第一章-矢量和张量.doc

矢量与张量为什么学习张量1. 物理量： 标量 矢量 张量 2. 客观性： 客观规律与坐标系（观察者）无关 第一章：矢量矢量：1.方向性 2.合成结果与顺序无关不符合这两点要求的不是矢量。转动具有大小和方向但由于不满足交换律（第2要素），因而不是矢量。基本运算：1. 点积 a与在上的投影之积。分配律：b+cacb证明： 的投影等于的投影与的投影之和推论：2.叉积 有方向的平行四边形面积3混合积 六面体体积u改变六面体底、高顺序 可证：vw推论： 叉积分配律：证明：上式对任何矢量都成立，所以 线性相关：一组矢量中至少有一个矢量可以用其余的矢量线性组合表示：线性无关：等效于三维空间中三个线性无关的矢量,如果其线性组合则，说明系数矩阵满秩。对任何非零矢量 一定可以求得非零的系数，说明矢量为矢量的线性组合。即：三维空间中，任何一个矢量都可以表示为三个线性无关矢量的线性组合。3. 证明：为组成的面内垂直于的单位向量，它与垂直；为组成的面内垂直于的单位向量；它与垂直；因此：令 则 从而斜角直线坐标系1. 力的分解 如果 则 如果 则 具有重要意义:如果为相互垂直的单位向量,则在上的分量: 但在一般情况下, 2.斜角直线坐标系：不要求基底矢量单位正交,只要求基底矢量在空间中为常矢量矢径 X1X2X3 协变基矢量 （自然基矢量） 逆变基矢量逆变基矢量组是线性无关的：如果 则有：两种坐标基矢量的作用矢量 其中协变分量逆变分量 上下指标的不同意义：协变 逆变 哑指标及其求和约定 协变指标（下标），逆变指标（上标），哑指标（上下指标相同） （哑指标求和约定）举例：矩阵乘法 的分量表示： 自由指标 （表达式中各项出现且只出现一次，同为上或为下指标） 取值范围内全部成立 可同时换为其它字母而不影响意义 （说明逆变基矢量定义表达式的指标记法）逆变基矢量的求解1.根据定义 123其中2. 根据 由于因此已知协变基底，可求出以为元素的矩阵，其逆矩阵为，由可求得逆变基。（可用于求解高于3维的坐标系的逆变基矢量）和的作用 升降指标 xryz（单位直角坐标系下）曲线坐标系1. 曲线坐标：确定空间中一点所用的参数 矢径 其中为笛卡尔坐标系基矢量（单位正交）xyz为直角坐标, 称为曲线指标作用：从空间点到矢量的变换 典型的曲线坐标系柱坐标系：球坐标系：曲线坐标的必要条件: 来源：给定必须唯一地求出（点到曲线坐标的一一对应） 坐标线 (只连续改变一个曲线坐标所对应的点形成的轨迹，通常是一条曲线)r坐标线 坐标线 r0 0 协变基矢量：坐标线沿增加方向的切矢量）定义：r坐标线 坐标线 r0 0极坐标系下：所以可见：曲线坐标系协变基矢量与位置有关（是曲线坐标的函数），模也不一定是1。在曲线坐标系中但 （曲线坐标的局部性） 逆变基矢量由于： 所以 2 .坐标转换 两个（新旧）坐标系的基矢量以及之间的转换关系可表示为： 则称为协变转换系数（新坐标系指标是协变指标）；称为逆变转换系数 （新坐标系指标是逆变指标）；性质： （两种转换系数组成的矩阵互逆）推论：转换系数和曲线坐标间的关系由于 对比 可知 对比 可知 2. 矢量分量的转换不同坐标系下分量转换： 协变与逆变指标的转换 分量等式满足指标规则：哑指标必须是一对上下指标，自由指标必须在同一水平线上张量的基本概念1. 分量定义：外法线为的截面上的面力：当坐标系变换时然而所以此式要求对任意的截面都成立，因而特点：每个指标都按照矢量分量变化规律变化。这样的一组相互之间有联系的量称作张量：不同坐标系下分量变化： 参照 指标顺序不可更换，同一次序只能有一个指标，用.标识空位置）协变逆变分量间的转换： 参照可用任何一种分量的坐标变换关系判断是否为张量指标个数称为张量的阶：矢量为一阶张量；为二阶张量；为四阶张量只有一个分量，并在任何坐标系下皆为常量的量为零阶张量（标量）度量张量：名称来源： 2. 