轴对称综合提高.doc

年 级初二学 科数学编稿老师巩建兵课程标题轴对称综合提高一校张琦锋二校林卉审核王百玲一、考点突破本讲内容在中考题中以考查轴对称的性质、轴对称图形的作法、等腰三角形的性质与判定的综合运用为重点，所占分值在10分左右要求学生具有较强的观察能力、作图能力、综合分析能力，大多数题目难度不大，与实际生活的联系更加密切，灵活性很强轴对称在中考题中的比例有逐年增大的趋势，以等腰三角形的性质、判定为核心来探究问题，这也是中考考查的一个重要知识点二、重难点提示线段、角、等腰三角形、等边三角形的轴对称性是本讲内容的重点，而等腰三角形的性质是重中之重发展合情推理，进一步学会有条理地思考和表达，把已知条件、图形、定理结合起来理解是本讲内容的难点一、知识脉络图二、知识点拨1. 非等腰三角形中边角的不等关系：在一个三角形中，如果两边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边对大角；如果两角不相等，那么它们所对的边也不相等，大角对大边可利用图和图证明这两个事实2. 平面直角坐标系中，关于坐标轴夹角平分线对称的点的坐标特征：如图，如果点A的坐标是（a，b），那么点A关于一、三象限角平分线对称的点B的坐标是（b，a），关于二、四象限角平分线对称的点C的坐标是（b，a）点A在其他象限时这一规律仍然成立，只要两点关于一、三象限角平分线对称，其横、纵坐标互换位置；关于二、四象限角平分线对称，其横、纵坐标变号后互换位置能力提升类例1 已知等腰ABC中，ABAC，BAC30，AD为BC边上的高，P点在AC上，E点在AD上，若PEEC的最小值为4，则ABC的面积为（ ）A. 8 B. 16 C. 32 D. 64一点通：设点P关于AD的对称点为点P，则点P一定在AB上，且CPAB时PEEC的值最小，即PEEC的值最小所以在RtACP中BAC30，AC2CP8，所以AB8，CP4所以SABCABCP8416答案：B点评：线段最短问题一般与轴对称有关，解答本题的关键是通过作某线段端点的对称点，将两条线段之和的最小问题转化为点到直线的距离问题本题有两种作法：一、作点P关于AD的对称点P；二、作点C关于直线AD的对称点，由等腰三角形的对称性可知，这个点就是点B，连结BE即可例2 已知点A（2，4）、B（2，4）、C（1，2）、D（1，2）、E（3，1）、F（3，1）是平面直角坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中能找出_组对称三角形一点通：本题考查平面直角坐标系中点的轴对称问题，很明显ACE和BDF关于y轴对称本题的难点在于确定是否还有其他的对称三角形，因为这6个点可以组成很多三角形，还应注意，这样的对称三角形是把6个点分成两组，两组中不能有重复的点，如ABC和BAD虽然关于y轴对称，但不符合题意答案：4，如图所示：点评：根据本题要求，解答时有一个规律：首先在y轴左侧任选两点，然后选第三点组成三角形，第三点只能是y轴左侧剩下的那一点或它的对称点，即ACE与BDF，ACF与BDE等，共6组，其中ACE与BDF重复出现3次，所以一共有4组对称三角形如果不按规律，则很容易造成漏解综合运用类例3 如图所示，把正方形纸片ABCD对折后打开，折痕为MN，再把顶点D折到MN上的一点P上，折痕为CE，把顶点A折到MN上的同一点，折痕为BF，请回答下列问题：（1）线段PC、PB与正方形的边长有什么关系？（2）CPB的度数是多少？（3）还能知道哪些角的度数？请指出来一点通：此题利用轴对称图形的性质，首先得到折痕（对称轴）MN，又得到折痕EC、BF，它们所在的直线都是对称轴，即CPE与CDE关于CE所在的直线对称，ABF与PBF关于BF所在的直线对称，根据轴对称的性质可得到对应边相等，对应角相等，从而得出PBC是等边三角形这个事实答案：（1）由折叠的性质得：线段PC、PB均等于正方形的边长，PCPB；（2）由（1）可知，PCPBBC，所以PBC是等边三角形，所以CPB60；（3）由（1）、（2）可知：123475，5630，7891015，MFPMEP30，EPF120，NPFNPE120，等等点评：此题提供了一种通过折叠裁剪等边三角形的方法，要记住哟！例4 已知：如图所示，ABC是等边三角形，P是三角形外的一点，且ABPACP180求证：PBPCPA一点通：欲证PBPCPA，可考虑将BP、PC转移到同一条直线上，将问题转化为证明线段相等，由条件ABPACP180，此题较适合补短，即延长PC到D，使CDBP，连结AD，证明APPD即可也可以延长BP到点D，使PDPC，连结CD答案：延长PC到点D，使CDBP，连结ADABPACP180，ACPACD180，ABPACD在ABP和ACD中，ABPACD（SAS），APAD，BAPCADBAPPAC60，CADPAC60，即PAD60，PAD是等边三角形PCCDPDPAPBPCPA点评：求多条线段间的长度关系时有两条主要的思路，一是找出与所求线段相等的线段，等量代换；二是利用截长补短法思维拓展类例5 