第二章-光的衍射2.doc

2 - 3 光 栅一 光栅的构成 衍射的各级条纹：亮度高 分得很开？据式,单缝衍射的矛盾：为了使各级条纹分得很开，单缝的宽度b就要很小；缝宽很小就会导致条纹不图2- 8 光栅光栅（具有间周期性的衍射屏）形成衍射图样光栅光谱透射光栅（图28 ( a )）：一块刻划了一系列等宽、等间隔的平行狭缝的不透明障碍板；闪耀光栅（反射光栅图2- 8 ( b )）：在铝平面上刻一系列等间隔的平行槽纹。三维光栅：由晶体内部周期性排列的原子或分子构成二 光栅衍射图样单缝衍射多缝干涉 = 衍射图样透射光栅的狭缝排布在垂直于光轴（透镜两边曲率中心的连线叫主光轴）的方向上。1）光栅的每条狭缝都将在接收屏幕上的同一位置，产生单缝的夫琅禾费衍射图样( why? 单缝的夫琅禾费衍射图样在接收屏幕上 的位置，与狭缝在垂直于透镜光轴方向上的位置无关); 2）各条狭缝的衍射光将在接收屏幕上相干叠加，产生光栅的衍射图样 (由于各条狭缝所分割的波前满足相干条件) 图2 - 9 透射光栅的实验装置图2 - 9中，缝宽b，缝间隔，光栅常量： 相邻狭缝的对应点发出的沿q 角方向的衍射光线之间的光程差和相位差分别为：(2. 18) (2. 19)屏幕上点的光振动，等于每条狭缝沿q 角方向的衍射光线在该点所引起的光振动的合成，这些光振动有相同的振幅，它们由式(2. 6)决定，即 (2. 20)where 图2- 10 光栅矢量图Using 2 - 10矢量图, 计算在屏幕上点的合成光振动的总振幅。小矢量的长度: 相继两个小矢量之间的夹角: 式(2. 19)所给出的相位差合成光振动的总振幅: N个小矢量(光栅有N条狭缝)的合矢量的长度合矢量所对应的圆心角: 由等腰三角形OBC，可得 (2. 21)let ，由等腰三角形OBD及式(2. 20)和(2. 21)，可得多缝衍射的光强分布公式为 (2. 22)where, (2. 23)讨论：（1） 两个因子多缝干涉因子: 反映了从各缝发出的、衍射角为的衍射光在幕上相干叠加的结果单缝衍射因子：表示参与相干叠加的各衍射光的光强，是单缝衍射的结果( 2 ) 光栅方程 看干涉因子 当衍射角满足 (2. 24)时，(或)（因） （225）光强达极大，N条狭缝之间发生相长干涉，称主极强亮纹。(2. 24)决定了主极强亮纹的位置为光栅方程。由主极强处的多缝干涉因子（2。25）及(2. 22)看出 主极强光强是单缝在该方向光强的倍。( 3 ) 主极强的半角宽度Dq当衍射角（因）满足时， = 0，而 ， ， 光强具极小值if , , 反而有极大值so, 达极小值的衍射角（因）满足 (2.26)这时，在相邻的主极强间有N - 1条暗纹；又由于相邻两暗纹之间有一个次极强，故在相邻的主极强之间共有N - 2个次极强。通常光栅的缝数N都是很大的，例如可以达到105量级，因此次极强是很弱的，实际上是观测不到的。通常，关注主极强亮纹的位置以及主极强的半角宽度Dq（即主极强中心到邻暗纹之间的角距离）。主极强亮纹的位置：由光栅方程可见，对于一定波长的入射光，光栅常量d越小，主极强亮纹的分布就越稀疏，反之越密。显然，主极强的位置与缝数N无关。主极强的半角宽度Dq，由光栅方程和式(2. 26)可得（）, (2. 27)缝数越多，主极强的半角宽度Dq 越小，主极强亮纹越细锐。( 4 ) 缺级在图2 - 11 ( a ), ( b ), ( c )中，给出在N = 5时单缝衍射因子, 多缝干涉因子和随的变化, 图2 - 11 光栅衍射的光强分布曲线可见，光栅衍射图样是多缝干涉的光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果。由于单缝衍射因子的作用，各级主极强的光强是不同的。缺级:刚好遇到单缝衍射因子零点的那几级主极强消 失了。在图211所示的情况下， N = 5， d = 3 b， 这时l/b刚好等于3l/d，于是缺级发生在各级主极强位置上。缺级通常发生在(刚好是整数的) ( j = 1, 2)级主极强处，其中j表示单缝衍射暗纹的级数。