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导数中范围问题1.已知函数在处取得极值2.（1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点，求直线的斜率的取值范围。解：（1）因 而函数在处取得极值2 所以 所以 为所求 负正负（2）由（1）知可知，的单调增区间是所以， 所以当时，函数在区间上单调递增 （3）由条件知，过的图形上一点的切线的斜率为： 令，则, 此时 ，根据二次函数的图象性质知：当时， 当时，所以，直线的斜率的取值范围是2.已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（1）求函数的另一个极值点；（2）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围解：（），由题意知，即得，（*），由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）（）由（*）式得，即当时，；当时，（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数，由及，解得（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数，恒成立综上可知，所求的取值范围为3.设函数,(是实数, 为自然对数的底数)（）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（）若直线与函数,的图象都相切,且与函数的图象相切于点,求的值；（）若在上至少存在一点，使得成立，求的取值范围解：（）， 要使为单调增函数，须恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以当时，在为单调增函数要使为单调减函数，须恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以当时，在为单调减函数 综上所述，在为单调函数，的取值范围为或（），设直线,与图象相切, 得,即， 当时，方程无解；当时由 ， 得综上，（）因在上为减函数 ，所以 当时，由（）知在上递减，不合题意当时，由（）知在上递增，又在上为减函数，故只需，即：当时，因，1，所以不合题意综上，的取值范围为 4.已知函数 （I）若当的表达式； （II）求上是单调函数。解：（I） 单调递减，所以取最大值（1） 解得符合题意 （2） 解得舍去 （3） 解得舍去综上 （II） （1） 所以上单调递减 （2） 上不单调， 综上5.已知函数，点.（）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；（）当时，对任意的恒成立，求的取值范围；（）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.解：（）当时，在上递增，在上递减，所以在0和2处分别达到极大和极小，由已知有且，因而的取值范围是.（）当时，即可化为，记则记则，在上递减，在上递增.从而上递增，因此故 （）假设，即=故，由，为(x)=0的两根可得，从而有即 2，这与0时，等价于，即此时的单调递减区间为依题意，得解之得 当ag(3),只需g(2)0，解得x或x-（舍去）故时，函数的单调递增区间为(,+)单调递减区间为(0, ) 而h(x)在(0,+)上的单调递减区间是(0,
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