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常数1，上帝的宠物“1”在解题中的妙用贵州省毕节二中 张发武 551700常数1，一个平凡的正整数，但它却有诸多妙用，合理运用常数1进行代换，可使许多数学问题轻松获解, 现举例如下:一、“1”在三角函数式的计算与化简中的妙用例1、计算 (1) (2) 解:(1)原式 = = =(2)原式 = =评析：本题先运用公式、,再运用恒等式后得解。例2、若,求的值。解：两边平方,得 ,即 , ，, 解得 。评析：本题平方后巧将分母看作1，然后将1代换为，使问题转化为关于的式子，结果一目了然。例3、化简（）解：=评析：本题将1代换为，于是被开方式变为完全平方式，问题的化简变得极为轻松。 二、“1”在代数式的求值与化简中的妙用例4、已知，求的值。解：由已知得 ， =（=评析：本题将1代换为，于是被开方式得以开方，求值变得极为容易。例5、化简 +（）解：原式 = +=+=+=+=1评析：用、替换1，化异分母为同分母相当成功，可谓出奇制胜。例 6、求和 1+解：原式 = （1+）=（=（=（）=评析：用替换1，解法巧妙，耐人寻味。三、“1”在求函数最值中的妙用例7、已知，求函数的最小值。解：=，等号当且仅当 即 时成立，所以 函数的最小值为9。评析：本题把1巧妙代换为得解。四、“1”在组合数的化简中的妙用例8、化简 解： 原式 = 评析：本题巧妙将1代换为和，从而利用二项式系数的性质使问题得以化简。五、“1”的不可忽视性例9、 已知为互不相等的正整数，且，求的最大值。分析：60可分解质因数为，若将60分为三个正整数之积，只考虑下列情况：，于是的最大值为显然不是正确答案。事实上，这里忽略了1可作为任意正整数的因数的情况，因此60还可分为：，几种情况，经检验可知的最大值应为。其实，1的妙用远远不止上述几例，笔者的意图在于抛砖引玉，只要我们留心，认真探索，将会发现1在数学中的更多的妙用，真正体现1这个普通正整数的确不愧为上帝的宠物。内容摘要：巧妙把“1”代换为、等，可在解题中
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