阿罗不可能定理和有关理论.doc

阿罗不可能定律阿罗不可能定律指出，如果众多的社会成员具有不同的偏好，而社会又有多种备选方案，那么在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果。定律是由1972年度诺贝尔经济学奖获得者美国经济学家肯尼思J阿罗提出。阿罗不可能定律不仅对传统福利经济学和政治理论提出了严峻的挑战，也导致了经济学关于经济行为研究的困惑。阿罗不可能定律源自十八世纪法国思想家孔多赛提出的著名的“投票悖论”；而利用数学对其进行论证的则是阿罗。肯尼斯阿罗是美国著名数理经济学家，因在一般均衡理论方面的突出贡献与约翰R希克斯共同荣获1972年诺贝尔经济学奖。除了在一般均衡领域的成就之外，阿罗还在风险决策、组织经济学、信息经济学、福利经济学和政治民主理论方面进行了创造性的工作。“阿罗不可能定理”和森的“帕累托自由悖论”进一步揭露了“一人一票”的虚伪性博弈论(Game theory)、社会选择(Social choice)理论、机制设计(Mechanism design)理论是现代社会科学家们研究这“民主问题”的标准工具。 博弈论是研究人们的行为是如何相互影响的，人们是如何在相互作用(interaction)之中作出自己的行为选择和行为决策的。 社会选择理论所探讨的是，对于每一种社会经济环境，我们能否以及如何确定一个满足某些价值规范的社会目标集合。如果回答是肯定的，并且接受人们是按照博弈论所刻画的方式行为的。 机制设计理论则探究能否以及如何提供一个博弈框架（game form），使得在这个框架下的博弈均衡解是在社会选择目标集合里，也就是说，社会选择函数是可执行的（implementable），或者退而求其次，这种均衡解是无限接近于社会选择目标集合的，可以说是近似地执行。 在这些理论中处于基础和核心地位的有阿罗(Kenneth Arrow)关于社会选择理论的著名的“阿罗不可能定理”，森(Amartya Sen)的帕累托自由不可能性定理，以及赫尔维茨（Leonid Hurwicz）和马斯金(Eric S. Maskin)的机制设计理论。本文从“阿罗不可能定理”作为切入点进行深入探讨。 阿罗不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，孔多塞投票悖论反映了直观上貌似良好的“民主机制”潜在的不协调。 早在十八世纪法国思想家孔多塞就提出了著名的“孔多塞投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对a、b、c三个备选方案，有如图的偏好排序。 甲（a b c） 乙（b c a） 丙（c a b） 注：甲（a b c）代表甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。 但若以“一人一票”的投票规则来排列社会偏好次序，会引发不同形式的悖论结果。 在“一人一票”的投票中选民可以将自己仅有的一张选票投向其中一位候选人来表达偏好，“最喜欢”与“不喜欢”，若是仅有两位候选人，选票诠释的结果是“1”和“0”，这是非此即彼的表达，还尚且没有大问题，最终可以通过对两位候选人获得“1”的个数加总对比出得票多少而排列出谁最受该选民群体的喜欢。 但是，当候选人是“三”的情况下，由于每位选民手中的选票只有一张，若将选票投向其中一位，则对另外两位的偏好程度就被抹杀了，无法表达出对另外两位的偏好信息，只有把他们统统归为“不喜欢”，这显然是荒谬的。 不仅如此，“一人一票”在候选人个数达到“三”时，还会因为只有“1”和“0”两种千篇一律的表达而抹杀了选民对每一个选择支的喜好程度，这种“抹杀”形成了诸多的信息反馈盲区，所以会出现不同形式的悖论。 比如下列状况中可以给甲、乙、丙三人每人100分，他们可以根据偏好程度分别赋予a、b、c一定的分值，以表达偏好程度的不同。 甲（a c b） 65 25 10 乙（b a c） 50 30 20 丙（c b a） 40 35 25 合计： a获得65+30+25=120 b获得10+50+35=95 c获得25+20+40=85 真实的社会偏好次序为：a b c 120 95 85 而“一人一票”的投票结果若用分值来分析如下： 甲（a c b） 100 0 0 乙（b c a） 100 0 0 丙（c a b） 100 0 0 完全把个人的社会偏好程度完全抹杀掉了， 所得的社会偏好次序为：a = b = c 100 100 100 和前面的真实偏好是矛盾的，所以是不科学的，而且是荒谬的。 