第十二讲相似形(二).doc

远辉教育学校春季（八年级下）培优数学学案 我学习，我成长，我收获，我快乐！第十二讲 相似形（二）一、 知识梳理1、将实际问题抽象成几何图形，利用三角形相似，对应边成比例来求出不易测得的高度和宽度，你学习的测量旗杆的方法有 ； ； ；2、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于 。3、相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 。4、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 ，这时相似比又称为 。5、位似图形任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 。二、重难点高效突破例1如图所示，路边有两根相距4m的电线杆AB，CD，分别在高为3m的A处和6m的C处用铁丝将两电线杆固定，（1）求铁丝AD与铁丝BC的交点M离地面的高度NH。（2）若将BD=4米改为BD=a米, 求高度NH；（3）综合（1）（2）你有什么结论跟踪训练1、某同学利用影子长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己影子长为0.8m，旗杆的影子长7m，已知他的身高为1.6m，则旗杆的高度为（ ）A8m B10m C12m D14m2、为了测量一棵大树的高度，准备如下测量工具：镜子，皮尺，长为2米的标杆，高为1.5米的测角仪。请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具序号填写）_；（2）画出测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中哪些数据，并用a、b、c、等字母表示测得的数据_；（4）写出求树高的算式：AB=_。3、两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积之和为78，则较大三角形的面积为（ ）A54 B46.8 C42 D524、如果两个相似三角形的最大边上的中线分别是5厘米和2厘米，它们的周长差是60厘米，那么这两个三角形的周长分别为_.5.（2009济宁中考）如图，在长为、宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A B C D三、相似三角形的题型及证题技巧1平行截割法例1、（1）如图，已知直线XY分别交ABC的AB、AC于F、E，交BC延长线于D，求证：（2）、如图，过ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于F、E。求证：跟踪训练1、如图，已知AEBC，BD=DC 求证：PD：PE=QD：QE2、已知，如图，E为ABC的边AC的中点，过E作FD交AB于D，交BC的延长线于F，求证：ADBF=BDCF2、用比例证明线段相等例2、如图，已知A、C、B、D是O两边上的点，且，延长AB、CD交于E。求证：BE=DE跟踪训练1、如图，P是ABC的BC边三中线AD上一点，PEAB交BC于E，PFAC交BC于F，求证：BE=CF2、如图，已知ABC中，D是BC上一点，且BD：DC=1：2，DEAB交AC于E，DFAC交AB于F，EF的延长线交CB的延长线于G。求证：EF=FG3、等线段代换法例3、如图，在RtABC中，ACB=90边AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，BGAB交EF于的G。求证：CF是EF与FG的比例中项。跟踪训练1、如图，在矩形ABCD中，E是CD中点，BEAC且交AC与F，过F作FGAB，交AE于G，求证：AG=AFFC 2、如图，在正方形ABCD中，F是BC上一点，EAAF交CD延长线于点E，连接EF交AD于G。（1）求证：ABFADE （2）求证：BFFC=DGEC 4、等比代换法，（即“中间比”转换法）例4、如图，正方形ABCD中，BH=BQ，BPHC。求证：DPPQ跟踪训练1、如图，已知ABC中，BAC=90，ADBC于D，E为AC中点，延长ED交AB的延长线于F。求证：（2）ABAF=ACDF2、如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，M是CD上的点，DHBM于H，DH、AC的延长线交于E。求证：（1）AEDCBM； （2）AECM=ACCD 5、利用相似三角形的性质解决三角形中内接正方形问题如图，在RtABC中，C=90，AC=4，BC=3. （1）如图1，正方形DEFG为ABC的内接正方形，求正方形的边长。（2）如图2，正方形DKHG,EKHF组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长。（3）如图3，三个正方形组成的矩形内接于ABC，求正方形的边长。（4）如图4，n个正方形组成的矩形内接于ABC，求正方形边长。（5）如图5，将3个正方形PQDS、正方形DEFG、正方形HENM放置于RtABC内，其中点P、G在边AC上，点F、M在边BC上，Q、D、E、N在边AB上。 图中共有_对相似三角形； 证明：PSGFHM； 设正方形PQDS、正方形DEFG、正方形HENM的面积分别为。求：6、动态中的相似题型（2009奉化保送题改编）等腰三角形ABC，AB=AC=8，BAC=120，P为BC的中点，小惠拿着含30的透明三角板，使30角的顶点落在点P处，三角板绕点P旋转。（1）如图1-1，三角板的两边分别与AB、AC交于E、F时，求证：BPECFP.31-1图（2）当三角板绕点P旋转，使三角形的两边分别交于BA的延长线及边AC于E、F点，BPE与CFP还相似吗？（3）连接EF，BPE与PEF相似吗？请说明理由。（4）设EF=m，PEF的面积为S，试用m的代数式表示S。跟踪训练如图，在梯形中，厘米，厘米，AB=12厘米，动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为秒CcDcAcBcQcPc（1）求边的长；（2）当为何值时，与相互平分?（3）连接PQ，设PBQ的面积为y, 探求y与t的函数关系式，求当t为何值时，y有最大值?最大值是多少？课后作业1、如图，四边形ABCD四边形ABCD，则x=_, y=_, C=_.2、如下左图，已知三个边长为2、3、5的正方形按图排列，则图中阴影部分的面积为_.3、某班在布置“五、一”联欢会场时需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如下右图所示，在RtABC中，C=90，AC=30cm，AB=50cm.依次裁下宽为1cm的矩形纸条，若裁得的矩形纸条的长度都不小于5cm,则每张直角三角形彩纸裁成的矩形彩条的总条数是（ ）A 24条 B 25条C 26条 D 27条4、如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且BAC=BDC=DAE。求证：ABEACD5、如图，在ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F。求证：BP=PEPF6、如图在边长为2的等边ABC中，ADBC，点P为边AB上一个动点，过P点作PFAC交线段BD与点F，作PGAB，交线段D于点，交线段于点。设BP=x，（1）试判断BG与2BP的大小关系，并说明理由；用x的代数式表示线段DG的长，并写出自变量x的取值范围；（2）记DEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值；（3）以P、E、F为顶点的三角形与EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由。动态题的答案解析：（1）证明两三角形相似，首先从“两角”入手，抓住B=EPF=30，发现1+3=150，2+3=150，1=2，又B=C，BPECFP.（2）BPE与CFP还相似（3）如图1-2，明显条件是EPF=B=30，无法寻其它等量角由，只有借助PE、PF与BE、BP的比例关系证相似，由（1）BPECFP得 ,又P为BC的中点，即BP=CP，又EPF=B=30，BPEPFE。（4）方法一：如图1-3，以PF为底，过点E作EHPF的延长线于H点，由（3）得，此时需考虑RtPEH的特征，解决高EH的问题，EPH=30，EH=,S=m；方法二：如图1-4，以PE为底，其高需放在相似知识里解决，过点F、P分别作FMEP,PNBA,由BPEPFE得 (高的比=相似比)。易求NP=2,即MFPE=，S=。1-3图1-2图1-4图思维感悟：此题以两个三角形为背景，通过旋转变换，由特殊到一般不断探索、运用相似。考查了相似三角形的判定及性质。其中第（3）