第一章 概率论的基本概念.doc

第一章 概率的基本概念1.1基本要求（1）理解排列与组合的概念，熟练掌握排列与组合的相关运算；（2）理解随机事件的基本概念，掌握事件间的基本关系和运算；（3）理解古典概型、几何概率和统计定义，熟练掌握相关的简单运算；（4）理解概率的公理化体系及概率的基本性质和加法定理；（5）理解事件相互独立性的概念和重复独立试验，熟练掌握相互独立事件和二项概率公式的有关运算。1.2 疑难注释（1）排列与组合的区别与联系是什么？排列是将考察对象排成一列，具有顺序性，顺序不同时所得的排列也不同。而组合是在考察对象中抽出部分个体，与顺序无关。设有个不同的元素，从中取出个，获得的所有排列其种数为。（2）如何理解可数（列）集？ 如果一个集合的元素可以与自然数形成一一对应，则称该集合为可数集合。可数集合未必是有限集。例如：等都是可数集。（3）如何理解差集和余集？ 属于而不属于的元素形成的集合称为与的差集，记作。设考察对象所在的全集为，则与的差集称为的余集，记作。从定义可以看出，余集可以在任意两个集合间进行，而差集仅是相对全集而言。（4）如何理解随机试验？ 所谓随机试验是指这样一类试验，可以重复进行，且所有可能的试验结果是已知的，但只有当试验完成时才能确定其试验结果。例如“抛币试验”、“摸球试验”等都是随机试验。（5）如何理解必然事件和不可能事件？随机试验中有可能发生也有可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。在概率论中更多情况下讨论的是随机事件，但为了使概率知识更具系统性，有时也讨论两个特殊事件。必然发生的事件称为必然事件，不可能发生的事件称为不可能事件。（6）互斥与互逆的关系怎样？ 设考察的全集为，1） 若，则称与互斥；2） 若且，则称与互逆.从定义可以看出，两事件互逆必互斥，而互斥不一定互逆。（7）与是否相同？与呢？ 事件间的关系其记法也较多，与相同均表示事件与事件的积事件；而与不同，虽然均表示与的和事件，但当且仅当与互斥即时，其和事件方可记为。（8）如何理解概率定义，各有怎样的优缺点？ 概率的定义有三：1）古典概型；2）几何概率；3）统计定义。古典概型要求所有可能的试验结果个数有限，诸基本事件发生的可能性相等；几何概率只要求基本事件发生的可能性相等，对试验结果是否有限不作要求；统计定义表明当试验次数增多时，事件发生的可能性将趋近某一固定值，把这一固定值记为该事件发生的概率。它对基本事件发生的等可能性和试验结果是否有限不作要求，但却不能确定试验到底要做多少次？ （9）条件概率和积事件的概率有何区别和联系？ 概率是随机事件发生的可能性的大小，避开事件讨论概率是没有意义的。条件概率是指事件发生的条件下事件发生的概率，它附加了发生这一条件进行考察事件；而考察的对象是与的积事件。 条件概率和积事件概率之间的联系是乘法定理，即，从该定理可以看出：条件概率一般大于积事件的概率。所以说，条件概率和积事件的概率其区别体现在意义和大小上。（10）两事件相互独立的定义和实质是什么？ 两事件的积事件的概率等于概率乘积时，称两事件相互独立，即。两事件相互独立的实质是事件发生互不影响。（11）两两相互独立和总起来相互独立之间有怎样的联系？设是事件集中的个随机事件，1） 对任意的，若，则称事件集两两相互独立；2） 对任意的，若，则称事件集总起来相互独立。总起来相互独立两两相互独立，逆不成立。（12）应用二项概率公式时应注意哪些问题？二项概率公式表示“进行次重复独立试验事件恰好发生次”这一事件发生的概率，其中为事件在每次试验中发生的概率。在应用该公式计算概率时，需要注意以下两个问题：1） 所作的试验是否为重复独立试验；2） 确定公式中的在实际问题中的意义。（13）如何理解小概率事件的实际不可能原理？ 小概率事件一般来说发生的可能性较小，但未必就不会发生。在实际问题中，对于小概率事件一般不是解决问题的出发点而已。1.3方法指导（1）如何证明两个集合相等？ 两个集合相等是指这两个集合具有完全相同的元素，即：（2）如何正确判断事件间的关系？ 集合与事件之间具有一定的对应性，集合间的关系可以借助韦恩图表示，事件间的关系与集合间的关系是对应的，因此事件间的关系也可借助韦恩图表示。1.4例题选讲（1）随机地向区间内投点，令表示点的坐标，设，求。（2）设是任意三个随机事件，则以下命题中正确的是（ ）。(A)；(B)；(C)；(D)。（3）已知，则恰有一个发生的概率为_。（4）设两个相互独立的事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相等，则_。1.5参考题目（更高要求）（1）已知，则_。（2）设为三个事件，且，则这三个事件不全发生的概率是（ ）。(A)；(B)； (C)；(D)（3）设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件事不合格品，求另一件也是不合格品的概率。（4）设随机事件及和事件的概率分别是0.4，0.3和0.6。若表示对应的对立事件，那么积事件的概率_。（5）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为_。（6）现有两种报警系统与，每种系统单独使用时，系统有效的概率为0.92，系统为0.93，在失灵的条件下，有效的概率为0.85，求：(a)在失灵条件下，有效的概率；(b)这两个系统至少有一个有效的概率。（7）设和是任意两个概率不为零的不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是( )(A)与不相容； (B) 与相容； (C)