为了回避“一人一票”投票中，候选人个数达到“三”时因为信息反馈出现盲区而形成的悖论，我们下面用候选人“两两对决”的办法进行表决： 若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下： 甲（a b ） 乙（b a ） 丙（a b ） 社会次序偏好为（a b ） 若再取“b”、“c”对决，“a”、“c”对决，于是我们得到三个社会偏好次序（a b ）、（b c ）、（c a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c！所以，当候选人个数达到“三”的时候，即便两两对决，按照“一人一票”的投票规则，也不能得出真实的社会偏好次序，真实的社会偏好次序完全被掩盖了。 真实的社会偏好次序为：a b c 120 95 85 “一人一票”投票结果所 表达的两个错误偏好次序为： 1）a = b = c 100 100 100 2）（a b ）、（b c ）、（c a ） 真实的社会偏好次序被“一人一票”完全掩盖了，所以“一人一票”的投票规则在候选人达到“三”时，无法表达社会偏好次序，用在选举中，会导致“投票结果无法表达民意”的荒谬结果。 需要强调的是，民主的主旨是遵从民意，按照民意来办事，但“一人一票”这种方式连民意都不能正确萃取，又如何表达民意？尊重民意？ 1972年诺贝尔经济学奖的获得者肯尼思.阿罗，在他的社会选择与个人价值（1951）中，证明了著名的“阿罗不可能定理”，在该书中，他运用数学工具把孔多塞的观念严格化和一般化了。 1972年诺贝尔经济学奖获得者、美国经济学家阿罗（K. Arrow）采用数学中的公理化方法，于1951年深入研究了这个问题，并得出在大多数情况下是否定的结论，那就是鼎鼎大名的“阿罗不可能定理（Arrows impossibility theorem）”。 阿罗遵从经济学研究集体决策（group decisionmaking）和公共选择（public choice）问题时的惯例，首先将个人投票视为每个独立个体根据自己的偏好程度给各种备选方案从大到小排序，个体的偏好排序满足下列要求：完全性（completivity）、反身性（reflexivity）、传递性（transivity）。 阿罗进而将选举视为一种规则，它能够将每个个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，并满足五个条件（即五个阿罗公理Arrows atoxism）。 然而通过引入决定性集合（decisive set）和最小决定性集合概念以及相关引理的证明，阿罗令人惊讶地发现：在只有两名候选人的情况下，采用简单多数规则的选举就能满足上述的五个条件的要求；但在超过三名候选人的情况下，满足前四个公理的选举规则竟然违反第五个公理（本来选举的目的就是让大家作主，结果却整出来个一言九鼎的“独裁者”），因此不存在能同时满足这五个条件的选举规则！ 这个结论被称为“阿罗不可能定理”，其确切表述如下： 当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。 阿罗用这个结论证明在已知社会所有成员偏好的情况下，通过一定的程序，把各种各样的个人偏好次序归结为单一的社会偏好次序，但通过数学证明，在能被一般人接受的条件下，即至少有三名候选人和两位选民时，这是不可能的。 “阿罗不可能定理”的这个结论和“孔多塞投票悖论”的假设是一模一样的，说白了，就是“一人一票”在候选人达到“三”和至少两民选民时，无法正确萃取民意，无法正确表达民意。更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。 “阿罗不可能定理”对于票选制度的打击被认为是类似于能量守恒定律对于永动机的打击，被称为是最根本和最彻底的。所以阿罗不可能定理几乎是刚刚问世便遭到了西方学术界的围攻，数以百计的批驳文字瞬间如雪片般飞来而它们的作者中甚至包括了萨谬尔森、李特尔等地位超卓的“权威人士”、“学术大佬”。 但一件不可否认的事实是：迄今为止，阿罗不可能定理经受住了一切技术和科学上的批评。 而技术和科学之外的“批评”以及其他，那不是一个真正的科学家所需要以及有能力作太多“关照”的。阿罗不可能定理，至今，其理论坚若磐石！ 一提到阿罗不可能定理，自然有人会将阿马蒂亚森(Amartya Sen)提出来与之讨论。森对阿罗的几个公理进行了更加细致的分析，对于其中“非独裁性公理”，他认为该定理没有明确规定最低限度的个人自由权力，他在于1970年所发表的帕累托自由的不可能性一文中，将非独裁性公理修改为：对一组状态进行选择时，社会偏好应该反映至少两个人的偏好。这一修改后的条件被称之为“最低限度的自由主义”（Minimal liberalism）。 森进一步论证，如果“阿罗不可能定理”中的“非独裁性公理”被修改为最低限度的自由主义条件，那么会出现这样一种状况，即不可能找到一个社会选择（或决策）规则同时满足于这一条件和帕累托最优原则，这就是被学者们称谓的著名的帕累托自由不可能定理（Paratian liberal impossibility theorem）,或者被称之为“森的帕累托自由悖论”（Sens paradox Paratian liberal）。 