单倒置摆控制系统的状态空间设计.doc

单倒置摆控制系统的状态空间设计摘要 20世纪60年代随着电子计算机技术的进步，航空航天技术和综合自动化发展的需要，推动了以状态空间描述为基础、最优控制为核心，主要在时域研究多输入输出的现代控制理论的诞生。卡尔曼、贝尔曼和庞特里亚金等倡导从变化后的频域回到时域，用状态空间表达式建立MIMO线性/非线性、定常/时变系统的动态数学模型，并提出与经典控制理论频域法不同的状态反馈和最优控制方法，即现代控制理论。在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。倒立摆就是这样一个被控制对象。倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。倒立摆系统在控制理论研究中是一种较为理想的实验装置。 本文通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。SummaryThe 1960s with the progress of computer technology, aerospace technology and automation needs of the development, and promote the state space is described as the basis of optimal control as the core, in the time domain multi-input and output of modern control theory was born. Kalman, Bellman and Pontryagin advocate from the changes in the frequency domain back to the time domain, establish MIMO linear / nonlinear state-space expression, steady / time-varying dynamic mathematical model of the system, and proposed frequency domain method of state feedback and optimal control method with the classical control theory and modern control theory. Process control theory, a theory of correctness and the feasibility in practical applications according to the theoretical design of the controller to control a typical object to verify. Inverted pendulum is a control object. Inverted pendulum is not just a teaching laboratory instruments, is also an ideal experimental platform control theory. Inverted pendulum system in the control theory is an ideal experimental setup. Control the inverted pendulum is used to test new control methods is strong to deal with nonlinear and stability problems.关键字：单倒置摆系统、MATLAB、观测器二、主题背景单倒置摆系统的原理图，如图1所示。 设有一倒立摆(摆杆和其上的摆锤)用铰链安装在由伺服电机驱动的小车上，其控制控制目标是当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。设摆的长度为L、质量为m，安装在质量为M的小车上。小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆就不能保持在垂直位置而会向左或向右倾倒。Mumlz 图（1）图（2）为简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。这里，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。z为小车水平方向的瞬时位置坐标，摆杆偏离垂线的角度，则摆锤重心的水平、垂直坐标分别为，、。图(2)所示为摆杆-摆锤联合体及小车受力图，其中、分别为小车通过铰链作用于摆杆的力的水平、垂直分量及对应的分作用力。因忽略摆杆的质量，则摆杆-摆锤联合体重心近似于摆锤中心，且摆杆-摆锤联合体围绕其重心的转动惯量J0摆杆-摆锤联合体的运动分解为重心的水平运动、重心的垂直运动及绕重心的转动这三个运动，其中在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有 （2-1） （2-2） （2-3）小车的水平运动方程为 （2-4）将（2-1）式带入到（2-4）式得 （2-5） 将（2-1）式、（2-2）式带入到（2-3）式得 （2-6）式（2-5）（2-6）是为描述车载倒立摆系统运动的非线性方程，为简化求解，需对其作近似线性化处理。