高中数学向量专题.pdf

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 高中高中数学数学向量专题向量专题 本章学习目标 本章学习目标 1 理解向量的概念 掌握向量的几何表示 了解共线向量的概念 掌握向量的加法和减法 掌握实数与向量的积 理解两个向量共线的充要条件 2 掌握平面两点间的距离公式 掌握线段的定比分点和中点坐标公式 并能熟练运用 掌握平移公式 掌握平面向 量的数量积及其几何意义 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度 角度和垂直的问题 掌握向量垂直的条件 3 了解平面向量的基本原理 理解平面向量的坐标的概念 掌握平面向量的坐标运算 掌握正弦定理 余弦定理 并能初步运用它们解斜三角形 向量是高中数学的新增内容 作为数形结合的有力工具 它的应用极其广泛 在复数 平几 解几 立几 物理 等知识中均有涉及 本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上 突出了向量的工具作用 利用向量的思想方法解决问题是 本章特点的一个方面 向量本身具有数与形结合的双重身份 这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造 了条件 通过本章学习 继续提高运用所学知识解决实际问题的能力 基础知识精讲 基础知识精讲 1 向量的定义 既有方向 又有大小的量叫做向量 它一般用有向线段表示 AB表示从点 A 到 B 的向量 即 A 为起点 B 为终点的 向量 也可以用字母 a a b b c c 等表示 印刷用黑体 a a b b c c 书写用a b c注意 长度 面积 体积 质量等为 数量 位移 速度 力等为向量 2 向量的模 所谓向量AB的大小 就是向量AB的长度 或称模 记作 AB 或者 a 向量不能比较大小 但向量的模 可以比较大小 3 零向量与单位向量 长度为 0 的向量称为零向量 用0表示 0向量的方向是不定的 或者说任何方向都是0向 量的方向 因此0向量有两个特征 一长度为 0 二是方向不定 长度为 1 的向量称为单位向量 4 平行向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量称为平行向量 特别规定零向量与任一向量都平行 因此 零向量与零向量也可以平行 根据平行向量的定义可知 共线的两向量也可以称为平行向量 例如AB与BA也是一对平行向量 由于任何一组平行向量都可移到同一直线上 故平行向量也叫做共线向量 例如 若四边形 ABCD 是平行四边形 则向量AB与CD是一组共线向量 向量AD与BC也是一组共线向量 5 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 若向量a与向量b相等 记作a b 零向量与零向量相等 任意两个 相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示 并且与有向线段的起点无关 重点难点解析 重点难点解析 通过本节学习 应该掌握 1 理解向量 零向量 单位向量 相等向量的概念 2 掌握向量的几何表示 会用 字母表示向量 3 了解平行向量的概念及表示法 了解共线向量的概念 例例 1 1 判断下列各命题是否正确 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 1 若 a b 则a b 2 若 A B C D 是不共线的四点 则AB DC是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件 3 若a b b c 则a c 4 两向量a b相等的充要条件是 5 a b 是向量a b的必要不充分条件 6 AB CD的充要条件是 A 与 C 重合 B 与 D 重合 解 解 1 不正确 两个向量的长度相等 但它们的方向不一定相同 2 正确 AB DC AB DC 且AB DC 又 A B C D 是不共线的四点 四边形 ABCD 是平行四边形 反之 若四边形 ABCD 是平行四边形则AB DC 且AB与DC方向相同 因此 AB DC 3 正确 a b a b的长度相等且方向相同 又 b c b c的长度相等且方向相同 a c的长度相等且方向相同 故a c 4 不正确 当a b 但方向相反 即使 a b 也不能得到a b 故 不是a b的充要条件 5 正确 这是因为 b a a b 但a b a b 所以 a b 是a b的必要不充分条件 6 不正确 这是因为AB CD时 应有 AB CD 及由 A 到 B 与由 C 到 D 的方向相同 但不一定要有 A 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 与 C 重合 B 与 D 重合 说明 针对上述结论 1 4 5 我们应该清醒的认识到 两非零向a