这个悖论里两个矛盾的主体如下： 1）“帕累托最优原则”指在不损害他人福利的前提下使自己的福利得以改善； 2）“个人自由”原则是人类不懈的追求，用森的话说是，如果你想趴着睡而不想躺着睡，社会应当认可。 二者都是人们直觉上能够完全接受的标准，但是森的研究表明，这两个如此诱人的标准却是矛盾的和无法同时成立的。森的定理非常简单，它建立在三个基本前提假设之上： 1），个人偏好的无限性；（个人偏好不被改变、忽略、牺牲） 2），帕累托最优原则； 3），最小自由原则（最低限度的自由主义），即社会应当赋予至少两个人各自在至少一对社会状态之间有选择权，如果他们认为a胜于b时候，社会不应干涉而应认同。 只要我们回顾一下在前面的讨论中我们假设了甲、乙、丙三人对a、b、c的偏好程度，就能非常透彻的理解森所要表达的意思。 真实的偏好程度： 甲（a c b） 65 25 10 “一人一票”所表达的偏好程度： 甲（a c b） 100 0 0 显而易见，首先“一人一票”的表达方式是对所有人真实偏好程度的篡改，这违背了“个人偏好无限性”原则（个人偏好不被改变、忽略、牺牲）。 真实的社会偏好次序为：a b c 120 95 85 “一人一票”投票结果所表达的两个错误偏好次序为： 1）a = b = c 100 100 100 2）（a b ）、（b c ）、（c a ） 两个错误的结果显示，“一人一票”将整个社会的“偏好次序”和“偏好程度”都篡改了，比“最小自由原则”中所提到的“至少两个人”的标准还严重得多。 由此可见，当选择支达到“三”时，用“一人一票”来萃取民意方法简直是在“强奸民意”。所以森的研究得出结论不存在同时满足上述三个条件的社会选择函数。 另外，有人可能会认为把“一人一票”改成“一人一百票”就能解决问题，不过我遗憾的告诉闹这样笑话的右派，连攻击“阿罗不可能定理”的学术大佬萨谬尔森都提出：“对每个人来说，若是符合自我利益的时候，会发出错误的信号”（Samulson,1954,pp 388-9），即为了自己的利益，人人都可以通过说谎而去争取到好处，这就是所谓“占优策略”（dominant strategy）。具体说“占优策略”就是指不管别人采取什么策略，自己的策略总是采用最能让自己致胜之道，去争取对自己最为有利的结果，必要时候还可以不考虑道德因素，比如说谎。所以，即便把“一人一票”改成“一人一百票”，投票结果还将是： 甲（a c b） 100 0 0 乙（b c a） 100 0 0 丙（c a b） 100 0 0 只不过这次是选民主动的把所有票数都投给了自己最喜欢的候选人，而主动的把自己的偏好给抹杀掉了，通过“说谎”的方式去争取自己的利益。 这个假设和美国数理经济学家利奥. 赫尔维茨的理论研究结果完全相同。利奥. 赫尔维茨至关重要的“激励相容”（incentive compatibility）概念的创立人，并在六七十年代创立了“机制设计理论”，利奥. 赫尔维茨这位西方现代社会学研究的泰山北斗也有个著名的“不可能性定理”那就是“真实显示偏好的不可能性定理”： 在经济环境中，在参与性约束条件下（即导致的配置应是个人理性的），不存在一个有效的分散化的经济体制（包括市场竞争机制），能够导致帕累托最优配置，并使人们有动力去显示自己的真实信息。 也就是说，真实显示偏好和资源的帕累托最优配置是不可能同时达到的，因为一个人愿意讲真话，那就意味着讲真话是他的占优策略，而若他说假话能获取这种优势，那么他会说假话。因此，要想得到能够产生帕累托最优配置的机制，很多时候必须放弃占优均衡假设，即放弃每个人都讲真话的假定。 这个“真实显示偏好不可能定理”是概括经济领域中“真实表达偏好”的状况，和社会选择规则博弈是类似的，可以说是相通的。 综上所述，“一人一票”的投票机制在选择支达到“三”时，可谓是漏洞百出，甚至可以说到了惨不忍睹的地步。坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50。也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。 可这还不够，悖论的出现只能说明其结果是个“伪结果”，其程序是个“伪程序”，其机制是“伪民主”而已，但并不能表达其危害程度。下面我们再来考察一下“一人一票”机制在选择支达到“三”时候的“危害性”。 前面提到的，诺贝尔经济学奖得主阿马蒂亚森(Amartya Sen)著名的“帕累托自由悖论”向人们证明了，人们在争取自己利益最大化的同时必然影响甚至伤害到别人的利益。 既然如此，要达成一个和谐的社会，必须有人要作出利益让渡甚至牺牲，才能让整个社会的公益得到彰显，所以人们必须放弃部分“自由”，而用“公平”的抉择来解决整体与局部的矛盾，只有如此让社会整体利益得到彰显，这就好比红绿灯指挥十字路口的交通，若大家都不暂时放弃通行，那么大家只能堵在一起谁也走不动。