随机信号分析答案 哈工大.pdf

第一次作业 练习一之 1 2 3 题 1 1 离散随机变量 X 由 0 1 2 3 四个样本组成 相当于四元通信中的四个电平 四 个样本的取值概率顺序为 1 2 1 4 1 8 和 1 8 求随机变量的数学期望和方差 解 875 0 8 7 8 1 3 8 1 2 4 1 1 2 1 0 4 1 i i i xXPxXE 8 1 8 7 3 8 1 8 7 2 4 1 8 7 1 2 1 8 7 0 222 4 1 22 i ii PXExXD 109 1 64 71 1 2 设连续随机变量 X 的概率分布函数为 21 201 2 sin 0 5 00 x xx x xF 求 1 系数A 2 X取值在 0 5 1 内的概率 15 0 xP 解 其他0 201 2 cos 2 xxA dx xdF xf 由 1 dxxf 得 2A 0 2 1 2 Asin 1 d 2 cos 2 xxxA 2 1 A 35 0 4 2 15 0 2 sin 2 1 11 2 sin 2 1 5 0 F 1 F 15 0 xP 1 3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数 如果是概率分布函数 求 其概率密度 1 00 0e1 2 x x xF x 2 aaxuxu a x xF 4 0 aaxu a xa xu a x xF 解 1 00 0e1 2 x x xF x 当时 对于 有 是单调非减函数 0 x 12 xx 12 xFxF xF 1 0 xF成立 xFxF 也成立 所以 是连续随机变量的概率分布函数 xF 求得 00 0 2 1 2 x xe dx xdF xf x 2 0时 对于 有 是单调非减函数 12 xx 12 xFxF xF 欲使1 0 xF和成立 必须使A 1 xFxF 所以 在A 1时 是连续随机变量的概率分布函数 xF 同理 00 012 x xAx dx xdF xf 欲满足 也必须使A 1 1 dxxf 所以 00 012 x xx xf 3 0 aaxuxu a x xF 上式可改写为0 0 0 12 xFxF 所以 不是连续随机变量的概率分布函数 xF 4 0 aaxu a xa xu a x xF 0 aaxuaxuxu a x 0 1 2 0 1 00 a xax a axx a x 当xa 时 不满足1 0 xF 所以不是连续随机变量的概率分布函数 xF 第二次作业 练习一之 4 5 6 7 题 1 4 随机变量 X 在 上均匀分布 求它的数学期望和方差 解 因 X 在 上均匀分布 其他 下 0 1 xf 2 dd E x x xxxfX 2 3 1 dd E 22 2 22 x x xxfxX 222 2 12 1 X E X Ed X E D xxfxX 1 5 设随机变量 X 的概率密度为 求 Y 5X 1 的概率密度函 数 其他0 101 x xfX 解 反函数 X h y Y 1 5 h y 1 5 1 y 6 fY y fX h y h y 1 1 5 1 5 于是有 其他0 615 1 y yfY 1 6 设随机变量上均匀分布 且互相独立 若 求 b a 21 在 n XXX n 1i i XY 1 n 2 时 随机变量 Y 的概率密度 2 n 3 时 随机变量 Y 的概率密度 解 ni bxa ab xf ii 2 1 0 1 其它 n 2 时 21 yfyfyf XXY 111 21 dxxyfxfyf XXY b a dx abab 1 11 ab 1 同理 n 3 时 yfY ab 1 1 7 设随机变量 X 的数学期望和方差分别为 m 和 求随机变量的数学期 望 方差及 X 和 Y 的相关矩 23 XY 解 数学期望 23 mYE 方差 90 3 2 YD 23 23 2 XXEXXEXYERXY 222 mXEXDXE 相关矩 mmRXY233 2 第三次作业 练习一之 9 10 11 题 1 9 随机变量 X 和 Y 分别在 0 a 和 0 2 上均匀分布 且互相独立 对于 证明 ab a b YbxP 2 cos 证 rv X 和 Y 分别在 0 a 和 0 2 上均匀分布 有 其它0 0 1 ax a Xf 和 其它0 2 0 2 y Yf 2 0 cos0 cos cos y ybx abyb Ybx Ybxcos 2 0 cos0 cos yybxpybxp 2 0 cos 0 yb dxdyyxfdy 2 0 cos 0 yb dxdyyfxfdy 因为 rv X 和 Y 相互独立 2 0 cos 0 21 yb dxdy a dy 2 0 cos 2 ydy a b a b 2 命题得证 1 10 已知二维随机变量 的联合概率密度为 随机变量 与随机变量 的关系由下式唯一确定 21 X X 21 21 xxf XX21 X X 21 Y Y 21112 21111 YdYcX YbYaX 212 211 dXcXY bXaXY 证明 