如图所示，在ABC中，ABAC，F是AC上一点，在BA延长线上取一点E使AEAF，连结EF并延长，交BC于D，求证：EFBC一点通：证明两线垂直，可证明其夹角为90，已知条件中没有与90有关的条件，本题解法较多，可分为两类：一是不添加辅助线，利用平角或三角形内角和通过计算求BDE的度数二是构造出直角作等腰三角形的对称轴，如图和图，可构造直角；如图、，其原理一样，都是先作垂直，再证明有关线段的位置关系；如图，把DE构造成一个等腰三角形的对称轴答案：证法1：ABAC，BC，EAF2BAEAF，EAFE，BAC2EEAFBAC180，2E2B180，EB90，BDE90，即EFBC证法2：过点A作AGBC于G，如图所示AEAF，AFEE，BACAFEE2AFE在等腰三角形ABC中，AGBC，BAC2GAC，GACAFE，AGED，AGBC，EFBC证法3：过点A作AHEF于H，如图所示AEAF，AHEF，EAHEAFABAC，BC，又EAFBC，BEAFEAHB，AHBC，AHEF，EFBC证法4：过点C作MCBC于C，交BA的延长线于M，如图所示MB90，ACBACM90，又BACB，MACMAEFAFE，且AEFAFEMACM180MAC，MAEFEFMC，EFBC证法5：过E作ENEF于E，交CA的延长线于N，如图所示ENEF，NEAAEF90，NEFN90，AEFAFE，NNEA又BC，且BCNNEA180BAC，NC，NEBC，NEEF，EFBC证法6：过点E作EPAC，交BC的延长线于点P，如图所示EPAC，PACB，BACB，BPPEFAFE，AFEAEF，PEFAEF，EDBP，即EFBC点评：本题用多种方法证明了EFBC，这些方法可分成两类：一是由角之间的关系利用三角形内角和来证；二是利用等腰三角形的轴对称性构造具有垂直关系的线段例6 如图所示，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且ACBC；EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP，EFFP（1）在图1中，请你通过观察测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP、BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由一点通：第（1）问易解，第（2）、（3）问先猜测结论再证明，因为图2和图3是平移变换过程中两个不同的状态，所以其结论和证明方法应该类似从图2和图3来看，BQ和AP的数量关系和位置关系比较容易猜测，是相等且垂直的关系关键是如何证明，BQ和AP相距较远，可考虑利用三角形全等来证；线段BQ和AP不相交，可延长BQ与AP相交，利用角之间的关系证明其夹角是90答案：（1）ABAP，ABAP（2）BQAP；BQAP证明：由已知得EFFP，EFFP，EPF45，又ACBC，CQPCPQ45，CQCP，又BCAC，BCQACP90，RtBCQRtACP，BQAP；延长BQ交AP于点M，RtBCQRtACP，CBQCAP，又CBQCQB90，CQBAQM，CAPAQM90，BQAP；（3）成立，证明：EPF45，CPQ45，又ACBC，CQPCPQ45，CQCP，又BCAC，BCQACP90，RtBCQRtACP，BQAP；延长QB交AP于点N，则PBNCBQ，BQCCBQ90，APCPBN90，BQAP点评：这是一道与平移变换有关的图形探索问题，解答这类问题时，应重点分析变换过程中变化的量和不变的量在本题中RtBCQRtACP是一种始终不变的关系，它也正是BQAP、BQAP的原因一、等腰三角形中常用到的辅助线1. 通常作底边的高、中线或顶角平分线；2. 底边有中点时，常常连底边上的中线；3. 截长补短法在证明多条线段的和差关系时常用此法，特别是在已知条件中有角平分线时，一般是在长边上截取短边，构造全等三角形以上添加辅助线的最终目的是：通过等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线、全等三角形把分散的边角关系进行集中二、几何证明题的分析方法从已知条件入手，运用定义、定理、公理逐步推出结论的方法叫做综合法从要证明的结论出发，根据定义、性质、定理、公理，寻找能使结论成立的条件，一直追溯到能使结论成立的条件与已知条件吻合的方法叫做分析法在解几何问题时，两种方法常结合使用，使问题顺利解决在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半（1）该性质揭示了30角直角三角形的边的数量关系的特殊性（2）此性质的前提是“在直角三角形中”在解题时，如果只知道一个三角形有一个角为30，就说这个角的对边等于某邻边的一半，是错误的（3）该性质主要应用于计算和证明线段的倍分关系（4）该性质的逆命题也是真命题，即：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30（答题时间：60分钟）一、选择题1. 一个人站在平面镜前，哪一面镜子里是他的像？（ ）2. 如图所示，在RtABC中，B90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E已知BAE10，则C的度数为（ ）A. 30 B. 40 C. 50 D. 603. 