初中数学方程中的化归思想剖析.doc

初中数学“方程”中的化归思想剖析东方培新学校 黄清华化归思想是初中数学解题教学中最基本的思想。它将面临的问题设法转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。在整个初中数学教材中无处不渗透着化归思想，我们时常需要把高次的化为低次的，把多元的化为单元的，把高维的化为低维的，把指数运算化为乘法运算，把几何问题化为代数问题，化无理为有理等，可以说在初中的数学教材中，每一册都有较多问题的解决需要用化归的思想方法来完成，所以这种数学思想是初中数学中解决问题的一种非常重要的数学思想。问题A问题A*化归解答A解答A*还原化归思想的实质就是将一个新问题进行变形，使其转化为另一个已经解决的问题，从而使原来的问题得到解决。其一般模式是把所要解决的问题A经过某种变化，使之归结为另一个问题A*，再通过问题A*的求解，得原有问题A的解答。用框图表示如下：化归思想包含三个要素：化归的对象、化归的方向和化归的方式方法。要正确运用化归思想，就要分清化归的对象，明确要化归的方向，考虑实施化归的策略。初中数学有关方程内容贯穿三个年级，主要分布在七年级（上） 一元一次方程（第3章）；七年级（下）-二元一次方程组（第8章）八年级下分式方程（第16章 ）九年级（上）-一元二次方程（第22章）。在方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想。解方程的过程是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程，因此化归思想是解方程过程中思维活动的主导思想。本文主要从化归的方向对初中教材中解方程的化归思想进行分析。一、复杂方程向的转化在一元一次方程这一章中，用一元一次方程解决实际问题时，要把实际问题转化为数学模型-一元一次方程，这是实际问题与数学问题之间的转化；而解一元一次方程的过程实质也是一种转化，是将复杂的方程逐步转化为最简单的方程.例如：解方程.解：两边都乘6，得去括号，得移项，得合并，得系数化为1，得我们都知道一元一方程的解的基本表达形式是，它是一元一次方程中形式最简单的方程，而我们研究一元一次方程起点便是从这里开始的.学习了等式的基本性质，我们可以探索形如方程、形式的解法；学习了去括号法则之后，又可以探索形如方程形式的解法；最后，学习了含分母的一元一次方程的解法.从此不难发现：我们课本知识是由浅显、简单到较难、较复杂是逐步展开的，而上述解方程的过程正好是我们课本知识展开过程的逆过程，正好符合我们解方程的数学思维过程，即把复杂的问题，逐步转化为简单的问题，把陌生的问题逐步转化为熟悉的问题，从而求得问题的解.二、消元化归解二元或（三元）一次方程组解二元一次方程组，其基本方法是通过加减消元或是代入消元转化为一元一次方程，即完成从新知识点到已知知识点的转化，从而得到求解。代入消元法的主要步骤： 变用一个未知数的代数式表示另一个未知数；代消去一个元；解分别求出两个未知数的值；写写出方程组的解；验检验。加减消元法的一般步骤：加减法解二元一次方程组的一般步骤是什么？（1）将其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）。（2）通过相减（或相加）消去这个未知数，得一个一元一次方程。（3）解这个一元一次方程，得到这个未知数的值。（4）将求得的未知数值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值。（5）写出方程组的解。 （6）检验。三元一次方程组，也通过消元，转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程，从而使问题得解。在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体解题过程，而应不断加深对“消元化归”思想方法的认识，从整体上认识问题的本质。如果认识了消元思想，那么对于代入法、加减法等的具体步骤就不会仅是死记硬背，而能够顺势自然理解，并能够灵活应用。三、降次化归解一元二次方程 一元二次方程的特点在于二次，要把解一元二次方程这个新问题转化为已解决的问题，其基本策略是将其降次化为一次方程。解一元二次方程时有以下四种基本解法：a、如果方程的一边是关于X的完全平方式，另一边是个非负的常数，则根据平方根的意义将形如的方程转化为两个一次方程：，进而得解，此为开平方。b、如果将方程通过配方恒等变形，一边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负的常数，则其后的求解可由思路一完成，此为配方法。