当 很小时，用 ， 可将式（2-5）及式（2-6）近似线性化为 （2-7） （2-8）式（2-7）及式（2-8）是在假设很小的条件下，所建立的描述图1车载倒立摆系统运动的近似线性模型。由于控制目标含有保持倒立摆垂直的要求，在施加水平控制力u的条件下，假设很小是合理的。联立式（2-7）及式（2-8）并消去得 （2-9）联立式（2-7）及式（2-8）并消去 得 （2-10）定义状态变量、为 以小车位置z作为系统输出且由式（2-9）、（2-10）可列写出图1车载倒立摆系统的状态空间表达式为(2-11)(2-12)式中假定系统参数M = 2kg，m=0.1kg，l = 0.5m，g = 9.81m/s2，则状态方程中参数矩阵为， (2-13)三、被控系统的结构性质(能控性、稳定性、能观性)1、 能控性分析 由特征方程，解得特征值为0，0，故被控系统不稳定。根据能控性的秩判据，并把式(13)数值代入该判据，可得 (3-1) 故被控系统状态完全能控，既当非零时，总存在将转移至零的控制作用。2、 稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求出其特征方程 解得特征值为0，0， 。4个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，即被控系统是不稳定的，须对被控系统进行反馈综合，使4个特征值全部位于根平面s左半边的适当位置，以满足系统稳定工作并达到良好动、静态性能的要求。3 由能观性判别阵的秩 （3-2）故被控系统状态完全能观，即可构建状态观测器对其状态给去估值。四、反馈控制系统设计 为实现即使倒立摆稳定又控制小车位置的控制任务，采用状态反馈加积分器校正的输出反馈系统，如下图3因为被控系统能控，又控制维数不少于误差的维数且。即增广系统状态完全能控，因此，可采用线性状态反馈控制律 （4-1）改善系统的动态和稳态性能，式中，。 （4-2）则由式(4-2)，图3所示闭环控制系统的特征多项式为 （4-3） 设期望闭环极点为一对共轭主导极点和3个非主导实数极点。应从使所设计的控制系统具有适当的响应速度和阻尼出发选取期望主导极点对，若本例希望在小车的阶跃响应中，调节时间约为45s，超调量不超过17%，据经典控制理论中二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式，则期望的闭环主导极点对可选为, 选择3个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的5倍以上取为6，即 则期望的闭环特征多项式为 （4-4） 令式（4-3）（4-4）相等，并比较等式两边对应项的系数，联立方程求解得状态反馈增益矩阵和积分增益常数 所设计的反馈控制系统阶跃响应仿真分析 确定了状态反馈增益矩阵和积分增益常数 ，有式（4-2），在未考虑扰动作用时 ，闭环系统对给定输入为阶跃信号的响应可通过求解下式获得，即 （4-5）式中， 。MATLAB Program5_4为求解所设计的反馈控制系统阶跃响应的MATLAB程序。注意，在程序中用符号AA、BB、CC、DD分别表示式（4-5）的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵、传递矩阵，用符号X表示由式（4-5）中的和构成的状态向量。MATLAB的程序如下%MATLAB Program5_4A=0 1 0 0; 0 0 -0.5 0; 0 0 0 1; 0 0 20.6 0 ;B=0 ;0.5 ;0 ;-1; C=1 0 0 0; K1=-88.16 -55.93 -212.68 -47.96;K2=-88.16;AA=A-B*K1 B*K2; -C 0;BB=zeros(4,1);1;CC=C 0;DD=0;t=0:0.01:8;y,X,t=step(AA,BB,CC,DD,1,t);x1=X(:,1);x2=X(:,2);x3=X(:,3);x4=X(:,4);w=X(:,5);subplot(3,2,1)plot(t,x1,k),gridxlabel(t(sec),ylabel(x1)subplot(3,2,2)plot(t,x2,k),gridxlabel(t(sec),ylabel(x2)subplot(3,2,3)plot(t,x3,k),gridxlabel(t(sec),ylabel(x3)subplot(3,2,4)plot(t,x4,k),gridxlabel(t(sec),ylabel(x4)subplot(3,2,5)plot(t,w,k),gridxlabel(t(sec),ylabel(w)下图展示为、阶跃响应仿真曲线。 的阶跃响应仿真曲线表明趋于给定输入，即当给定输入为阶跃信号时，小车的位置无稳态误差，而且其动态性能正如希望，由此可见，小车的位置能比较好的跟踪慢变的给定输入。而、，可见，全状态反馈保证了系统稳定。但图（3）采用直接状态反馈，需要设置测量状态变量、的4个传感器。