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构造一次函数证明不等式江苏省 朱胜强 一次函数是同学们非常熟悉的函数.由一次函数的图象可知,如果,则对一切均有.我们将这一性质称为一次函数的保号性.利用一次函数的保号性可以证明一些不等式.例1 设、都是绝对值小于1的实数,求证:.分析 因为故可考虑.显然有 根据保号性知,当时,而故,即原不等式获证. 例2 、都是小于的正数,求证:.分析 构造一次函数.令.因变量较多,可用主元法,把当作主元,重新整理得:,将看作关于的一次函数,注意到,当时,当时,这说明,当与时,函数图象上对应的两点、(横坐标分别为、)都在轴上方,由一次函数的保号性可知,当时, 即 例3 已知、,求证:.分析 首先将不等式化为并整理成功之路可将其看成是关于的一次式.证明:构造函数,这里、,则.因为所以,一次函数,当时,图象在轴的上方.这就是说,当、时,有,即.从上例的证明可以看出,构造一次函数证明不等式时,可按下列步骤进行:将不等式先移项使右边为零;将不等号左边的式子整理成关于某一未知数的一次式;根据的取值范围,确定与的符号,确定当时的符号进而证得不等式.构造一次函数证明不等式,其实质是将一个不等式的证明问题转化为确定解析式某个变量在
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