步步高大一轮复习讲义数学2.7指数与指数函数.doc

2.7指数与指数函数1根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n1且nN*)，那么这个数叫做a的n次方根也就是，若xna，则x叫做_，其中n1且nN*.式子 叫做_，这里n叫做_，a叫做_(2)根式的性质当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号_表示当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数a的正的n次方根用符号_表示，负的n次方根用符号_表示正负两个n次方根可以合写为_(a0)( )n_.当n为奇数时， _；当n为偶数时，|a|_.负数没有偶次方根2有理数指数幂(1)幂的有关概念正整数指数幂：an(nN*)零指数幂：a0_(a0)负整数指数幂：ap_(a0，pN*)正分数指数幂：_(a0，m、nN*，且n1)负分数指数幂：_ (a0，m、nN*，且n1)0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂_(2)有理数指数幂的性质aras_(a0，r、sQ)；(ar)s_(a0，r、sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)3指数函数的图像与性质yaxa10a0时，_；x0时，_；x0时，_(6)在(，)上是_(7)在(，)上是_难点正本疑点清源1根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程2指数函数的单调性是底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0a1进行分类讨论1(课本改编题)用分数指数幂表示下列各式(1)_；(2)(ab)0)_；(3)_.2(课本改编题)化简(1)0的值为_3若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_4若函数f(x)ax1 (a0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.5已知f(x)2x2x，若f(a)3，则f(2a)等于()A5 B7 C9 D11题型一指数式与根式的计算问题例1计算下列各式的值(1)10(2)1()0；(2)(1)0；(3)(a0，b0)探究提高根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 计算下列各式的值：(1)80.25()6；(2) (a0，b0)题型二指数函数的图像及应用例2(1)函数y (0a0且a1)的图像经过第二、三、四象限，则a、b的取值范围是_(3)方程2x2x的解的个数是_探究提高(1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解 (1)函数y的图像大致为()(2)k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？题型三指数函数的性质及应用例3设a0且a1，函数ya2x2ax1在1,1上的最大值是14，求a的值探究提高指数函数问题一般要与其它函数复合本题可利用换元法将原函数化为一元二次函数结合二次函数的单调性和指数函数的单调性判断出原函数的单调性，从而获解由于指数函数的单调性取决于底数的大小，所以要注意对底数的分类讨论，避免漏解 已知定义在R上的函数f(x)2x.(1)若f(x)，求x的值；(2)若2tf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立，求实数m的取值范围4.方程思想及转化思想在求参数中的应用试题：(13分)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围审题视角(1)f(x)是定义在R上的奇函数，要求参数值，可考虑利用奇函数的性质，构建方程：f(0)0，f(1)f(1)(2)可考虑将t22t,2t2k直接代入解析式化简，转化成关于t的一元二次不等式也可考虑先判断f(x)的单调性，由单调性直接转化为关于t的一元二次不等式规范解答解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，从而有f(x).3分又由f(1)f(1)知，解得a2.6分(2)方法一由(1)知f(x)，又由题设条件得0，即()()()1，因底数21，故3t22tk0.11分上式对一切tR均成立，从而判别式412k0，解得k.13分方法二由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)2t2k.11分即对一切tR有3t22tk0，从而412k0，解得k.13分批阅笔记(1)根据f(x)的奇偶性，构建方程求参数体现了方程的思想；在构建方程时，利用了特殊值的方法，在这里要注意的是：有时利用两个特殊值确定的参数，并不能保证对所有的x都成立所以还要注意检验(2)数学解题的核心是转化，本题的关键是将f(t22t)f(2t2k)2t2k恒成立这个转化考生易出错其次，不等式t22t2t2k恒成立，即对一切tR有3t22tk0，也可以这样做：k3t22t，tR，只要k比3t22t的最小值小即可，而3t22t的最小值为，所以k.方法与技巧1单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，x轴是函数图像的渐近线当0a1时，x，y0；当a1时，a的值越大，图像越靠近y轴，递增的速度越快；当0a0，a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)、 (0,1)、.3在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解失误与防范1指数函数yax (a0，a1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a1与0a0，a1)有两个不等实根，则a的取值范围是 ()A(0,1)(1，) B(0,1)C(1，) D.3函数f(x)axb的图像如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，bf(n)，则m、n的大小关系为_5若函数f(x)(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m_.6函数f(x)ax (a0，a1)在1,2中的最大值比最小值大，则a的值为_7已知函数f(x)axb (a0且a1)的图像如图所示，则ab的值是_三、解答题8(1)计算：；(2)化简：(式中字母都是正数)B组专项能力提升题组一、选择题1函数y的值域是()AR B(0，)C(2，) D.2设函数f(x)令F(x)f(x)x，xR.则F(x)的值域为()A(，1 B2，)C(，12，) D(，1)(2，)3若函数f(x)a|2x4| (a0，a1)，满足f(1)，则f(x)的单调递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2二、填空题4函数f(x)m (a1)恒过点(1,10)，则m_.5函数ya2x2 (a0，a1)的图像恒过点A，若直线l：mxny10经过点A，则坐标原点O到直线l的距离的最大值为_6关于x的方程有负数根，则实数a的取值范围为_三、解答题7已知函数f(x)3x，f(a2)18，g(x)3ax4x的定义域为0,1(1)求a的值；(2)若函数g(x)在区间0,1上是单调递减函数，求实数的取值范围8已知函数f(x)(axax) (a0，且a1)(1)判断f(x)的单调性；(2)验证性质f(x)f(x)，当x(1,1)时，并应用该性质求f(1m)f(1m2)10y1(5)0y1(6)增函数(7)减函数基础自测1(1)(2)(3)2.73(，1)(1，)4.5.B题型分类深度剖析例1解(1)原式110(2)11010201.(2)原式21(2)1(2)1.(3)原式ab1.变式训练1解(1)原式1()62427110.(2)令m，n，则原式mm3a.例2(1)D(2)0a1、b0(3)1变式训练2(1)A(2)解函数y|3x1|的图像是由函数y3x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图像如图所示当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图像无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0k0且a1)，则原函数化为y(t1)22 (t0)当0a0，所以a.当a1时，x1,1，tax，此时f(t)在上是增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3(a5舍去)综上得a或3.变式训练3解(1)当x0，x1.(2)当t1,2时，2tm0，即m(22t1)(24t1)，22t10，m(22t1)，t1,2，(22t1)17，5，故m的取值范围是5，)课时规范训练A组1B2.D3.D4.mn5.16.或 728解(1)原式2.(2)原式)aa2.B组1D2.C3.B4.95.6a7解(1)由已知得3a2183a2alog32.(2)此时g(x)2x4x，设0x10恒成立，即20202，所以，实数的取值范围是2.8解(1)设x1x2，x1x20.若a1，则ax10，所以f(x1)f(x2