数学物理方程期中考参考答案.doc

学院 姓名 学号 任课老师 考场教室_选课号/座位号 密封线以内答题无效电子科技大学2011 -2012 学年第一学期期中考试A卷课程名称：数学物理方程 考试形式：闭卷 考试日期： 2011年11月 11日 考试时长：90分钟本试卷试题由四部分构成，共五页。题号一二三四合计得分得 分一、 （ 30分）假设考虑一维波动方程的初值问题：证明它的解由下述的达朗贝尔(DAlembert)公式给出:解： 令， 则 ， ， ， 代入中，得 由于，即可知 把它关于积分一次，再关于积分一次，可知它的通解为 其中F和G是任意两个可微的单变量函数。将和替换回原来的自变量，则原方程的通解为 由初始条件可得 （1） （2） 由（2）式两边积分，得 （3） 其中是任意一点，而是积分常数。 由（1）和（3），解得 把F, G代入u的表达式中，就可得原问题的解 将此表达式代入原方程组，易知：若它确实是一维波动方程的柯西问题的经典解。得 分二、 （ 25分）求解下面的半无界弦的振动问题：其中并且满足解：由叠加原理，原问题的解可分解为其中和分别是下面问题的解：和 问题（I）对应的柯西问题的解，由达朗贝尔公式给出：由题意知仅在上给出，为利用达朗贝尔解，必须将开拓到上，为此利用边值条件，得 因此对任何可以令 即可以奇开拓到上。 记开拓后的函数为： 此时解为 问题（II）对应的柯西问题的解，可由齐次化原理给出： 因为是奇函数，故（II）的解奇延拓到全空间后即为。因此原问题的解为 当时， 当时， 若并且满足相容性条件：则是此半无界问题的经典解。得 分0三、 （ 30分）求解下面的初边值问题：解： 首先分离变量。 令 ， 将它代入方程得 则存在常数使得 由边界条件得： (1)求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。 时，方程的通解为 由得由得解以上方程组，得，故时得不到非平凡解。 时，方程的通解为由边值得，再由得，仍得不到非平凡解。 时，方程的通解为 由得，再由得 。 为了使，必须 ，于是 且相应地得到 将代入方程，解得 于是 再由初始条件得 解得 故原问题的解为 将此表达式代入方程以及初边值条件中验算，可知是该初边值问题的经典解。得 分四、 （ 15分）论述并举例说明惠更斯原理以及波的弥散现象。要点：由波方程柯西问题的解的泊松公式可知，波的无后效现象（惠更斯原理）和有后效现象（波的弥散）取决于空间维数的奇偶性。（1） 惠更斯原理：奇数维空间（一维除外）中的球面波，传过之后不会留下后续效应。若波方程的行波解的速度为a,则由泊松公式可知，在离声源M0距离为r的一点M1,只有在时间t=r/a的时候才受到初始时刻在M0发出的瞬时扰动的影响，而过后马上回复到扰动前的状态。在现实中，如果初始扰动发生在某个有界区域，则一段时间后，影响的区域是一个半径一致的球面簇，其前后阵面（包络面）可以被容易地观察到。例子：三维的声波。从某个声源发出声波后，过一段时间传入耳中，并且声音的长短和发出的声音是一样的。（2） 波的弥散： 在偶数维空间或一维空间中，波的传播有后续效应。由泊松公式可知，声源M0的影响区域是一个M0为中心的球（二维时为圆），所以在离声源M0距离为r的一点M1, 在某时刻开始受到初始时刻在M0发出的瞬时扰动的影响，此后仍会继续受到影响，但会减弱（因为泊松公式的分母中有时间t）。如果初始扰动发生在某个有界区域，则容易观察到