b相等的充要条件应是a b的方 向相同且模相等 针对结论 3 我们应该理解向量相等是可传递的 结论 6 不正确 告诉我们平面向量a与b相等 并不要求它们有相同的起点与终点 当然如果我们将相等的两 向量的起点平移到同一点 则这时它们的终点必重合 例例 2 2 如图所示 ABC 中 三边长 AB BC AC 均不相等 E F D 是 AC AB BC 的中点 1 写出与EF共线的向量 2 写出与EF的模大小相等的向量 3 写出与EF相等的向量 解 解 1 E F 分别是 AC AB 的中点 EF BC 从而 与EF共线的向量 包括 FE BD DB DC CD BC CB 2 E F D 分别是 AC AB BC 的中点 EF 2 1 BC BD DC 2 1 BC 又 AB BC AC 均不相等 从而 与EF的模大小相等的向量是 FE BD DB DC CD 3 与EF相等的向量 包括 DB CD 例例 3 3 判断下列命题真假 1 平行向量一定方向相同 2 共线向量一定相等 3 起点不同 但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量 4 不相等的向量 则一定不平行 5 非零向量的单位向量是 a a 解 解 1 假命题 还可以方向相反 2 假命题 共线向量仅方向相同或相反 大小不一定相等 3 真命题 因为向量与起点位置无关 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 4 假命题 因为若a b方向相同 但只要 a b 则a b 5 真命题 任一非零向量 a的单位向量为 a a 例例 4 4 如图 已知 四边形 ABCD 中 N M 分别是 AD BC 的中点 又AB DC 求证 CN MA 证明 证明 AB DC AB DC 且 AB DC 从而 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC AD BC N M 分别是 AD BC 的中点 AN 2 1 AD MC 2 1 BC AN MC 又 AN MC 四边形 AMCN 是平行四边形 于是得 AM NC AM NC 又由图可知 CN与MA的方向一致 CN MA 难题巧解点拔 难题巧解点拔 例例 1 1 如图 已知四边形 ABCD 是矩形 O 是两对角线 AC 与 BD 的交点 设点集 M A B C D O 向量的集合 T PQ 任 P Q M 且 P Q 不重合 试求集合 T 的子集个数 分析 分析 要确定向量为元素的集合 T 有多少个子集 就需搞清楚集合 T 中有多少个相异的向量 解 解 以矩形 ABCD 的四顶点及它的对角线交点 O 五点中的任一点为起点 其余四点中的一点为终点的向量共有 20 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 个 但是这 20 个向量不是各不相等的 我们下面将这 20 个向量一一列举出来 AO OC OA CO DO OB BO OD AC CA BD DB AD BC DA CB AB DC BA CD 它们中有 12 个向量是各不相等的 故 T 是一个 12 元集 所以 T 有 2 12个子集 说明 说明 在上述解题过程中 我们一定要根据集合元素的互异性 算出 T 中的元素个数为 12 而不是 20 这样才能得 到正确的结果 例例 2 2 已知 如图 点 D 在 ABC 的边 BC 上 且与 B C 不重合 E F 分别在 AB AC 上 DF EA 1 求证 BDE DCF 2 求当 D 在什么位置时 四边形 AEDF 的面积可以取到最大值 证明 证明 1 DF EA DF AE DF EA 从而 得 四边形 AEDF 是平行四边形 DE AF DE AF 由 DE AF 可得 BDE C 由 DF AE 可得 B FDC BDE DCF 2 设 BC a AC b AB c BD x 则 DC a x BDE DCF CD BD DF BE FC ED 从而 x BE xa DF 设比为 k1 x ED xa FC 设比为 k2 由 BE DF c ED FC b 可得 xk1 a x k1 c k1 a c xk2 a x k2 b k2 a b DF a c a x 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 DE a b x 由点 F 作 FT AB 垂足为 T 由锐角三角函数 FT AF sinA a b x sinA S AEDF DF FT a c a x a b x sinA 2 a bc ax x 2 sinA 2 a bc 4 2 a x 2 a 2 sinA 4 bc sinA 当且仅当 x 2 a 时 等号成立 答 D 是 BC 边的中点时 S AEDF取到最大值 例例 3 3 如图 A1 A2 A8是 O 上的八个等分点 则在以 A1 A2 A8及圆心 O 