这其实是回答了多年前卢梭所提出的“众意和公益”之问题的讨论。 “众意”=/=“公意”，因为“公”=/=“众”，“公”是全体，而“众”只是多数而已。我们可以用刚才提到的十字路口问题来简单的举例说明一下。若“东西向”的车流多，而“南北向”的车流少，用“少数服从多数”的原则让“东西向”通车显然是仅体现了“众意”，而这个“众意”连“众利”都不见得能照顾到，因为“南北向”的车流里很有可能有救护车、消防车是去“救人”和“灭火”的，而这里的病人和火灾房屋很有可能就是“东西向”车流里的家庭成员或住宅。所以，“众意”连“众利”都无法兼顾，何况“公益”？ 不仅“一人一票”所表决出来的一定只是“众意”而已，并非“公益”，而且在这个过程当中还会因为每个选民的“占优策略”进一步偏离“公意”和“公益”。现代社会学研究在讨论“众意和公益”时，都是以自利原则为前提，即将所有的人群都认为是自利的，而且在必要的时候，可以采取一切有效的措施，甚至说谎来获取对自己有利的结果。 “吉巴德-萨特斯维特的操纵定理”就深刻的研究过这种现象，即通过虚假显示自己的偏好以达到操纵最后结果以使自己得利的现象。这种现象里比较典型的是，在投票前的酝酿中，持少数派观点的群体因害怕自己最不喜欢的结果被选出，而放弃自己的真实偏好，去支持另外一种“众意”，这种“说谎”的现象将导致“一人一票”投票结果始终是表达“众意”而不是“公意”。 真正的能体现“公益”的“公意”其实是让所有“众意”的表达都不能完全彰显，让所有群体都放弃或让渡部分自由或利益，以达到社会整体的和谐（帕累托状态），但遗憾的是“一人一票”的投票原则无论从主观还是客观两方面都不能达到这种要求，并一味走向彰显某一群体“众意”的反面，对社会总体的和谐（帕累托状态）形成严重对立。 至此，我们可以发现，这种机制是多么的不科学，它不仅只推崇“众意”而漠视“公意”，而且即便在表达“众意”上也不能作到正确萃取民意，可见这种机制是多么深刻的偏离了“社会选择”的宗旨。 在同意的计算里1986年的诺贝尔经济学奖得主布坎南提出了许多不要迷信投票规则的话题。同意的计算是布坎南和塔洛克（G. Tullock）在1962年合著的，是“公共选择”理论的经典之作，后来最新的翻译名称是共识的数学分析（The Calculus of Consent），里面所阐述的理论绝对让右派背过气去 在其著作里所阐述的基本结论是： 选民关注的事情越广泛，或者选举进行得越频繁，那么市场和效率就会受到越大的伤害。并且，在处理公共事务中，投票产生的政府、政府组织的投票不可能提供绝对公平，也未必比市场更有效率，而投票因其过程充满“猫腻”，所以其结果也绝不是正与邪、黑与白那么简单。 所以说“程序民主”实质上是走向民主的反面，这种叫嚣应该在“孔多塞投票悖论”、“阿罗不可能定理”、“森的帕累托自由悖论”、利奥. 赫尔维茨的“真实偏好表达的不可能定理”、“吉巴德-萨特斯维特的操纵定理”等社会选择、机制设计之核心理论相继论证出其虚伪性后终结掉。 阿罗不可能定律：假设甲乙丙三人对ABC三个选择有如下观点：甲：ABC乙：BCA丙：CAB通常情况下，如果是民主选择的话，人们先拿出A和B进行比较，用甲乙丙三人的投票可以得出：AB同样的道理，B与C进行比较的话可以得出： BCC与A进行比较的话得出：CA 以上三种结论 AB、BC、CA，都是按照少数服从多数的民主方法而得出的结论。我们在日常的团队表决时常常是用这种方法的。然而很明显，我们可以看得出这三者之间是矛盾的。得出的结论是ABCA。 为什么会产生这样的结果呢，我们进行反思的时候往往没有对少数服从多数的方法进行怀疑，也就是说，这种民主策略其实并非永久民主，这一理论的发现者获得了诺贝尔经济学奖。当人数大于三人，选择也大于三个的时候这个理论便更是适用了。如此，常常会给人们一种冲击力，一种头脑颠覆的感觉。难道我们平常生活中的选举和表决都错了么。我们如何去认识这一问题？其实生活中的选择我们并没有错，因为往往人们的偏向总是一致的。产生了甲乙丙这三种情况的时候往往是团队内部没有充分的讨论，或者充分的讨论了，这个情况下便说明三中选择是平等的。那么用哪个都是一样的了。而且按照少数服从多数的原则去进行投票，往往得到的是大家的民主感。解决方法：找出突破口，让甲承认，A不是最好的。OK，这个时侯，甲的顺序可以是A=BC或者BAC。那么就是让甲排除A之后，去选择一个次之的答案，那么就是B了。同样的道理，如果你想让结果是A的话，就去找丙说话了。您可能说，如果没有办法去沟通，想要真正的民主，如何讲，也是有办法的。就是打分，这一理论其实早就有了，到处都有，只是我们很少用在管理决策上罢了。我们经常会看到电视节目上，一个人表演节目，然后下面几个评委老师打分，然后把得出的平均分作为最后的分数。我们做表决的时候也是可以利用这个的。比如我们可以让甲乙丙来对ABC的人认可程度打分，这样就容易分辨出集体对ABC的认可度了。