衔接平面几何学案1.docx

平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.图3.1-1在一张方格纸上，我们作平行线（如图3.1-1），直线交于点，另作直线交于点，不难发现我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2，有.当然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 在中，为的平分线，求证：.证明 过C作CE/AD，交BA延长线于E，AD平分图3.1-5由知.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.习111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111如图3.1-12,在直角三角形ABC中，为直角，.求证：（1），；（2）图3.1-12证明 （1）在与中， 同理可证得.（2）在与中，我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用. 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图3.2-1图3.2-2如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图3.2-8图3.2-3例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.例2 已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：练习（1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为，则三角形的内切圆的半径是_;（2）若直角三角形的三边长分别为（其中为斜边长），则三角形的内切圆的半径是_. 并请说明理由.1 如图3.1-22，已知中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE相交于F，则的值为（ ）图3.1-22A B1 C D2 图3.1-232 如图3.1-23，已知周长为1，连结三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ）A B C D 图3.1-243 如图3.1-24，已知M为的边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分的面积与面积的比是（ ）A B C D 4 如图3.1-25，梯形ABCD中，AD/BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF/AD.（1） 求证：OE=OF；（2） 求的值；（3） 求证：.1 如图3.2-19，等边的周长为12，CD是边AB上的中线，E是CB延长线上一点，且BD=BE，则的周长为（）A B 图3.2-19C D2 如图3.2-20，在中，BD是边AC上的高，求的度数。图3.2-203 如图3.2-21，是AB的中点，AM=AN，MN/AC，求证：MN=AC。图3.2-214 如图3.2-22，在中，AD平分，AB+BD=AC.求的值。图3.2-225 如图3.2-23，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且，求证：.图3.2-23直线与圆，圆与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？图3.3-1观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.图3.3-2在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.图3.3-3当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，且在中，.如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而. 设圆与圆半径分别为，它们可能有哪几种位置关系？图3.3-7观察图3.3-7，两圆的圆心距为，不难发现：当时，两圆相内切，如图（1）；当时，两圆相外切，如图（2）；当时，两圆相内含，如图（3）；当时，两圆相交，如图（4）；当时，两圆相例1 如图3.3-5，已知O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是的中点，求弦BD的长度。外切，例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.例3 设圆与圆的半径分别为3和2，为两圆的交点，试求两圆的公共弦的长度.练习题，1 如图3.3-13，已知在中，以C为圆心，CA为半径的圆交斜边于D，求AD。图3.3-132 如图3.3-14，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块