的联合概率密度为 21 Y Y 1 2111211121 2121 ydycybyaf bcad yyf XXYY 证 做由到的二维变换 21 21 yyf YY 21 21 xxf XX 21 21 xxf XX J 21 21 yyf YY 21 21 yyf YY J 1 21 21 xxf XX bcad dc ba x y x y x y x y J 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2111211121 2121 ydycybyaf bcad yyf XXYY 1 11 随机变量 X Y 的联合概率密度为 2 0 sin yxyxAyxfXY 求 1 系数 A 2 X Y 的数学期望 3 X Y 的方差 4 X Y 的相关矩及相关 系数 解 1 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sincoscossin sin ydyxdxAydyxdxAdxdyyxAdxdyyxfXY 12 A 2 1 A 2 ydyxydyxdyyxdyyxfxf XYX sincos 2 1 cossin 2 1 sin 2 1 2 0 2 0 2 0 cos sin 2 1 xx 同理 cos sin 2 1 yyxfY 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 2 1 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 cos sin 2 1 yydyydydyyydyydyyyymm YX 2 0 2 0 sin 2 1 0 2 sin 2 1 cos 2 1 0 2 cos 2 1 ydyyyydyyy 4 3 2 0 2 0 22 4 cos 4 2 2 cos sin 2 1 4 ydydyyyyYDXD dyyyyy 2 0 2 4 cos 4 2 2 2 0 2 4 cos 4 2 2 2 0 2 4 sin 4 2 16 ydy ydyyy 2 0 2 4 sin 2 0 2 4 sin 4 2 16 2 216 2 4 相关矩 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 sin 2 1 dxdyyxxydxdyyxxyfXYER XYXY 协方差1 162 2 YEXERC XYXY 相关系数 328 168 2 2 YX XY XY C r 第四次作业 练习一之 12 13 14 15 题 1 12 求随机变量 X 的特征函数 已知随机变量 X 的概率密度 02 xexf x X 解 dxexf xj XX dxeetu xjx 2 利用傅氏变换 j etu t 1 j X 2 1 13 已知随机变量 X 服从柯西分布 22 1 x xfX 求他的特征函数 解 dxexf xj XX dxe x xj 22 2 2 1 利用傅氏变换 e x 2 22 e X 1 14 求概率密度为 x X exf 2 1 的随机变量 X 的特征函数 解 dxexf xj XX dxee xj x 2 1 利用傅氏变换 x e 2 22 2 1 1 X 1 15 已知相互独立的随机变量X1 X2 X3 Xn的特征函数 求X1 X2 X3 Xn线性组合的特征函数 a n i ii cXaY 1 i和c是常数 解 互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积 exp 11 n i Xajcj n i iiY ii eEecXajE 第五次作业 练习二之 1 2 3 4 5 题 2 1 随机过程tBtAtX sincos 其中 为常数 A B 是两个相互独立的高斯变量 并且 求 X t 的数学期望和自相关函数 0 BEAE 222 BEAE 解 sin cos sincos tBEtAEtBtAEtXE tBEtAE sin cos 0 0 BEAE sincos sincos 22112121 tBtAtBtAEtXtXEttRX sinsincossinsincoscoscos 21 2 212121 2 ttBttABttABttAE 21 2 212121 2 sinsin cossin sincos coscos ttBEttBEAEttBEAEttAE 21 2 21 2 sinsin coscos ttBEttAE 22 XEXDXE cos 12 2 tt cos 2 12 tt 2 2 若随机过程 X t 在均方意义下连续 证明它的数学期望也必然连续 证 由均方连续的定义0 lim 2 0 tXttXE t 展开左式为 lim 22 0 tXtXttXtXttXttXE t 0 lim 0 tXttXtXEtXttXttXE t 固有 证得数学期望连续 0 lim 0 tXEttXE t 2 