最近发现一个网站同样有意思，平时我们网上购物的话，就是去买东西付钱吧。现在有个网站叫做返还网。返还网上有很多商家的链接，比如淘宝、当当、新蛋、凡客、99书城等等。通过返还网到这些（150多家）大型商城买东西的话，返还网可以额外返还回来5%-25%的现金。而且会员还可以向返还网的客服要这些商家的优惠券（比如99书城优惠券、新华书店优惠券）。会员当然是乐意去用这个网站的了。因为这个是三方共赢的模式。会员能得到客观的现金返还，能省不少钱，返还网能增加更多的会员，而商家呢，又把商品卖出去了。岂不是三方得利么。我昨天还向客服要了一个凡客优惠券像阿罗不可能理论和返还网这样的新想法都是值得大家去关注的，他们能够给我们更多的启示。启示生活本就是充满了奇迹，奇迹呢，是勤奋思考而来的，所谓业精于勤而荒于嬉，行成于思而毁于随。阿罗的不可能定理-背景资料 1951年肯尼斯约瑟夫阿罗（Kenneth JArrow)在他的现在已经成为经济学经典著作的社会选择与个人价值一书中，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。从而给出了证明一个不可思议的定理：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。阿罗的不可能定理-孕育和诞生 阿罗的不可能定理阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候， 波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski) 到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算， 阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念 在此之前 阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢。后来， 阿罗考上研究生在哈罗德霍特林（Harold Hotelling) 的指导下攻读数理经济学 他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地 就拿消费者的最优决策来说吧，消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组台、这正好与逻辑学上的排序概念吻台。又如厂商理论总是假设厂商追求利润最大化， 当考虑时间因素时，因为将来的价格是未知的厂商只能力图使基于期望价格的期望利润最大化。我们知道、现代经济中的企业一般是由许多股东所共同拥有100个股东对将来的价格可能有100种不同的期望，相应地根据期望利润进行诸如投资之类的决策时便有100种方案。那末，问题如何解决呢?一个自然的办法是由股东（按其占有股份多少）进行投票表决， 得票最多的方案获胜这又是一个排序问题阿罗所受的逻辑训练使他自然而然地对这种关系的传递性进行考察 结果轻而易举地举出了一个反例。阿罗第一次对社会选择问题的严肃思考就这样成为他学习标准厂商理论的一个副产品不满足传递性的反例激起了阿罗的极大兴趣，但同时也成为他进一步研究的障碍 因为他觉得这个悖论素未谋面但又似曾相识。事实上这的确是一个十分古老的悖论，是由法国政治哲学家、概率理论家贡多赛在1785年提出的 但是阿罗那时对贡多赛和其他原始材料一无所知，于是暂时放弃了进一步的研究。这是1947年。次年， 在芝加哥考尔斯（Cowles）经济研究委员会， 阿罗出于某种原因对选择政治学发生了浓厚的兴趣：他发现在某些条件下，“少数服从多数”的确可以成为一个合理的投票规则。但是一个月后，他在政治经济学杂志里发现布莱克(Black)的一篇文章已捷足先登，这篇文章表达了同样的思想看来只好再一次半途而废了。阿罗没有继续研究下去其实还有另一层的原因，就是他一直以 严肃的 经济学研究为己任，特别是致力于运用一般均衡理论来建立一个切实可行的模型作为经济计量分析的基础 他认为在除此以外的“旁门左遭中深究下去会分散他的精力。1949年夏天， 阿罗担任兰德公司（Rand）的顾问。这个为给美国空军提供咨询而建立起来的公司那时的研究范围十分广泛，包括当时尚属鲜为人知的对策论。职员中有个名叫赫尔墨(Helmer) 的哲学家试图将对策论应用于国家关系的研究， 但是有个问题令他感到十分棘手： 当将局中人诠释为国家时，尽管个人的偏好是足够清楚的，但是由个人组成的集体的偏好是如何定义的呢?阿罗告诉他， 经济学家已经考虑过这个问题， 并且一个恰当的形式化描述已经由伯格森(Bergson) 在1938年给出。伯格森用一个叫做社会福利函数的映射来描述将个人偏好汇集成为社会偏好的问题， 它将诸个人的效用组成的向量转化为一个社会效用虽然伯格森的叙述是基于基数效用概念的， 但是阿罗告诉赫尔墨， 不难用序数效用概念加以重新表述。