动态法测量杨氏模量.doc

动态法测量杨氏模量 杨氏模量是描述固体材料弹性形变的一个重要物理量，测量杨氏模量的方法很多，我们学过的有静态拉伸法，其缺点是不能真实地反映材料内部结构的变化，而且不能对脆性材料进行测量，本实验采用动态法。一、 实验目的1 学习用动态法测量杨氏模量的原理和方法。2 学会用示波器观察判断样品共振的方法。二、 实验仪器DCY-3（动态）弹性模量测定仪，包括CY-2型功率函数信号发生器（5位数显、5-500）示波器，加热炉，数显温控器，激发-接收换能器，悬挂测定支架及支撑测定支架。听诊器，式样若干，悬丝，游标卡尺，螺旋测微计。三、 共振法测量杨氏模量的基本理论任何物体都有其固有的振动频率，这个固有振动频率取决于试样的振动模式、边界条件、弹性模量、密度以及试样的几何尺寸、形状。只要从理论上建立了一定振动模式、边界条件和试样的固有频率及其他参量之间的关系，就可通过测量试样的固有频率、质量和几何尺寸来计算弹性模量。1 杆振动的基本方程一细长杆做微小横（弯曲）振动时，取杆的一端为坐标原点，沿杆的长度方向为x轴建立坐标系，利用牛顿力学和材料力学的基本理论可推出杆的振动方程： （1） 式中(x, t )为杆上任一点x在时刻t的横向位移；E为杨氏模量；I为绕垂直于杆并通过横截面形心的轴的惯量矩；为单位长度质量。 对长度为L，两端自由的杆，边界条件为： 弯矩 作用力 即x=0, L时： （2） 用分离变量法解微分方程（1）并利用边界条件（2），可推倒出杆自由振动的频率方程： （3）其中k为求解过程中引入的系数，其值满足： (4) 为棒的固有振动角频率。从方程（4）可知，当、E、I一定时，角频率（或频率f ）是待定系数k的函数，k可由方程（3）求得。方程（3）为超越方程，不能用解析法求解，利用数值计算法求得前n个解为： 这样，对应k的n个取值，棒的固有振动频率有n个f1 , f2 , f3 fn。其中f1为棒振动的基频，f2、f3、分别为棒振动的一次谐波频率、二次谐波频率、。弹性模量是材料的特性参数，与谐波级次无关，根据这一点可以倒出谐波振动与基频振动之间的频率关系为： f1 : f2 : f3 : f4 =1 : 2.76 : 5.40 : 8.93 2、杨氏模量的测量 若取棒振动的基频，由及方程（4）得：对圆形棒有，则得： (5) 式中为棒的质量，单位为g，d为棒的直径，单位为mm，取L的单位亦为mm，计算出的杨氏模量E的单位为N/m2。这样，实验中测得棒的质量、长度、直径及固有频率，即可求得杨氏模量。 四、实验装置 1 2 5 3 3 4 7 8 X 6 Y 图1 图2实验装置如图1、2所示，图中：1是功率函数信号发生器，它发出的声频信号经换能器2转换为机械振动信号，该振动通过悬丝（或支撑物）3传入试棒引起试棒4振动，试棒的振动情况通过悬丝（或支撑物）3传入接收换能器5转变为电信号进入示波器显示。调节信号发生器的输出频率，当信号发生器的输出频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上波形幅度很小。当信号发生器的输出频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，在示波器6上可看到信号波形振幅取最大值。如将信号发生器的输出同时接入示波器的x轴，则当输出信号频率在共振频率附近扫描时，可在显示器上看到李萨茹图形（椭圆）的主轴在y轴左右偏转。当测量不同温度下的杨氏模量时，需将试样至于加热炉7内，改变炉温，即可测量不同温度下试样的杨氏模量，炉温由温控器8调节控制。悬挂式测量装置如图1，两个换能器的位置可调节，悬线采用直径0.05-0.15的铜线，粗硬的悬线会引入较大的误差。支撑式测量支架如图2，试棒4通过特殊材料搭放在两个换能器上，支架横杆上有2和5两个换能器，间距可调节。