3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是 自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数 21 21 21 2 tt tt ttR 证 1 21211 0 1 21211 0 1 21 lim lim 11t tXtXEtXttXE t ttRtttR t ttR t X t 1 1112 0 1 21211 0 lim lim 11t tXttXtXE t tXtXtXttXE tt 21 111211122 0 0 21 21 2 lim 21tt tXttXtXEtXttXttXE tt ttR tt lim 21 111222 0 0 21tt tXttXtXttX E tt 在 21 tt 时存在 也就是 lim 2 0 t tXttX E t 存在 2 4 判断随机过程 cos tAtX 是否平稳 其中 为常数 A 分别为均匀分布和瑞利分 布的随机变量 且相互独立 20 2 1 ae a af a A 解 0 2 1 cos cos 2 0 d t tE 0 cos cos tEAE tAEtXE cos 22 cos 2 1 cos cos 22 tEAE t tAEttRX cos 2 1 2 AE 与时间的起点无关 且 2 tXE 因此 是广义平稳的随机过程 2 5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量 A B 构成的随机过程 tBtAtX 00 sincos 是宽平稳而不一定是严平稳的 其中t 0 为常数 A B 的数学期望为零 方差相同 2 证 0sin cos 00 tBEtAEtXE sin cos sincos 0000 tBtAtBtAEttRX sinsin cossin sincos coscos 00 2 000000 2 ttBttABttABttAE 200 2 000000 2 sinsin cossin sincos coscos ttBE ttBEAEttBEAEttAE sinsin coscos 00 2 00 2 ttBEttAE 22 XEXDXE 0 2 cos 2 tXE 因此 是广义平稳的随机过程 sincos sincos sincos 303020201010321 tBtAtBtAtBtAEtttRX sincos sinsincossinsincoscoscos 30302010 2 201020102010 2 tBtAttBttABttABttAE sin sinsincossinsincoscoscos cos sinsincossinsincoscoscos 302010 3 2010 2 2010 2 2010 2 302010 2 2010 2 2010 2 2010 3 tttBttABttABttBAE tttABttBAttBAttAE sinsinsin coscoscos 302010 3 302010 3 tttBEtttAE 可见 该随机过程构不成三阶平稳 因此不符合严平稳过程的要求 第六次作业 练习二之 6 7 8 9 10 题 2 6 有三个样本函数ttxttxtxsin3 cos2 2 321 组成的随机过程 每个样 本函数发生的概率相等 是否满足严平稳或宽平稳的条件 tX 解 sin3 cos2 2 321 tttxtxtxtX 3 1 321 PPP 3 1 sin3cos22 3 1 i ii ttPtxtXE 由于数学期望与时间相关 不为常数 因此不满足一阶平稳 也就不满足严平稳 或宽平稳的条件 2 7 已知随机过程 cos tAtX 为在 2 0 内均匀分布的随机变量 A 可能 是常数 时间函数或随机变量 A 满足什么条件时 是各态历经过程 tX 解 1 考查为平稳过程的条件 tX 在 A 为常数或与 不相关的随机变量时 满足 cos cos 0 2 t tAEtXtXEttR tXE X cos 22 cos 2 1 2 E tEAE cos 2 1 2 AE X R 2 考查为各态历经过程的条件 tX 在 A 为常数或与 不相关的随机变量时 满足 coslim cos 2 1 lim 2 1 lim tXE0T sin T A dt tA T dttX T tX T T T T T T T 而 T T T T T T dt t tA T dttXtX T tXtX cos cos 2 1 lim 2 1 lim 2 T T T dt t A T cos 22 cos 22 1 lim 2 cos 2 2 A 只有在 A 为常数时 满足 tXtX X R 欲使是各态历经过程 A 必为常数 tX 2 8 设和是相互独立的平稳随机过程 他们的乘积是否平稳 tX tY 解 令 tYtXtZ YXm mtYEtXEtYtXEtZE ZYX Z RRRtYtYEtXtXE tYtXtYtXEttR 又 222 tYtXEtZE