于是赫尔墨顺水推舟，请阿罗为他写一个详细的说明当阿罗依嘱着手去做时，他立即意识到这个问题跟两年来一直困扰着他的问题实际上是一样的。既然已经知道“少数服从多数“一般来说不能将个人的偏好汇集成社会的偏好，阿罗猜测也许会有其他方法。几天的试探碰壁之后， 阿罗怀疑这个问题会有一个不可能性的结果。果然， 他很快就发现了这样一个结果； 几个星期以后，他又对这个结果作进一步加强。阿罗不可能定理就这样呱呱坠地了。从1947年萌发胚芽到t950年开花结果，阿罗不可能定理的问世可谓一波三折， 千呼万唤始出来， 而且颇有点 无心插柳的意味。但是，正是在这无心背后的对科学锲而不舍的追求，才使逻辑学在社会科学这块他乡异壤开出一朵千古留芳的奇葩 这不能不说是耐人寻味的。 阿罗的不可能定理-操作实务 阿罗的不可能定理众所周知，多数原则是现代社会广泛接受的决策方法。洛克认为“根据自然和理性的法则，大多数具有全体的权力，因而大多数的行为被认为是全体的行为，也当然有决定权了”。但很多在自然法学家那里是想当然正确的东西在社会选择理论中是需要证明的。所谓社会选择，在数学上表达为一个建立在所有个人的偏好上的函数（或对应），该函数的性质代表了一定的价值规范，比如公民主权、全体性、匿名性、目标中性，帕累托最优性，无独裁性等。社会选择最重要的问题是，这些价值规范之间是否是逻辑上协调的。阿罗证明，不存在同时满足如下四个基本公理的社会选择函数：个人偏好的无限制性，即对一个社会可能存在的所有状态，任何逻辑上可能的个人偏好都不应当先验地被排除；帕累托原则，即一个方案对所有人是最优的意味着相对于社会偏好序也是最优的；非相关目标独立性，即关于一对社会目标的社会偏好序不受其它目标偏好序变化的影响；社会偏好的非独裁性。阿罗的不可能定理-内容 阿罗的不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，早在十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。甲（a b c），乙（b c a），丙（c a b）注：甲（a b c）代表甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a b ），乙（b a ），丙（a b ）社会次序偏好为（a b ）若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（b c ），乙（b c ），丙（c b ）社会次序偏好为（b c ）若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a c ），乙（c a ），丙（c a ）社会次序偏好为（c a ）于是我们得到三个社会偏好次序（a b ）、（b c ）、（c a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则，要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序，是不可能的。这样，一个合理的公共产品决定只能来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是不可能的。 阿罗的不可能定理-推理及学者的评价 阿罗的不可能定理为了简单起见，假定，每个个体至少有3个供排列的选项，可以用各种味道的饼干为选项的例子，如，香草饼干(V)、巧克力饼干(C)和草莓饼干 (S)，每一个人要形成一个序列，表示出他对3种味道的喜爱程度，如VSC，表示这个人最喜欢香草饼干，其次是草莓饼干，最后是巧克力饼干。设有甲乙丙三人作选择，他们的个人偏好为：甲： VCS，乙： CSV，丙： SVC。表1 投票悖论投票者对不同选择方案的偏好次序：甲VCS，乙CSV，丙SVC ，用民主的多数表决方式，如果三个人都能充分表达自己的意见，则结果必然如下所示：首先，在V和C中选择，甲、丙喜欢V，乙喜欢C；然后，在C和S中选择，甲、乙喜欢C，丙喜欢S；最后，在V和S中选择，乙、丙喜欢S，甲喜欢V。这样三个人的最终表决结果如下：VC，CS，SV可见，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的“投票悖论”(paradox of voting)。这个投票悖论最早是由康德尔赛(Coudorcet，Marquis de)在l8世纪提出的，因而该悖论又称为“康德尔赛效应”，而利用数学对其进行论证的则是阿罗。用数学语言来说，即：假设群体S上有m个个体成员，群体中出现的各种事件构成一个集合X，每个个体对每一事件都有自己的态度，即每个人都对集合X有一个偏好关系 i=1，2，m。即可以按自己的偏好为事件排序。定义群体的偏好为：_5 =P(_1 ldots,_m)其中P是一种由每个个体偏好得出群体偏好的规则。