79179，X不能1也不能79，无解。 A、B、C79，Y(X+1+)79，79是质数，79179，Y不能1也不能79，无解。 A、B1、C或A、B1、C或A、B1、C179，(+1)78，无解；同理和也无解。方法二，尝试（适用于考试时快速出结果，比较容易试出3、7满足）取X2，Y3，N，约数是1、2、3、4、6、9、12、18、36，没有3个数的和到达79，也就是说质因数取小了，无解。取X2，Y5，N，约数是1、2、4、5、10、20、25、50、100，4+25+5079，但是4、25、50组不成AABC，无解。取X3，Y5，N，约数是1、3、5、9、15、25、45、75、522，9+25+4579，但是9、25、45组不成AABC，无解。取X2，Y7，N，约数是1、2、4、7、14、28、49、98、196，2+28+4979，但是2、28、49组不成AABC，无解。取X3，Y7，N，约数是1、3、7、9、21、49、63、147、441，9+21+4979，21213737949，满足：A21、B9、C49，N441。（二） N（考试时前面已经试出了结果，此处就可以直接忽略掉）N的约数有9个：1、。X2时，9个约数中，只有1是奇数，其他约数都是偶数。B和C有1个1，不妨设C1，A+B78，所以，A时B，A时B，A时B。但是+(+1)78无解，同样+78无解、+78无解。X3时，9个约数中，除了1以外，其他约数都是3的倍数。B和C有1个1，不妨设C1，A+B78，AAB，所以，A时B，A时B，A时B。但是+(+1)78无解，同样+78无解、+78无解。X5时，A+B+C79，AABCB，9个约数中，除了1以外，其他约数的个位都是5。个位是1或者5，无法满足A+B+C79个位的9。X7时，9个约数中只有1、小于79，而1+7+495779，无解。X7就更无解了。【答案】441【其他机构第10题】有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是_。【难度级别】【分析】设这个四位数为：N，a0，因为a、b、c、d各不相同，则 1a+b+c+d36，这个范围内完全平方数有：4、9、16、25。(1)a+b+c+d44分拆成4个数的和，只能是：44+0+0+03+0+0+12+0+0+22+0+1+11+1+1+1，这些组合中都有数字重复，此情况不满足。(2)a+b+c+d9a+b+c+d，N的约数个数为9，93319，所以N有两种可能的形式：、，X、Y为质因数。如果N，则，说明：3|(XY)，X和Y中必有质因数3，不妨设X3，寻找质因数Y满足N9是个四位数，并且四个数字不重复、四个数字和为9。将9拆分成4个数字之和，90+1+2+60+1+3+50+2+3+4，只有这3种数字组合。999991000， 1111111，34Y10，在这之间的质数有：11、13、17、19、23、29、31，对应的N（N9）依次是：1089、1521、2601、3249、4761、7569、8649。数字不重复有上面3种数字组