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文档简介

2连分数 简单连分数 设a为实数(有理数或无理数),则可表成简单连分数 简记为 或 式中为整数,为正整数. 若a为有理数,则必可展成有限连分数 式中是由辗转相除法一列等式(1)所得到的一列不完全商.如果规定最后一个不完全商大于1,即当时,可写成则表法唯一. 若a为无理数,则可展成无限连分数,且表法唯一. 完全商与不完全商 简单连分数(2)中称为a的第i个不完全商.数称为a的第n个完全商.显然. 完全商与不完全商的关系: (n=0,1,2,)式中为a的第n个渐近分数的分子和分母(见下). 渐近分数与最佳渐近分数 简单连分数(1)中截取 称为a的第n个渐近分数.渐近分数都为既约分数. 渐近分数的等式与不等式(当时) (当a为实二次无理数时) (式中为n的递减函数。a为有理数时,此式仅当时成立,) 2 设且则 因此在分母不大于的所有分数中,与a最接近(称为最佳渐近分数). 3 a的两个相邻渐近分数中必有一个适合于 4 a的三个相邻渐近分数中必有一个适合于 5 设a为实数,为有理数,M为正整数.若a适合于不等式 则a展成连分数的不完全商至少有一个大于M2. 周期连分数及其充分必要条件 当时,若,则连分数 称为以k为周期的周期连分数,记做 (3)当l=0时,(3)式称为纯周期连分数,当l=1时,(3)式称为拟纯周期连分数. 1 实数a可展成周期连分数的充分必要条件是:a是一个有理数域上二次不可约多项式的根. 2 实二次无理数a可展成纯周期连分数的充分必要条件是:a1且,这里a为a的共轭实数. 3 实二次无理数a可展成拟纯周期连分数的充分必要条件是:aa-1,这里a为a的共轭实数, a为a的整数部分. ,e与p的连分数 1 设为非完全平方数,则 2 设e为自然对数的底,则 式中不完全商的通式为 3 设p为圆周率,则 它的渐近分数为 二次域Q()的整底的连分数表w连分数表示w连分数表示 *4,7* * 黄金分割与费波那奇序列1 把线段AB分成中外比(即)的分割称为黄金分割.也就是求解代数方程 的一个根 黄金分割的几何作图见图20.1(E为AB中点). 2 由递推关系 产生的序列 称为费波那奇序列.其通项表达式为 3 当时,. 4 是的最佳渐近分数,是的最佳渐近分数. 5 设a,b为自然数,由递推关系 产生的序列的通项表达式为 并且具有性质: 当时,. 推广的费波那奇序列 由递推关系 产生的序列称为
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