按这个规则从个体排序(偏好)得到群体排序(偏好)，而且这个排序符合民主社会的民主决策的各种要求。注意这个排序是自反的，即如果AB，那么，BB，BC，则有AC；并且还是完全的，即要么AB，要么BA，二者只有其一而且必有其一。这首先要考察一下民主社会的民主决策的各种要求是什么，阿罗用4个公理(有时表述为5条，把公理1分为两条)表述出这些要求。他用的是数学方法，符号化的公理和数理逻辑的证明方法，为了简单地说明问题，我们采用了自然语言解释。公理1 个体可以有任何偏好；而且是民主选择每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择(数学上称为原则U无限制原则： i，u=1，2， ，m在x上的定义方式无任何限制)。公理2 不相干的选择是互相独立的；(数学上称为原则I 独立性原则：对于X中的两个事件X和Y，_5=P( iY不成立。就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同样的态度。)公理4 没有独裁者不存在能把个体偏好强加给社会的可能。（数学上称为原则D 非独裁原则：不存在某个i，使得PV）；同理，在对V和S以及C和S分别进行投票时，可以得到S 以两票(乙丙)对一票(甲)而胜出于V(SV)；C以两票(甲乙)对一票(丙)而胜出于S(CS)。这样，CSSV CV，投票悖论就此宣告消失，唯有C项选择方案得到大多数票而获胜。森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式：(1)所有人都同意其中一项选择方案并非最佳；(2)所有人都同意其中一项选择方案并非次佳；(3)所有人都同意其中一项选择方案并非最差。森认为，在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到唯一的决定。一个更完整、更简单也更具一般意义的不可能性定理，是艾利亚斯在2004年发表的。这一定理声称：如果有多于两个可供选择的社会状态，那么，任何社会集结算子，只要满足“偏好逆转”假设和“弱帕累托”假设，就必定是独裁的。特别地，阿罗的社会福利函数和森的社会选择函数，都是社会集结算子的特例，并且偏好逆转假设在阿罗和缪勒各自定义的社会选择框架内分别等价于阿罗的“独立性假设”和缪勒的“单调性假设”，从而阿罗的不可能性定理、森的最小自由与帕累托效率兼容的不可能性定理、缪勒和塞特斯维特的一般不可能性定理，均可视为艾利亚斯一般不可能性定理的特例。艾利亚斯的不可能性定理有怎样的经济学和社会学结论是人们正在研究的问题。 阿罗的不可能定理-经典案例 阿罗的不可能定理假设有甲、乙、丙三人，分别来自中国、日本和美国，而且是分别多年的好朋友。三人久别重逢，欣喜之余，决定一起吃饭叙旧。但是，不同的文化背景形成了他们不同的饮食习惯，对餐饮的要求各不相同，风格各异：甲：中餐>西餐>日本餐乙：日本餐>中餐>西餐丙：西餐>日本餐>中餐如果用民主的多数表决方式，结果如下所示：首先，在中餐和西餐中选择，甲、乙喜欢中餐，丙喜欢西餐；然后，在西餐和日本餐中选择，甲、丙喜欢西餐，乙喜欢日本餐；最后，在中餐和日本餐中选择，乙、丙喜欢日本餐，甲喜欢中餐。三个人的最终表决结果如下：中餐>西餐，西餐>日本餐，日本餐>中餐所以，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的投票悖论（paradoxofvoting）。投票悖论最早是由康德尔赛(MarquisdeCoudorcet)在18世纪提出的，因而该悖论又称为康德尔赛效应，而利用数学对其进行论证的则是肯尼斯阿罗。阿罗认为，有关社会选择的两个公理与民主主义所要求的诸条件不相适应。他所说的公理指以下内容：公理1：连贯性（connectedness）在x和y两项选择共存时，下面的某种情况永恒成立：x大于或等于y；y大于或等于x。公理2：传递性（transitivity）在有x、y、z三项选择时，会出现这样几种情况：x大于或等于y；y大于或等于z；则x大于或等于z。阿罗指出，奠定这两个公理的基础的社会福利函数与他所谓的民主主义的诸条件不相称。民主主义的诸条件如下：（1）条件1：个人排列顺序的普通容许区间。作为个人来讲，对于如何选择自己的选择值序列问题是无关紧要的。例如，在面临x、y、z三项选择时，无论是x>y>z，还是z>y>x，或者是y>z>x，.总而言之，允许个人按照自己意愿排列选择值顺序。（2）条件2：社会评价与个人评价的正态相关。假如有五个人来选择x、y，当其中三人为x>y，另外二人为xy，而且，即使出现少数派中的一方改变主意，x>y时，x>y的社会全体的多数表决结果将仍然如故，不会发生改变。（3）条件3：与无关选择对象无关的独立性。在x、y、z三项选择值之间，假定选择顺序为x>y>z，那么即使y选择值已不复存在，剩下x和z的x>z的选择关系仍旧不发生改变。