九个点中任意两点为起点与终点的向 量中 模等于半径的向量有多少个 模等于半径2倍的向量有多少个 分析 分析 1 由于 A1 A2 A8是 O 上的八个等分点 所以八边形 A1A2 A8是正八边形 正八边形的边及对角线长均与 O 的半径不相等 所以模等于半径的向量只可能是 i OA与OAi i 1 2 8 两类 2 O 内接正方形的边长是半径的2倍 所以我们应考虑与圆心 O 形成 90 圆心角的两点为端点的向量个数 解 解 1 模等于半径的向量只有两类 一类是 i OA i 1 2 8 共 8 个 另一类是OAi i 1 2 8 也有 8 个 两类合计 16 个 2 以 A1 A2 A8为顶点的 O 的内接正方形有两个 一是正方形 A1A3A5A7 另一个是正方形 A2A4A6A8 在题中所 述的向量中 只有这两个正方形的边 看成有向线段 每一边对应两个向量 的长度为半径的2倍 所以模为半径2倍 的向量共有 4 2 2 16 个 说明 说明 1 在模等于半径的向量个数的计算中 要计算 i OA与OAi i 1 2 8 两类 一般我们易想到 i OA i 1 2 8 这 8 个 而易遗漏OAi i 1 2 8 这 8 个 2 圆内接正方形的一边对应了长为2的两个向量 例如边 A1A3对应向量 31A A与 42A A 因此与 1 一样 在解题 过程中主要要防止漏算 认为满足条件的向量个数为 8 是错误的 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 命题趋势分析 命题趋势分析 本节着重考查对向量的概念的理解 高考中将会以选择题 填空题形式命题 典型热点考题 典型热点考题 例例 1 1 给出下列 3 个命题 1 单位向量都相等 2 单位向量都共线 3 共线的单位向量必相等 其中真命题的个 数是 A 0 B 1 C 2 D 3 分析 分析 本题考查单位向量和共线向量的概念及它们之间的联系等基础知识 增加了考点 加大了难度 因为不同的 单位向量有不同的方向 所以 1 和 2 较易判断是假命题 因为共线的单位向量有可能方向相反 它们不一定相等 所 以 3 也是假命题 选 A 例例 2 2 如图 四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形 1 与向量AB相等的向量有 2 若 AB 3 则向量EC的模等于 分析 分析 本题考查用向量的观点对平面图形进行初步判断的能力 是容易题 由条件 可得ED AB且DC AB 所以ED DC 于是 E D C 三点共线 故 EC ED DC 2 AB 6 答 1 ED DC 2 6 例例 3 3 下列命题中 正确的是 A a b a b B a b a b C a b a b D a 0 a 0 解 解 由向量的定义知 向量既有大小 也有方向 由向量具有方向性可排除 A B 零向量 数字 0 是两个不同的 概念 零向量是不等于数字 0 的 应排除 D 应选 C 例例 4 4 下列四个命题 若 a 0 则a 0 若 a b 则a b或a b 若a与b是平行向量 则 a b 若a 0 则 a 0正确命题个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 分析 分析 是忽略了 0 与0不同 由于 a 0 a 0 但0不能写成 0 是对两个向量的模相等与两个实数相等混淆了 两个向量的模相等 只能说明它们的长度相同 并不意味它们 的方向相同或相反 是对两个向量平行的意义理解不透 两个向量平行 只是这两个向量的方向相同或相反 而它们的模不一定相 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 等 正确 故选 A 本周强化练习 本周强化练习 同步达纲练习 同步达纲练习 一 选择题一 选择题 1 下列命题中的假命题是 A 向量AB与BA的长度相等 B 两个相等向量若起点相同 则终点必相同 C 只有零向量的模等于 0 D 共线的单位向量都相等 2 如图 在圆 O 中 向量OB OC AO是 A 有相同起点的向量 B 单位向量 C 相等的向量 D 模相等的向量 3 如图 ABC 中 DE BC 则其中共线向量有 A 一组 B 二组 C 三组 D 四组 4 若a是任一非零向量 b是单位向量 下列各式 a b a b a 0 b 1 a a b 其中正确的有 A B C D 5 四边形 ABCD 中 若向量AB与CD是共线向量 则四边形 ABCD A 是平行四边形 B 是梯形 C 是平行四边形或梯形 D 不是平行四边形 也不是梯形 6 把平面上所有单位向量归结到共同的始点 那么这些向量的终点所构成的图形是 A 一条线段 B 一个圆面 C 圆上的一群弧立点 D 一个圆 7 若a b是两个不平行的非零向量 并且a c b c 则向量c等于 A 0 B a C b D c不存在 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 