高考数学试题与三角函数有关的问题.doc

高考数学试题与三角函数有关的问题沁阳永威学校高三数学组 杨马龙 王董一、考题研究与预测随着新课标教材在全国各省市的推广应用，高考也会按照大纲要求对三角函数与反三角函数的考查在难度上有所降低，但仍然注重对其基本概念、基本公式、三角函数的基本性质的应用和基本计算、推理能力的考查。纵观2006-2009年三年各地试卷的三角试题，一是注重基础性考查，多是以选择题，填空题为主；二是强调三角函数的工具性，注重与其它知识的综合；三是应用开放性，三角函数考题仍是探索开放、综合应用选择的热点内容，以三角函数为载体的立意新颖的应用问题是命题者所青睐的。数学试题的走势，体现了新课标的理念，突出了对创新能力的考查。二、应试策略三角函数是传统知识内容中变化最大的一部分，新教材处理这一部分内容时有明显的降调倾向，突出“和、差、倍角公式”的正用，逆用，变式用，突出正、余弦函数的主体地位。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力。解答三角高考题的一般策略：三角函数题型一般包括三种类型：一角二式三函数。既一角是找的差异性（观察角、函数运算间的差异，比如：进行所谓的“差异分析”分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=等。）；二式找式子的差异性（运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。比如：辅助公式asin+bcos=sin(+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。）；三函数指的是二化一，（化成同角三角函数或关于正弦余弦的二次函数）。三、与三角函数有关的五大热点问题1三角函数的图象问题：这是一类研究三角函数的五大特性中奇偶性、对称性、单调性与函数图像的交点坐标及图像变换问题，解此类问题一定要注意三角函数的周期在解题中决定作用，千万不可忽视。例1.设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为.（）求的值；（）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值. 例2.已知函数f(x)=A(A0,0,00，又的最大值为，(1)求函数 的解析式；(2)由函数y=图像经过平移是否能得到一个奇函数y=的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由。解：(1)，由题意，可得，解得，所以；(2) ，将的图像向上平移1个单位得到函数的图像，再向右平移单位得到的图像，故将的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=的图像。注本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识，其是高考命题的重点内容，应于以重视。例3、为使方程在内有解，则的取值范围是（） 分析一：由方程形式，可把该方程采取换元法，转化为二次函数：设sinx=t，则原方程化为，且，于是问题转化为：若关于的一元二次方程在区间上有解，求的取值范围，解法如下： 分析二： 解法如下： 注换元法或方程思想也是高考考查的重点，尤其是计算型试题。例4、已知向量，(1)求的值；(2)若的值。解：(1)因为所以又因为，所以，即；(2) ，又因为，所以 ，所以，所以点评本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换的基本技能，着重考查数学运算能力平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一例5、已知向量，向量与向量的夹角为，且，（1）求向量；（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中为的内角，且依次成等差数列，求的取值范围。分析：本题的特色是将向量与三角知识综合，体现了知识的交汇性，这是高考命题的一个创新，也是高考命题的新趋势，关联三角形的三角解答题是高考命题又一个热点。解答本题应先翻译向量语言，脱去向量语言的外衣，这时问题（1）就转化为解方程组问题了，而问题（2）就化归为三角形中的三角函数问题了。解：（1）设，由，有向量与向量的夹角为，有，则由、解得：（2）由与垂直知，由若，则，例6如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，ABC=，设ABC的面积为S1，正方形的面积为S2（）用a，表示S1和S2；（）当a固定，变化时，求取最小值时的角解：（1）设正方形边长为，则（2）当固定，变化时，令 ，用导数知识可以证明：函数在是减函数，于是当时，取最小值，此时。o注三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点，但在复习中应引起足够的关注。五、思维能力训练：1、函数的图象的一条对称轴方程是（ ） A. B. C. D. 2、下列函数中，以为周期的函数是（ ） A. B. C. D. 3、已知是第三象限的角，若等于（ ） A. B. C. D. 4、已知，则以下选项正确的是（）A.B. C. D. 5、函数以2为最小正周期，且能在x=2时取得最大值，则的一个值是（ ）A、 B、 C、 D、6、如图，半径为2的M切直线AB于O点，射线OC从OA出发绕着O点顺时针方向旋转到OB。旋转过程中，OC交M于P，记PMO为x，弓形PnO的面积为，那么的图象是（ ）A、 B、 C、 D、7、（）A.2B.C.4D. 8、 给出下列的命题中，其中正确的个数是（）（1） 存在实数，使sincos=1；（2） 存在实数，使sin+cos=；（3） 是偶函数；（4） 若、是第象限角，且，则tgtg（5） 在ABC中AB是sjnAsinB的充要条件。A.1B.2C.3D.49、函数的值域为（ ）A. B. C. D. 10、函数在下面哪个区间内是增函数（）A.B.C.D. 11、若点P在第一象限，则在，2内的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12、定义在R上的函数即是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为（）A.B. C. D. 13、。14、如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P到水面的距离为米（P在水面下则为负数），则（米）与时间（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：；，则其中所有正确结论的序号是。15、已知函数，(1)求函数的定义域、值域、最小正周期；(2)判断函数奇偶性。16、（1）已知：，求证：；（2）已知：，求：的值。17、已知偶函数的最小值为0，求的最大值及此时x的集合。18、给出问题：已知中，满足，试判定的形状，某学生的解答如下：由条件可得：，去分母整理可得，。故是直角三角形。该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题主要依据填在下面横线上；若不正确，将正确的结果填在下面横线上。19、在中，角所对的边分别为，且，（1）求的值；（2）若，求的最大值。20已知向量，其中是常数，且，函数的周期为，当时，函数取得最大值1。(1)求函数的解析式； (2)写出的对称轴，并证明之。o答案：1、A2、D3、A4、A5、A6、A7、D 8、B9、B10、D11、B12、D 、13、14、（1）（2）（4）15、解：(1)，定义域：，值域为：R，最小正周期为；(2) ，且定义域关于原点对称，所以为奇函数。16、解：（1）（2）当时， 当时，17、解： ，因为为偶函数，所以，对，有，即