c、如果方程一边为零，一边能分解成两个一次因式之积，就可以得到两个因式分别为零的一次方程，它们的解都是原方程的解，此为因式分解法。d、如果以上三条思路受阻，便可把方程整理为一般形式，直接利用公式求解。纵观以上四种方法，不难发现，方法一即所谓开平方法，它是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程，即由转化为，完成了由“二次”向“一次”的转化。方法二中的“配方”仅完成了方程的恒等变形，把问题转移到“可开方”上来，并未完成“降次转化”这一实质性工作，但已经为“二次”向“一次”转化创造了条件，因而习惯上称之为“配方法”，配方法的实质就是通过转化为开平方来解决的。方法三即因式分解法，其理论依据是“若干个因式之积为零时，则其中至少有一个因式为零”，据此，也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。方法四即所谓公式法，对一般的一元二次方程,通过配方,转化为开平方求得一般结论,即求根公式。公式法以强调结论，应用结果为前提，而省略了公式的探究过程，实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题，而公式的得到则是化归思想的典型体现。从以上分析不难看到：将“一元二次”这个新知识点转化为“一元一次”这个已知知识点之际，也就是顺利求解一元二次方程之时。因此，应用化归思想降次转化为一元一次方程，是解一元二次方程各方法之“宗”。而对于高次方程，初中教材中的都是简单的一元高次方程，这类方程根据具体方程的特殊性可以通过一些常规的数学方法把它们转化为一元一次方程或一元二次方程，即完成从新知识点到已知知识点的降次化归过程，从而使此类方程问题得到解决。四、分式方程整式化实现新知识向已知知识块的转化与整式方程相比，分式方程的特殊性是其未知数在分母中，因此分式方程的解法是通过去分母整式化为一元一次方程。但是分式方程的解法与整式方程的解法有两个明显的区别：（1）一般说，解分式方程时要通过去分母使它先转化为整式方程，也就是使未知数从分母的位置移上来。注意这里的去分母是在方程两边同乘一个含未知数的式子而不是一个非零常数，因此这样的去分母不能保证新方程与原方程同解。（2）通过去分母得出的解必须经过检验，当这个解使得分式方程的分母不为零时，它才是分式方程的解。教学中，应重视分析分式方程的特殊性，并根据它认识解分式方程的基本思路（先化分式方程为整式方程，再解出未知数，再检验确认），明白这样做的道理，再次体会化归思想在解方程时的指导作用。五、方程与函数之间的转化 一次函数y=kxb(k、b为常数，且k0)与二元一次方程可以互相转化，其实它们从形式到内容都是统一的；当y=0时，转化为关于x的一元一次方程kxb=0，此时x的值就是直线y=kxb与x轴交点的横坐标；教学“二元一次方程组的图象解法”，就是将二元一次方程组转化为两个一次函数，若这两个一次函数的图象有一个交点，则这个交点的坐标就是二元一次方程组的解一般地，两个函数图象的交点问题都可转化为求方程组的解来解决 二次函数y=ax2bxc(a、b、c为常数，且a0)，当y=0时，该函数式就转化为一元二次方程ax2bxc=0，其解就是抛物线y= ax2bxc与x轴交点的横坐标；教材中注意沟通一次函数与二元一次方程、一元一次方程这“三个一次”，二次函数与一元二次方程这“两个二次”的联系与相互转化，为学生提供探究性学习的题材，使学生认识到函数与方程的辩证统一，感受数学思想方法与知识的内在联系从上面的分析中，我们不难发现初中数学教材中的解方程都是需要用化归思想来解决的，化归思想在初中数学解方程的学习中有着举足轻重的作用，是一种非常重要的数学思想。那么如何在日常教学中更好的渗透和落实化归思想呢？1、夯实基础知识，完善知识结构是落实化归思想方法教学的基础。拥有扎实的基础知识、掌握完整的知识结构是实现化归的基础。a、重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础。从某种意义上说，中学数学教学实际上是数学模型的教学，建立数学模型是实现问题的规范化和程序化，运用模型的过程即是转化与化归的过程。b、养成整理、总结数学方法的习惯。 c、完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。在平时教学中帮助学生完善知识结构，例如做好单元小结，其中画知识结构图或列知识表是完善知识结构使知识系统化、板块化的有效方法之一。通过表格或网络图，知识之间的相互联系、依存关系一目了然，为问题的转化提供了准确的方向。2、把渗透化归思想的教学过程，精心设计到教案中去。在制订教学目标、确定教学要求、采用教学方法时，强调注重思想方法的落实。在组织学生练习、技能训练时，有意识地渗透思想方法。3、重视教学过程的展开