8 命题 p a与b是方向相同的非零向量 命题 q a与b是两平行向量 则命题 p 是命题 q 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 二 判断题二 判断题 1 向量AB与BA是两平行向量 2 若a是单位向量 b也是单位向量 则a b 3 长度为 1 且方向向东的向量是单位向量 长度为 1 而方向为北偏东 30 的向量就不是单位向量 4 与任一向量都平行的向量为0向量 5 若AB DC 则 A B C D 四点构成平行四边形 6 两向量相等的充要条件是它们的起点相同 终点也相同 7 设 O 是正三角形 ABC 的中心 则向量AB的长度是OA长度的3倍 8 已知四边形 ABCD 是菱形 则 AC BD 是菱形 ABCD 为正方形的充要条件 9 在坐标平面上 以坐标原点 O 为起点的单位向量的终点 P 的轨迹是单位圆 10 凡模相等且平行的两向量均相等 三 填空题三 填空题 1 已知a b c为非零向量 且a与b不共线 若c a 则c与b必定 2 已知 OA 4 AB 8 AOB 60 则 AB 3 如图 已知 O 是正六边形的中心 则在图中所标出的各向量中 模等于该正六边形边长的向量共有 个 4 如图所示 四边形 ABCD 与 ABDE 都是平行四边形 则 与向量AB共线的向量有 若 AB 1 5 则 CE 5 已知四边形 ABCD 中 AB 2 1 DC 且 AD BC 则四边形 ABCD 的形状是 四 解答题四 解答题 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 1 如图 在 ABC 中 已知 向量AD DB DF BE 求证 DE AF 2 在直角坐标系中 将所有与 y 轴共线的单位向量的起点移到 x 轴上 其终点的集合构成什么图形 素质优化训练 素质优化训练 1 已知a b是任意两个向量 下列条件 a b a b a与b的方向相反 a 0或b 0 a 与b都是单位向量 其中 哪些是向量a与b共线的充分不必要条件 2 已知 ABCD 是等腰梯形 AB DC 下列各式 AB DC AD BC AC BD AB DC AB CD 正确的式子的序号是 3 不相等的向量a和b 有可能是平行向量吗 若不可能 请说明理由 若有可能 请把各种可能的情形一一列出 4 下列各组量是不是向量 如果是向量 说明这些向量之间有什么关系 1 两个三角形的面积 S1 S2 2 桌面上两个物体各自受到的重力 F1 F2 3 某人向河对岸游泳的速度 v1与水流的速度 v2 4 浮在水面上的物体受到的重力 W 和水的浮力 F 生活实际运用 生活实际运用 某人从 A 点出发向西走了 10 米 到达 B 点 然后改变方向按西偏北 60 走了 15 米到达 C 点 最后又向东走了 10 米到达 D 点 1 作出向量AB BC CD 用 1cm 长的线段表示 10m 长 2 求 DA 解 解 1 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 2 显然DA CB 故 DA CB 15cm 知识验证实验 知识验证实验 已知某轮船从 S 岛沿北偏西 30 的方向航行了 45 海里 请你用有向线段表示此轮船的位移 知识探究学习 知识探究学习 一小球在 30m 高处 以 2m s 的速度水平抛出 请你用有向线段画出小球经过 2S 后的水平位移 竖直位移 并计 算出实际位移的大小 g 10m s 2 解 解 依题意 v0 2m s t 2s 水平位移 x 2 2 4m 竖直位移 h 2 1 gt 2 20m 实际位移大小是 OC 22 OBOA 22 204 426m 参考答案参考答案 同步达纲练习 同步达纲练习 一 1 D 2 D 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 A 二 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 三 1 不共线 2 43 3 12 4 ED DC EC DE CD CE BA 3 5 等腰梯形 四 1 提示 证 F 平分 AC E 平分 BC 2 平行于 x 轴 且与 x 轴的距离为 1 的两条直线 素质优化训练 素质优化训练 1 2 3 有三种情况 1 两个向量a和b中有一个是零向量 另一个是非零向量 2 向量a b为模不相等 方向相同的两个非零向量 3 向量a b为非零向量且方向相反 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 4 1 不是向量 2 是向量 它们是方向相同的向量 3 是向量 不共线 4 模相等方向相反的向量 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 按 ctrl 点击打开 选校网 是为高三同学和家长提 供高考选校信息的一个网站 国内目前有