三 光栅光谱( 1 ) 光栅的分光原理 图212 光栅光谱色散现象：由光栅方程可知，当光栅常量d一定时，同一级谱线对应的衍射角q 随着波长l 的增大而增大。如果入射光里包含几种不同波长的光，则经光栅衍射后除零级外各级主极强位置都不同，彼此分开。谱线：在用缝光源照明时，我们所看到的衍射图样中将有几套不同颜色的亮线，它们各自对应一定的波长。这些主极强亮线就是所谓谱线。光谱:各种波长的同级谱线集合起来就构成了光源的一套光谱，利用光栅所得到的光栅光谱如图2 - 12所示。两不同波长谱线间的距离，随着光谱级数的增高而增大。如果光源发出的是白光，则光栅光谱中除零级仍近似为一条白色亮线外，其他级各色主极强亮线都排列成连续的光谱带。由于电磁波与物质相互作用时，物质的状态会发生改变，伴随有发射和吸收能量的现象，因此关于物质的发射光谱和吸收光谱的研究已成为研究物质结构的重要手段之一。( 2 ) 角色散本领对光栅方程求微分，可得光栅的角色散本领, (2. 28)是在同一级光谱中，单位波长间隔的两条谱线散开的角度大小。A）D与光栅常量d成反比。光栅常量d越小，即单位长度内的狭缝数越多，光栅的角色散本领D就越大，谱线散得越开。B）D还与光谱级数k成正比，即级次高的光谱有较大的角色散本领D. C）D只反映谱线(主极强)中心分离的程度，它不能说明两条谱线是否重叠或能否分辨。( 3 ) 色分辨本领为了能够分辨波长很接近的谱线，应该要求每条谱线都很细，即谱线的半角宽度必须很小。根据瑞利判据，要使波长为l 的第k级谱线，能够与其相邻的波长为的第k级谱线分辨清楚的极限是：波长为l 的第k级主极强外侧第一条暗线，刚好与波长为的第k级主极强中心重合，即相应于波长差的谱线的衍射角之差等于第k级主极强的半角宽度. 光栅的色分辨本领R定义为恰能分辨的两条谱线的平均波长l 与它们的波长差之比, (2. 29)光栅的色分辨本领R与光栅的狭缝总数N以及光谱级次k成正比，而与光栅常量d无关。N越大，k越高，光栅能分辨的就越小。透射光栅的缺点：由于单缝衍射因子的作用，衍射图样中无色散的零级主极强占有总光能的很大一部分，其余的光能还要分散到各级光谱中，以致每级光谱的光强都比较小。而且，级次k越高，光强越弱。现在分光仪器中使用的几乎都是反射式的闪耀光栅，如图2 8 ( b )所示，其优点是能将单缝的中央极强的方向从没有色散的零级转移到其他有色散的光谱级上，从而把光能集中在该级光谱线上。例题16. 5 以波长为589. 3 nm的钠黄光垂直入射到光栅上，测得第二级谱线的偏角为28. 1. 用另一未知波长的单色光入射时，其第一级谱线的偏角为13. 5. ( 1 ) 试求未知波长； ( 2 ) 试问未知波长的谱线最多能观测到第几级？解 ( 1 ) 设l0 = 589. 3 nm， = 28. 1，k0 = 2，q = 13. 5，k = 1, 而l 为未知波长，则按题意可列出如下的光栅方程：,.可解得.( 2 ) 由光栅方程可以看出，k的最大值由条件1决定。对波长为584. 9 nm的谱线，该条件给出k ,所以最多能观测到第四级谱线。例题16. 6 在钠蒸气发出的光中，有波长为589. 00 nm和589. 59 nm两条谱线。使用每毫米内有1 200条缝的15 cm光栅，试问在一级光谱中这两条谱线的位置、间隔和半角宽度各多少？解 按题意，光栅常量为 . 于是，由光栅方程可得，一级谱线的衍射角为.光栅的角色散本领为,因此波长差为的钠双线的角间隔为.又因光栅总宽度N d = 15 cm，所以钠双线中每条谱线的半角宽度为.例题16. 7 用每毫米内有1 200条缝的15 cm光栅作为分光元件，组装成一台光栅光谱仪。( 1 ) 试问在可见光波段的中部(l 550 nm)它的一级光谱能分辨的最小波长差为多少？( 2 ) 如果用照相底片摄谱，由于乳胶颗粒密度的影响，感光底片的空间分辨本领为每毫米200条。为了充分利用光栅的色分辨本领，试问这台光谱仪器的焦距至少要有多长？解 ( 1 ) 按题意，有,. 由式(