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5 5雅可比符号 对于奇素数p 利用计算Legendre符号可以判定方程 x2 a modp 1 是否有解 对于一般的正整数m 如何判定方程 是否有解呢 x2 a modm 2 对于一般的正整数m 如果它的标准分解式是 那么判定方程x2 a modm 2 是否有解 可归结为对形如方程x2 a modp 1 的可解性判定 因此 在理论上 利用Legendre符号可以判定 方程 2 是否有解 但是 写出正整数的标准分解式常会遇到实际困难 所以利用Legendre符号判定方程 2 的可解性并不容 易实现 定义1给定正奇数m 1 m p1p2 pk 其中pi 1 i k 是奇素数 对于任意的整数a 1 i k 是Legendre符号 称是Jacobi符号 例如 取m 45 3 3 5 则 1 当m是奇素数时 Jacobi符号就是Legendre符号 前者是后者的推广 2 如果m是奇素数 当 1时 方程 2 有解 当m不是奇素数时 这个结论不一定成立 例如 方程x2 5 mod9 无解 显然 若则方程 2 必无解 补充说明 定理1使用定义1中的符号 下面的结论成立 1 若a a1 modm 则 3 对于任意的整数a1 a2 at 有 4 对于任意的整数a b a m 1 有 定理2设m p1p2 pk是奇数 其中p1 p2 pk是素数 则下面的结论成立 定理3设m n是大于1的奇整数 则 利用以上定理 我们可以很容易地计算Jacobi符号 特别是Legendre符号的数值 但是 必须注意 如同在定义1的注2中指出的 在判断方程 2 的可解性时 Legendre符号和Jacobi的作用是不一样的 方程 2 有解 对于一般的正奇数m来说 1并不能保证 例1已知3371是素数 判断方程 x2 12345 mod3371 是否有解 解
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