实际上，由于被控系统(A,B,C)能观，因此，可构造状态观测实现全状态反馈的单倒立摆无静差位置跟踪系统设计。五、全维状态观测器设计由设计状态观测实现全维状态观测器，假定系统参数M=1kg，m=0.1kg，g=9.81m/s2 则状态方程中参数矩阵为 ， ， 由单倒置摆系统的状态方程，可求出其特征方程 解得特征值为0, 0，由能观测秩判据，并把上式的有关数值代入该判据，得 （5-1） 故被控系统的4个状态均是可观测的。这意味着，其状态可由一全维（四维）状态观测器给出估值。 由全维状态观测器的动态方程为 （5-2）式中 全维状态观测器以G配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。全维状态观测器的特征多项式为 （5-3） 状态观测器的希望闭环极点为-2，-3，-2j1（比状态反馈系统的希望闭环极点离虚轴较远），则期望特征多项式为（5-4）令式（5-3）与式（5-4）同同次项的系数相等，可求得， 用全维状态观测器实现状态反馈的结构图如图4所示。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2，这意味着任一状态变量估值误差至少以规律衰减。 MATLAB的程序如下代码1：A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0; V=obsv(A,c);V=obsv(A,c);if m=4disp(系统能观)elsedisp(系统不能观)end结果1：代码2：A=0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0;b=0;1;0;-1;c=1,0,0,0;d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);P_s=-1,-2,-1+i,-1-i;P_o=-2,-3,-2+i,-2-i;k=acker(A,b,P_s)g=(acker(A,c,P_o)A1=A ,-b*k;g*c,A-b*k-g*c;b1=b;b;c1=c zeros(1,4);d1=0;sys=ss(A1,b1,c1,d1);t=0:0.01:10;y,t,x=step(sys,t);figure(1);plot(t,x(:,1:4),-);gridxlabel(t(s);ylabel(x(t);figure(2);plot(t,x(:,5:8),-);gridxlabel(t(s);ylabel(x(t);figure(3) subplot(4,1,1);plot(t,(x(:,1)-x(:,5);gridylabel(z);subplot(4,1,2);plot(t,(x(:,2)-x(:,6);gridylabel(z的微分);subplot(4,1,3);plot(t,(x(:,3)-x(:,7);gridylabel(theta); figure(3) subplot(4,1,1); plot(t,(x(:,1)-x(:,5);grid subplot(4,1,2);plot(t,(x(:,2)-x(:,6);gridylabel(z的微分); subplot(4,1,3);plot(t,(x(:,3)-x(:,7);gridylabel(theta); subplot(4,1,4); plot(t,(x(:,4)-x(:,8);grid ylabel(theta的微分);结果：其仿真结果图形为六、降维观测器设计 由于本系统中的小车位移z，可由输出传感器测量，因而实际中无需估计，可以设计将唯状态观测器。通过重新排列被控系统状态变量的次序，把需由将唯状态观测器估计变量与输出传感器测得的状态变量分离开，也就是说，将z作为第四个状态变量，则被控系统的状态方程和输出方程变换为 （6-1） （6-2）简记为 （6-3）式中 （6-4） ， ， , ，被控系统的维子系统的动态方程一般形式为 ， （6-5）式中 ，为子系统输出量。故单倒置摆三维子系统动态方程为 （6-6） （6-7）对该子系统的可观测性进行检查，结果仍可观测。 降维状态观测器动态方程的一般形式为 （6-8） （6-9）式中，。考虑被控对象参数，单倒置摆降维观测器动态方程的一般形式为 （6-10） （6-11）降维状态观测器特征多项式为 （6-12） 设希望的观测器闭环极点为-3，则期望特征多项式为 （6-13）令式（6-12）与式（6-13）同次项的系数相等，可求得 ，故所求的降维状态观测器的动态方程为 （6-14） （6-15） 用降维状态观测器实现状态反馈的单倒置摆系统结构图5所示。该降维状态观测器将连续地提供状态向量估值，其估值误差至少以规律衰减。MATLAB的程序如下代码：A=0,-1,0,0;0,0,1,0;0,11,0,0;1,0,0,0;b=1;0;-1;0;c=0,0,0,1;d=0;N=size(A);n=N(1);sys=ss(A,b,c,d);S=ctrb(A,b)f=rank(S);if f=ndisp(系统能控)elsedisp(系统不能控)endV=obsv(A,c);m=rank(V);if m=ndisp(系统能观)elsedisp(系统不能观)endP_s=-1,-2,-1+i,-1-i;k=acker(A,b,P_s);syms h0 h1 h2syms sh=h0;