2013年高考理科数学北京卷word解析版.doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(北京卷)本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1(2013北京，理1)已知集合A1,0,1，Bx|1x1，则AB()A0 B1,0C0,1 D1,0,1答案：B解析：1,0,1x|1x11,02(2013北京，理2)在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案：D解析：(2i)234i，该复数对应的点位于第四象限，故选D.3(2013北京，理3)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案：A解析：，ysin(2x)sin 2x，曲线过坐标原点，故充分性成立；ysin(2x)过原点，sin 0，k，kZ.故必要性不成立故选A.4(2013北京，理4)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A1 B C D答案：C解析：依次执行的循环为S1，i0；，i1；，i2.故选C.5(2013北京，理5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1答案：D解析：依题意，f(x)向右平移1个单位之后得到的函数应为yex，于是f(x)相当于yex向左平移1个单位的结果，f(x)ex1，故选D.6(2013北京，理6)若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x BC D答案：B解析：由离心率为，可知ca，ba.渐近线方程为，故选B.7(2013北京，理7)直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A B2 C D答案：C解析：由题意可知，l的方程为y1.如图，B点坐标为(2,1)，所求面积S44，故选C.8(2013北京，理8)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是()A BC D答案：C解析：图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含yx1上的点，只需要可行域的边界点(m，m)在yx1下方，也就是mm1，即.故选C.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9(2013北京，理9)在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_答案：1解析：在极坐标系中，点对应直角坐标系中坐标为(，1)，直线sin 2对应直角坐标系中的方程为y2，所以点到直线的距离为1.10(2013北京，理10)若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.答案：22n12解析：由题意知.由a2a4a2(1q2)a1q(1q2)20，a12.Sn2n12.11(2013北京，理11)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA3，PDDB916，则PD_，AB_.答案：4解析：设PD9k，则DB16k(k0)由切割线定理可得，PA2PDPB，即329k25k，可得.PD，PB5.在RtAPB中，AB4.12(2013北京，理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_答案：96解析：连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有496(种)13(2013北京，理13)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_.答案：4解析：可设aij，i，j为单位向量且ij，则b6i2j，ci3j.由cab(6)i(2)j，解得.14(2013北京，理14)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为_答案：解析：过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于点E1，连接D1E1，过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于点H，P点到直线CC1的距离就是C1H，故当C1H垂直于D1E1时，P点到直线CC1距离最小，此时，在RtD1C1E1中，C1HD1E1，D1E1C1HC1D1C1E1，C1H.三、解答题共6小题，共50分解答应写出文字说明，演算步骤15(2013北京，理15)(本小题共13分)在ABC中，a3，B2A，(1)求cos A的值；(2)求c的值解：(1)因为a3，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得.所以.故cos A.(2)由(1)知，cos A，所以sin A.又因为B2A，所以cos B2cos2A1.所以sin B.在ABC中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.所以c5.16(2013北京，理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解：设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i1,2，13)根据题意，P(Ai)，且AiAj(ij)(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则BA5A8.所以P(B)P(A5A8)P(A5)P(A8).(2)由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且P(X1)P(A3A6A7A11)P(A3)P(A6)P(A7)P(A11)，P(X2)P(A1A2A12A13)P(A1)P(A2)P(A12)P(A13)，P(X0)1P(X1)P(X2).所以X的分布列为：X012P故X的期望EX012.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大17(2013北京，理17)(本小题共14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5，(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值解：(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC.(2)由(1)知AA1AC，AA1AB.由题知AB3，BC5，AC4，所以ABAC.如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且，所以(x，y3，z)(4，3,4)解得x4，y33，z4.所以(4，33，4)由0，即9250，解得.因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B.此时，.18(2013北京，理18)(本小题共13分)设L为曲线C：在点(1,0)处的切线(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方解：(1)设，则.所以f(1)1.所以L的方程为yx1.(2)令g(x)x1f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0(x0，x1)g(x)满足g(1)0，且g(x)1f(x).当0x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递减；当x1时，x210，ln x0，所以g(x)0，故g(x)单调递增所以，g(x)g(1)0(x0，x1)所以除切点之外，曲线C在直线L的下方19(2013北京，理19)(本小题共14分)已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，O是坐标原点(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由解：(1)椭圆W：y21的右顶点B的坐标为(2,0)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得m21，即m.所以菱形OABC的面积是|OB|AC|22|m|.(2)假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为ykxm(k0，m0)由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.因为k1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形20(2013北京，理20)(本小题共13分)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1，an2，的最小值记为Bn，dnAnBn.(1)若an为2,1,4,3,2,1,4,3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，an4an)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：dnd(n1,2,3，)的充分必要条件为an是公差为d的等差数列；(3)证明：若a12，dn1(n1,2,3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.解：(1)d1d21，d3d43.(2)(充分性)因为an是公差为d的等差数列，且d0，所以a1a2an.因此Anan，Bnan1，dnanan1d(n1,2,3，)(必要性)因为dnd0(n1,2,3，)，所以AnBndnBn.又因为anAn，an1Bn，所以anan1.于是，Anan，Bnan1，因此an1anBnAndnd，即an是公差为d的等差数列(3)因为a12，d11，所以A1a12，B1A1d11.故对任意n1，a