tX和的乘积是平稳的 tY 2 9 求用自相关函数及功率谱密度表示的 tX cos 0 ttXtY 的自相关函数及 功率谱密度 其中 为在 2 0 内均匀分布的随机变量 是与 相互独立的随 机过程 tX 解 cos cos 00 ttX ttXEtYtYEttRY cos cos 00 t tEtXtXE 0 cos 2 1 X R Y R 4 1 4 1 4 1 cos 2 1 00 0 00 00 XX jj X jjj X j X j YY SS deeR deeeR deRdeRS 2 10 平稳高斯过程的自相关函数为 tX eRX 2 1 求的一维和二维概率密 度 tX 解 0 2 1 lim lim 2 eRRm XXX 0 X m 2 1 0 2 XXX RR 1 的一维概率密度 tX 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x X eetxf 2 平稳高斯过程 n 维概率密度等于 n 个以为概率密度的乘积 2 2 2121 1 x X ettxxf 第七次作业 练习二之 11 12 13 14 15 题 2 11 对于两个零均值联合平稳随机过程和 已知 说明下列 函数是否可能为他们的自相关函数 并说明原因 tX tY10 5 22 YX 3 3 5 5 46 3 6cos 1 2 euR eR eR X Y Y eR R R X X Y 5 6 5sin 5 4 3 3sin 5 2 2 解 a 自相关函数是偶函数 仅有 1 2 3 6 满足 b 0 XX RR a 中仅有 2 3 6 满足 c 对于非周期平稳过程有 b 中仅有 6 满足 0 2 XXX RR 因此 6 是自相关函数 2 12 求随机相位正弦信号 cos 0 ttX 的功率谱密度 为在 2 0 内均匀分布 的随机变量 0 是常数 解 0 00 cos 2 1 cos cos t tEtXtXEttRX 2 cos 2 1 00 0 dedeRS jj XX 2 13 已知随机过程 式中是常数 是平稳过程 并且相互之 间是正交的 若 n i ii tXatX 1 i a tXi Xi S表示的功率普密度 证明功率谱密度为 tXi tX 1 2 Xi n i iX SaS 证 因是平稳过程 并且相互之间是正交的 tXijiRij 0 11 n i ii n i iiX tXatXaEtXtXER 1 2 1 2 Xi n i iii n i i RatXtXEa 1 2 1 2 Xi n i i j Xi n i i j XX SadeRadeRS 2 14 由和联合平稳过程定义了一个随机过程 tX tYttYttXtV 00 sin cos 1 和的数学期望和自相关函数满足那些条件可使是平稳过程 tX tY tV 2 将 1 的结果用到 求以和的功率谱密度和互谱密度表示的的 功率谱密度 tV tX tY tV 3 如果和不相关 那么的功率谱密度是什么 tX tY tV 解 1 ttYEttXEttYttXEtVE 0000 sin cos sin cos 欲使与时间无关 不随时间函数 tVEt 0 cos 0 sin t变化 和的数学 期望必须是 tX tY 0 0 tYEtXE sinsin cossin sincos coscos sinsin cossin sincos coscos sin cos sin cos 0000 0000 0000 0000 0000 ttRttR ttRttR tttYtYEtttXtYE tttYtXEtttXtXE ttYttXttYttXE tVtVEttR YYX XYX V 在 YXXYYX RRRR 时 上式可写作与时间起点无关的表达式 00 sin cos XYXV RRR 因此 当0 0 tYEtXE YXXYYX RRRR 时 是平稳 过程 tV 2 对 00 sin cos XYXV RRR 两边同时作傅氏变换 2 1 2 1 sin cos 0000 00 XYXYXX j XYX j VV SSSS deRRdeRS 3 和不相关 的互功率谱密度为零 tX tY tV 2 1 00 XXV SSS 2 15 设两个随机过程和各是平稳的 且联合平稳 tX tY sin cos 0 0 ttY ttX 式中 为在 2 0 内均匀分布的随机变量 0 是常数 他们是否不相关 正交 统 计独立 解 0 tYEtXE 0 cos 2 1 YX RR 000 sin 2 1 sin cos t tEtYtXERXY 0sin 2 1 0 tYEtXERC XYXY tX和是相关的 不是统计独立的 tY 又0 XY R 和是非正交的 tX tY 第八次作业 练习三之 1 2 3 4 5 题 3 1 RC 积分电路的输入电压为 cos 00 tXtX 其中和分别是在 0 1 和 0 0 X 2 上均匀分布的随机变量 且相互独立 求输出电压 Y t 的自相关函数 解 cos cos 00000 tXtXEtXtXE