可逆矩阵的求法.doc

高等代数小论文 学院：数计学院 班级：10级1班 姓名：任莎莎（1008020127） 彭莎（1008020143） 可逆矩阵的求法：我们在书本上学习了用初等变换法和伴随矩阵法求逆矩阵，下面我们将再介绍3种求逆矩阵的方法：（1）二阶矩阵的公式求逆法（2）利用解线性方程组求逆矩阵（3）分块法求逆矩阵。目录：1、 矩阵的引入（2）2、 矩阵的定义（2）3、 可逆矩阵的定义 （2）4、 可逆矩阵的性质 （3）5、 可逆矩阵的求法 （3）（1） 伴随矩阵法 （3）（2） 二阶矩阵的公式求逆法 （4）（3） 初等变换法 （4）（4） 利用解线性方程组求逆矩阵（5）（5） 分块法求逆矩阵（5）一、矩阵的引入 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标的转轴（反时针方向转轴），那么平面直角坐标变换的公式应为 （1） 其中为轴与轴的夹角。显然新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的22数表 （2）表示出来。通常，数表（2）称为坐标变换（1）的矩阵。在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换公式有 （3）同样，数表 （4）称为坐标变换（3）的矩阵。二、矩阵的定义由数域F上的个数（）排成的行（横的）列（纵的）数表称为数域F上的一个矩阵，简称矩阵。三、可逆矩阵的定义 对于阶矩阵A，若存在阶矩阵B，使得AB=BA=I，则称A为可逆矩阵（或非奇异矩阵），或A可逆。称B为A的逆矩阵。四、可逆矩阵的性质1）若A可逆，则A的逆矩阵也可逆，并且=A。2）若A,B均可逆，则AB也可逆，并且。3）若A可逆，则也可逆，且。4）若A可逆，则。5）若A可逆，则。6）若A可逆，则。五、可逆矩阵的求法（1）伴随矩阵的求法： 定义：设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵称为A的伴随矩阵。 由行列式依行（列）展开公式可得。若A可逆，则，于是，所以。 例 1 设 ，判定A是否可逆，若可逆，求。解：因为，所以A可逆，又，所以=。（2）二阶矩阵的公式求逆法：设（其中），则，这个公式的推到思想是从这个重要结论出发，构造一个矩阵B，去左乘A使其等于单位矩阵A，即若AB=I那么。这种方法只适用于求二阶矩阵的逆矩阵。（3）初等变换法：这是一种最常用的方法，为了看出如何用初等变换法求逆矩阵，先证一个引理：可逆矩阵的行简化阶梯形矩阵一定是单位矩阵，换句话说，可逆矩阵可以经过一系列初等变换化成单位矩阵，即，。例2 求的逆矩阵。解：因为所以。（4） 利用解线性方程组求逆矩阵若阶矩阵A可逆，则，于是的第列是线性方程组的的解，因此我们可以去解线性方程组，其中，然后把所得的解的公共式中分别用1，0，0；0，1，0；0，0,1代替，便可求的的第1,2，n列。这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单些。（5） 分块求逆法当一个可逆矩阵的级数较大时，即使用初等变换法求它的逆矩仍然计算量较大，如果把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵则可减少计算量，用分块求逆法解题的具体步骤为： 根据所给矩阵A的特点分块为 选择适当的分块求逆公式：设均可逆；则，。例3 设4阶方阵试求。解