四、 实验步骤本实验测试样品共四根直圆棒。1 用螺旋测微计测量试样的直径，取不同部位测量三次，取平均值。2 用游标卡尺测量试样的长度，测量三次，取平均值。3 用天平测量棒的质量。4 根据图1连接各仪器，先用支撑式测定支架测出各样品的共振频率。5 将细长棒悬挂入炉升温，测量杨氏模量随温度的变化。测试样品选短刚棒，悬线牢固结扎在距端点约10mm（节点）处，测量样品在室温、100oC、200oC、300oC、400oC、500oC下的共振频率，每个温度下重复测量5次。注意当炉腔内温度较高时，炉壳表面温度较高，不要用手直接触摸，以免烫伤。6 根据方程（5）计算杨氏模量。 表1 基频波修正系数随径长比的变化径长比d/L 0.010.020.030.040.05修正系数K1.0011.0021.0051.0081.014注：方程（4）是在d L的条件下推出的，实际试样的径长比不可能趋于零，从而给求得的弹性模量引起了系统误差，这就须对求得的弹性模量作修正，E（修正）=KE（未修正）,K为修正系数，它与谐波级次，试样的泊松比，径长比有关，当材料泊松比为0.25时，对基频波修正系数随径长比的变化如表1所示。五、 共振信号的鉴别测量中，激发、接收换能器、悬丝、支架等部件都有自己的共振频率，都可能以其本身的基频或高次谐波频率发生共振，因此，鉴别共振信号是共振法测量试样固有频率的技术关键，这包含两个问题：（a）判断试样是否处于共振状态；（b）判别所出现的共振信号属于哪一种振动模式和级次。在实验中弄清这两个问题往往是同时进行的，根据理论和经验可采用下述鉴别方法。（1）幅度鉴别法。共振时振幅达到极大值。振动阻尼越小，共振峰越尖锐。这是判断共振状态最直接的办法，也是实验时第一步应该做的。通过手动扫频找出了出现极大振幅的几个频率，只表明共振频率一定处在这几个频率上，还不清楚是否有假信号（非试样共振引起的极大值）以及所对应的振动模式和级次，应采用下述方法进一步确定。（2）相位鉴别法。接收到的试样振动信号和激发信号间有一个位相差，也就是说，振动信号比激发信号落后某一相角，共振时，位相差为。当激发频率自小而大地扫过共振频率时，相位差从小于、等于、再到大于。根据共振时的这一特征，可以判断共振信号。将激振信号输入示波器的x轴，待测信号输入y轴，在示波器上将出现一个扁圆形，当激振信号的频率调节到共振频率附近时，随着待测信号振幅的急剧增大，横卧着的扁圆形开始立起来，其长轴自y轴的一侧扫过y轴向另一侧变化。0.224L 0.5L 0.776L图3 两端自由杆基频弯曲振动波形（3）节点鉴别法。共振时，沿试样轴向形成驻波，有固定的波峰和波节。两端自由的试棒做弯曲振动时，基频弯曲振动波形如图3所示，基频波及各次谐波的节点位置如表1所示。基频和各次谐波振动的节点数目和位置都不相同。如果我们能够用肉眼观察到振动的波形和节点，当然很容易判断试样是否处于共振状态，以及属于那一个级次。但由于试样振幅一般很小，无法用肉眼观察，故常使用几种间接的办法，如：表1 两端自由弯曲振动的节点位置振动级次 节点数 节点位置（距试棒一端）基频 2 0.224L-0.776L一次谐波 3 0.132L-0.500L-0.868L二次谐波 4 0.094L-0.356L-0.644L-0.906L听诊法 用医用听诊器接近试样但不接触试样，从试样一端到另一端，一边移动一边听，在波峰处可听见最强的振动声，波节处声音最弱，以此判断节点数及位置。触觉法 用一根细金属棒，轻轻地搭放在试样上，如果是波峰位置，将感到颤动，同时振动的振幅将因振动受阻而明显减小，如果是节点位置，则不感颤动且对信号振幅没有影响。移动吊扎点法 如果将吊扎点移到节点位置，待测信号将消失，也可以据此判定节点位置。（4）频率鉴别法。当我们已经用幅度或相位鉴别法找出了若干与振幅极大值响应的频率后，可以按各次谐波与基频率振动的频率比，对照它们间的频率关系(f1 :