3-1-1 应力状态分析.doc

第14章 应力分析stress analysis本章内容：应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为本章重点：点的应力状态分析应力stress：单位面积上的内力。材料力学方法：切面法，将物体切开, 利用内力外力平衡条件求切面上的应力分布。塑性力学方法：把物体切成无数个微六面体（或其他形状），称微元体或单元体，根据单元体静力平衡条件写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。满足条件：连续，均质，同性，平衡，无体积力，体积不变。可列方程：平衡微分方程（平衡，3个）， 几何方程（连续均质，6个）， 物理方程（应力应变关系，6个） 屈服准则 （ 1个）（共16个）变量（共18个）：坐标x, y, z, 位移u, v, w, 应力6个，应变6个。力的类型有面力：作用力，反作用力，摩擦力 体积力：重力，磁力，惯性力高速成形不能忽略141 应力状态分析目标：任意一点的应力状态stress state 整个变形体的应力状态1411 应力分析截面法外力outside forces 产生内力 应力：正应力（stress），切应力（shear stress）要点：截开物体后，内力变外力。14111 单向拉伸uniaxial tensile应力分析C1面上全应力：S=F/A=F/(A0/cos)=0 cos正应力：=Scos=0 cos2切应力：=Ssin=0 cossin结论：任意方向都可由0 和确定其全应力S，正应力，切应力，即：单向拉伸只需0即可确定任意面的应力状态。14112 两向应力状态设任意斜面AB（夹角）上的全应力S，S可以分解为正应力，切应力由于静力平衡 即有： 解得：1412 应力分析单元体法变形体多向受力，用截面法不全面，需改进单元体法！设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得九个应力分量stress components，可写为矩阵：作用面作用方向注意：应力是张量tensor（标量，矢量，张量）张量的定义：满足坐标系转换关系的分量集合正负号：正面正向、负面负向取正号，正面负向、负面正向取负号。单元体平衡有：xy=yx xz=zx yz=zy因此ij=是对称张量当同一单元取不同坐标系时，各应力值会不一样，但是点的应力状态未改变。圆柱坐标 柱坐标应力张量 球坐标球坐标应力张量 可以分别写出圆柱坐标应力张量和球坐标应力张量表达式1413 任意斜面上的应力stress on the oblique plane已知应力状态ij=，求斜面ABC上的应力（全应力S，正应力，切应力）,设斜面ABC的法线方向余弦为l, m, n 即：l=cos(N, x) m=cos(N, y) n=cos(N, z)解：将全应力沿坐标方向分解为：Sx Sy Sz由静力平衡force equilibrium SxdA-xdAx-yxdAy-zxdAz=0而dAx=ldA dAy=mdA dAz=ndA所以 Sx=xl+yxm+zxn同理 Sy=xyl+ym+zynSz=xzl+yzm+zn因此S2=Sx2+Sy2+Sz2= Sxl+Sym+Szn=xl2+ym2+xn2+2(xylm+yzmn+xzln)2= S2-2习题 P326 1、7 1、什么叫张量？张量有什么性质？7、已知受力物体内一点的应力张量为Mpa，求外法线方向余弦为的斜切面上的全应力、正应力和切应力。1414 主应力与应力不变量stress invariants主平面principal plane切应力为0的平面。主应力principal stress主平面上的正应力。应力主轴（主方向）主平面的法线方向。也就是将 变换为，即将实对称阵变为对角阵。14141 任意坐标系设ABC为主平面，在主平面上有=0 由于2= S2-2 即可得S=所以Sx=Sl=l Sy=m Sz=n因此有： (x-)l+yxm+zxn =0xyl+(y-)m+zyn =0xzl+yzm+(z-)n=0而：l2+m2+n2=1 此为隐含条件所以有：此式即展开整理为：3-J12-J2-J3=0 *其中：J1=x+y+z可以求出三个实根1 2 3分别代入前式可求出三个主方向：l1 m1 n1 l2 m2 n2 l3 m3 n3注意：应力状态确定主应力唯一， 即方程*唯一,也即J1 J2 J3为不变值，分别为应力张量的第一不变量J1 第二不变量J2 第三不变量J3 应力不变量stress invariants14142 主轴坐标系若以主应力（1 2 3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴为1，2，3方向轴。此时，在此坐标系下的任意斜面（l, m, n）上有：S1=1l S2=2m S3=3n以及：S2=12 l2+ 22 m2 +32n2=1 l2+ 2 m2 +3n22= S2-2而且：J1=1 + 2 +3J2=-(12 + 23 +31)J3=123又由于：l2+m2+n2=1 所以有： 此方程为一椭球面方程，称应力椭球面。其中S1 S2 S3分别表示全应力S在1，2，3轴向上的投影。概念： 单向应力状态两个主应力为0平面应力状态一个主应力为0可以分别写出单向应力状态和平面应力状态的应力张量14143 解例例题：Mpa，求主应力及主方向解：方法1，可以求J1 J2 J3，然后求解。方法2，用 即 行变换后 即 再列变换有 所以：1=20，2=0，3=-10注意：1 2 3按大小顺序排列。将1=20代入求 l1 m1 n1 有方程组：（10-1）l+0m-10n=00l+(-10-1)m+0n=0 -10l+0m+（10-1）n=0且有：l2+m2+n2=1可求出：l1 = -n1= m1=0同理代入2=0 可求出l2 = n2= m2=0 3=-10可求出l3 = n3=0 m3=1实际上解本题：将对称阵经正交变换转变为对角阵，且求正交变换，即：已知，求 使练习：Mpa，求主应力及主方向。1415 主切应力和最大切应力maximum shear stress主切应力principal shear stress当切应力为极大值时，注意：此时正应力不一定为0。推导：取应力主轴作为坐标轴2= S2-2=12 l2+ 22 m2 +32n2-（1 l2+ 2 m2 +3n2）求的极值 且条件为l2+m2+n2=1解出三个极值为：l=0 m= n= 此时23=（2 -3）/2 此面上有=（2 +3）/2l= m=0 n= 此时31=（31）/2 此面上有=（1 +3）/2l= m= n=0 此时12=（1 2）/2 此面上有=（1 +2）/2若12 3则max=（1 3）/2 此切应力为最大值即最大切应力。主切应力平面特性：1）三向等拉等压状态1=2 =3=，则12=23=13=02）三应力同时增减同值时，主切应力值不变。1416 应力球张量与应力偏张量spherical tensor of stress and deviator tensor of stress14161 应力张量的分解ij= 应力偏张量 应力球张量其中：m=(x+y+z)/3=J1/3 特点：应力偏张量使形状变化，应力球张量使体积变化结论：材料的塑性变形由应力偏张量引起。14162 应力偏张量性质应力偏张量有三个不变量J1/ J2/ J3/ 其中J1/=0 J2/ 和J3/ 的表达式与前述类似。在主坐标系中有：J1/=0 J2/ =（1 2）2+（2 -3）2+（3 1）2/6J3/ =1，2，3， 作用：根据应力偏张量判断变形类型J3/ 0伸长， J