（4）条件4：公民主权个人的选择顺序与社会结构无关，即社会中的每个人都能按各自的价值观，自由地在备选对象中进行选择。（5）条件5：非独裁在全体成员中，当只有特定的个人选择x>y，其余人选择xy。综上所述，即所有五个条件都理应成为民主社会所具备。阿罗认为，如果同时承认前面两个公理和该五个条件，就会促成投票的悖论效应。这就是阿罗不可能定理。接下来，笔者举一个简单的例子来说明阿罗所谓两个公理与民主社会的五个条件的矛盾性。按照阿罗的理论，假设现在有七个人聚在一起准备去吃饭。这七个人对餐饮的偏好顺序如下所示：1号：中餐>西餐>日本餐2号3号日本餐>中餐>西餐4号5号6号西餐>日本餐>中餐7号阿罗的不可能定理由上可以看出，就中餐和西餐比较而言，1至4号喜欢中餐，57号喜欢西餐，故中餐以四比三的结果夺得优势。再将西餐和日本餐相比较，则1号和5至7号喜欢西餐，2至4号喜欢日本餐，即西餐以四比三的结果夺得优势。如果依照公理2的可递性来看，西餐>日本餐，由于前面中餐>西餐，则中餐>日本餐。但是，若从七个人的选择顺序来看，主张中餐比日本餐好的只有1号，而其他人都认为日本餐比中餐好。问题尚不仅于此，按照可递性，中餐将表现为社会选择结果。在此情况下，只有1号的意见得到通过。这时，如果1号改变选择顺序，那么与其相适应的社会结果将注定不以其他人的意志为转移，而是以1号的选择顺序为转移。阿罗涉及的这个问题具有很大的代表性。阿罗阐释了采取所谓多数表决的决定规则势必会随之出现独裁现象。我们通常认为多数表决是促成民主主义的决定原则，但在现实中，它却不曾起到这种作用。就民主主义社会而言，阿罗所谓的基于多数表达原理的投票结果有时会导致投票的悖论效应，其观点颇具有重要意义。阿罗认为，投票的悖论并非经常发生，而具有一定的偶然性。如果这种概率实在微乎其微的话，那么阿罗不可能定理的意义就会黯然失色。对投票悖论产生的概率采取数学手段进行计算的是坎普布尔（C.Campbell）和塔洛克（G.Tullock）。坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为5.7；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50。也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。因而，对于每天都在频繁进行着各种会议和集会的民主主义社会来讲，决不可能对如此之高的比率掉以轻心。此外，涅米和维斯伯格也大大地推进了坎普布尔等人的计算。他们指出，在投票者超过十人的情况下，以上投票悖论出现的概率基本无变化，而且选择值的多少对悖论概率有相当大的影响。可见，在这种情景下，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论。阿罗的不可能定理-与中国发展的关系 阿罗的不可能定理自由民主制度的辩护当年阿罗提出不可能定理，这对于民主人士来说，几乎是当头一瓢冷水。有人声称，阿罗不可能定理对于投票制度的打击类似于能量守恒定律对于永动机的打击，是最根本和彻底的。在诺贝尔奖的授奖词上，瑞典皇家科学院本茨尔教授承认，“这个结论在完全民主的梦想方面是非常令人失望的”。我们有时在中文文献中看到，有些作者根据阿罗不可能定理说上一番，然后就判定自由民主制度原来也怎么怎么不好，言下之意似乎全世界的各种政治制度，都不过尔尔。其实这是对阿罗不可能定理的极大误解。事实上，阿罗不可能定理只是证明，不存在十全十美的集体选择规则，但是在已有的选择规则中，还是存在着优劣之别的。在理论上通过放宽阿罗不可能定理从而为自由民主制度辩护的大有人在，其中最著名者的证明路径就是邓肯布莱克单峰偏好定理与安东尼唐斯的中间投票人定理。布莱克认为，阿罗不可能定理其中有一个很强的假设，就是偏好的无限制域（unrestricteddomain）。他认为，这在很大程度上不符合现实情况，现实情况是人们许多偏好构成了一个偏好单峰。所谓单峰偏好，就指多数人的偏好都倾向于其中一个备选方案。在这种情况下，多数规则就能够导致一个稳定性的结果，从而克服了投票悖论。布莱克的意义于，他并未否认阿罗不可能定理在逻辑上成立，但在现实中否定了它的可行性。戈登塔洛克认为，在现实世界中，投票者的个数总是大大超过供投票选择的社会状态的个数的。这时，出现投票悖论的概率是如此之小，以至于在实际上可以不考虑它。从单峰偏好就可以推导出中间投票人定理。唐斯指出，在一个多数决策的模型中，如果个人偏好都是单峰的，则反映中间投票人意愿的那种政策会最终获胜，因为选择该政策会使一个团体的福利损失最小（Downs,1957）。中间投票人定理与一个有关社会阶层的假设相关，通常认为，中间投票人往往为拥有中间收入或财产的居民，也就是中间阶级或者中产阶级。在一个社会中的大多数为中产阶级的情况下，社会偏好将向中产阶级的意愿靠拢。这将可让多数规