等腰三角形中，有一个角是50，则它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A. 25 B. 40C. 25或40 D. 以上都不对*4. 在平面直角坐标系内，有等腰三角形AOB，O是坐标原点，点A的坐标是（a，b），底边AB的中线在第一、三象限的角平分线上，则点B的坐标为（ ）A. （b，a） B. （a，b） C. （a，b） D. （a，b）5. 如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60的角，在直线l上取一点P，使得APB30，则满足条件的点P的个数是（ ）A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 不存在6. 如图所示，ABP与CDP是两个全等的等边三角形，且PAPD有下列四个结论：PBC15；ADBC；直线PC与AB垂直；四边形ABCD是轴对称图形其中正确结论的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题7. 小明把一张长方形的纸对折2次，描上一个四边形，再剪去这个图形（镂空），展开长方形纸，得到如下图案，设折痕为l1、l2、l3，观察图形并填空：四边形与四边形关于_成轴对称；折痕l2既是_与_的对称轴；又是_与_的对称轴；从整体看也是_与_的对称轴8. 在平面直角坐标系中，点A、B、C、D的坐标分别为（1，3）、（2，4）、（1，3）、（2，4），则线段AB与CD的位置关系是_9. 如图所示，直线AB、CD相交于点O若OMONMN，那么APQCQP_10. 如图所示，在ABC中，BC，FDBC于D，DEAB于E，AFD158，则EDF等于_三、综合运用11. 如图所示，AD是ABC中BAC的平分线，P是AD上的任一点，且ABAC，求证：ABACPBPC12. 一艘轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行有无触礁的危险13. 已知：如图，ABC中，BC边中垂线ED交BC于E，交BA延长线于D，过C作CFBD于F，交DE于G，DFBC，试证明：FCBB14. 如图所示，ABC中，ABAC，A100，BD平分ABC，求证：BCBDAD四、拓展探索15. （1）已知ABC中，A90，B67.5，请画一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知ABC中，C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC与C之间的关系一、选择题1. B 解析：注意观察裤子上的图案，在抱球的那一侧2. B 解析：由题意可知，BAE2C90，所以C403. C 解析：如果这个角是顶角，那么底角是（18050）65，此时一腰上的高与底边的夹角是906525；如果这个角是底角，那么一腰上的高与底边的夹角是9050404. A 解析：利用本讲专家点拨中的规律方法可求5. B 解析：如图所示，过点B作BP1AB交直线l于点P1，则AP1B30作AP2l于点P2，则AP2B30P1、P2是满足条件的点6. D 解析：根据题意，PBC15易证；可通过同旁内角互补证得ADBC；延长CP交AB于点Q，可通过三角形内角和证明CQB90，即PCAB；因为ADBC，所以过点P与AD垂直的直线必与BC垂直，这条直线也同时平分AD和BC，所以有四边形ABCD是轴对称图形二、填空题7. l1； ； ； 和 和8. 关于y轴对称9. 240 解析：因为OMONMN，所以OMN是等边三角形，所以MON60，所以AOM120APQ、CQP、AOM是OPQ的三个外角，其和是360，所以APQCQP36012024010. 68 解析：在RtBDE和RtCFD中，BC，所以BDECFD180AFD22，所以EDF902268三、综合运用11. 证明：在AB上取一点E，使AEAC，连结PE，易得AEPACP，所以PEPC在BEP中，BEPEPB，即（ABAC）PCPB，所以ABACPBPC12. 解：依题意画图，则AB7海里，过点P作PCAB于C，则由题意可知PBC30，APBPBCPAB301515，PABAPB，PBAB7（海里）PCPB73.5（海里）PC3.8海里，该船一直向东航行有触礁的危险13. 证明：如图，连结CD，DE垂直平分BC，CEBC，DFBC，CEDF由CFBD，DEBC得DFGCEG90，又FGDEGC，FGDEGC（AAS）EGFG，DGCG，DGEGCGFG，即DECF在BCF和BDE中，BFCBED（AAS），BDBCDFBCBD，CF是BD的中垂线，BCFBCD又DE是BC的中垂线，BBCD，BCFB或连结BG，如图，证得FGDEGC，有FGEG，BG是DBC的平分线，GBCDBC又DE是BC的中垂线，GBCFCB，即FCBDBC14. 证明：本题可采用“截长”或“补短”两种方法如图，在BC上截取BFBA，B