整体表示对于矢量，由可自然导出： （分量转换）由可自然导出： （指标升降）张量也有类似的整体表示并矢： （为矢量）并矢的运算法则与矩阵相乘完全相同：当k为任意实数时：矢量之间的并矢运算满足：分配律: 结合律: 不满足交换律： 并矢是张量并矢与矢量的运算 并矢与并矢之间的点积和叉积 普遍规律：相邻矢量做相应的点积或叉积并矢与并矢之间的加减运算加减运算的前提条件：并矢的阶数（并矢中矢量个数）相等张量的基底是基矢量的并矢：张量的整体表示：性质：张量是基矢量并矢（阶数与张量同阶）的线性组合，组合系数为张量的分量规则： 并矢的顺序要与指标顺序相同 基矢量指标与分量指标要构成哑指标 整体表示自然满足张量定义 指标升降规律与矢量分量的指标升降规律相同同理：指标升降不可改变指标顺序（同一竖直线上） 度量张量的性质：a) 整体表示：b) 可升降张量的指标（见）c) 度量张量与大于0阶的张量做左右点积运算都不改变张量 惯性矩张量： rv为刚体中一点相对于刚体上固定点的矢径；为该点与固定点之间的相对速度（），刚体的相对动量矩其中为张量（惯性矩张量）笛卡尔坐标系下 的分量组成的矩阵其中为矢径在笛卡尔坐标系下的分量张量的转置：保持基矢量并矢顺序改变其中一对分量指标的顺序所得到的张量（或保持分量指标顺序改变基矢量指标并矢顺序）对二阶张量的转置用表示（与矩阵转置表示相同） 若则称该张量对称。条件为： 或者 或者 （交换两个指标顺序结果相等）度量张量是对称张量：作业：证明：由组成的一组量是三阶张量一、张量的代数运算1. 相加： 条件：同阶张量 基底相同 规则：分量相加 结果：张量2. 数乘： 结果为张量 3. 并乘： 规则：分量相乘，基底做并矢运算 结果：阶数为两张量阶数之和的张量 3. 缩并： 规则：张量的两个基矢量做点积 ；或将张量的一对协逆变指标变成哑指标 结果：阶数减2的张量 推论：经张量运算所得的零阶张量（标量）为坐标变换下的不变量 例如：矢量的模，（应变能密度）零张量：其分量在任何坐标系下都为零的张量张量的共同性质：如果张量的分量在某一个坐标系下皆为零，则张量就是零张量推论：在某个坐标系（笛卡尔坐标系）下证明了则在任何坐标系下都有4. 双点积 （并联式、串联式） （并联式） (串联式) 5. 张量的商法则：如果已知为张量，为任意张量,并且则为张量分量证明：在任意坐标系中， 因此： 考虑到的任意性，即： 为张量分量应力是张量：由 知对任意矢量成立,所以是二阶张量二、张量的矢积1.置换符号有一排列由1,2,3.，n-1,n组成顺序排列(偶置换)： 由12345. n经偶数次位置交换得到逆序排列（奇置换）：由12345.n 经奇数次位置交换得到非序排列（中至少有两个是相同的）判断排列奇偶性的方法：逆序数：有一排列 逆序数第i 位置后小于的元素数定理：偶置换（奇置换）的各位的逆序数之和为偶数（奇数）排列：126354；S(1)=0;S(2)=0;S(3)=3;S(4)=0;S(5)=1; 该排列为顺序排列排列的奇偶性不变：限定P，Pi为置换矩阵（单位矩阵经行置换得到的矩阵）(互换3和4)(互换3和6) （每次只交换两个分量的位置）其中Pi为单位矩阵只经一次行置换的到的矩阵,因此所以 矩阵P是确定的,因而n的具体数值可变但n的奇偶性不变在上例中n=2123顺序排列置换符号非序排列逆序排列行列式定义：三维空间中： (互换1,2列)推广到一般情况 （123列变换为Lmn列） （123行变换为ijk行） （123列变换为Lmn列，同时123行变换为ijk行）广义符号ijk与rst排列的奇偶性质相同则取值1；不同则取值-1；有一个是非序排列则为零。性质：()置换张量以及是张量（置换张量）证明： （符合张量定义） （符合张量定义）整体记法： 同理： 因而： 性质1 与置换符号之间的关系因此： ； 性质3：与广义符号之间的关系 （可将视为张量：）性质4：与行列式的关系 （由张量分量组成的矩阵A1） （由张量分量组成的矩阵A2） （由张量分量组成的矩阵A3）张量的行列式之间的关系：即：二阶张量的各种行列式中，只要有一种为零，则所有形式的行列式都为零二维置换张量引入（与和都垂直的单位矢量）同理：定义二维置换张量： 二维空间逆变基矢量引入（与和都垂直的单位矢量）矢量叉积由 可知：因此：同理可证：由 可知： 因此：推论：1.2.3.（作业：证明该等式）张量的叉积运算(1)结果为阶数比与阶数之和减1的张量分量的其它形式可由度量张