高等数学第六章多元函数微分学.doc

第六章 多元函数微分学6.1 多元函数的概念、极限与连续性 一多元函数的概念 1二元函数的定义及其几何意义 设是平面上的一个点集，如果对每个点，按照某一对应规则，变量都有一个值与之对应，则称是变量，的二元函数，记以，称为定义域。 二元函数的图形为空间一卦曲面，它在平面上的投影区域就是定义域。 例如 ， 二元函数的图形为以原点为球心，半径为的上半球面，其定义域就是平面上以原点为圆心，半径为的闭圆。 2三元函数与元函数 空间一个点集称为三元函数 称为元函数 它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。 二二元函数的极限 设在点的邻域内有定义，如果对任意，存在，只要，就有 则记以或 称当趋于时，的极限存在，极限值为，否则，称为极限不存在。 值得注意：这里趋于是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。 三二元函数的连续性 1二元函数连续的概念 若 则称在点处连续。 若在区域内每一点皆连续，则称在内连续。 2闭区域上连续函数的性质 定理1（有界性定理）设在闭区域上连续，则在上一定有界. 定理2（最大值最小值定理）设在闭区域上连续，则在上一定有最大值和最小值 （最大值），（最小值） 定理3（介值定理）设在闭区域上连续，为最大值，为最小值。若，则存在，使得6.2 多元函数的偏导数与全微分 一偏导数 1定义 设二元函数 若存在，则记以，或 或称为在点处关于的偏导数。 同理，若存在，则记以，或 或称为在点处关于的偏导数。 类似地，设 即即 即 2二元函数偏导数的几何意义 表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率；表示曲面与平面的截线在点处的切线关于轴的斜率 3高阶偏导数 设的偏导数和仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为的二阶偏导数，共有四种。 当，在处为连续则 也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。 类似地可以讨论二元函数的三阶及阶偏导数。 也可以讨论元函数的高阶偏导数。 二全微分 1二元函数的可微性与全微分的定义 设在点处有全增量 若 其中不依赖于只与有关， 则称在处可微，而称为在处的全微分，记以或 2二元函数的全微分公式 当在处可微时 则 这里规定自变量微分， 一般地 3二元函数全微分的几何意义 二元函数在点处的全微分在几何上表示曲面在点处切平面上的点的竖坐标的增量。 4元函数的全微分公式 类似地可以讨论三元函数和元函数的可微和全微分概念，在可微情况下 三偏导数的连续性、函数的可微性，偏导数的存在性与函数的连续性之间的关系 设，则连续存在6.3 多元函数微分法 一复合函数微分法锁链公式 模型 1， ； 模型2， 模型3， 模型4， 还有其它模型可以类似处理 二隐函数微分法 设 （1）确定则； （2）确定则； （3）确定则；64 多元函数的极值和最值 一求的极值 第一步 求出驻点 第二步 令 若 则不是极值 若 则不能确定（需从极值定义出发讨论） 若 则是极值 进一步 若 则为极小值 若 则为极大值 二求多元函数条件极值的拉格朗日乘子法 求的